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2019-2020年高二數(shù)學 1、2-3-2拋物線的簡單幾何性質(zhì)同步練習 新人教A版選修1-1 一、選擇題 1．設拋物線的頂點在原點，其焦點F在y軸上，又拋物線上的點(k，－2)與F點的距離為4，則k的值是(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．4或－4 C．－2 D．2或－2 [答案]　B [解析]　由題意，設拋物線的標準方程為：x2＝－2py， 由題意得，＋2＝4，∴p＝4，x2＝－8y. 又點(k，－2)在拋物線上， ∴k2＝16，k＝4. 2．拋物線y＝x2(m<0)的焦點坐標是(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　∵x2＝my(m<0)，∴2p＝－m，p＝－， 焦點坐標為，即. 3．拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點(－5,2)到焦點的距離是6，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝－2x B．y2＝－4x C．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x [答案]　B [解析]　由題意，設拋物線的標準方程為：y2＝－2px(p>0)，由題意，得＋5＝6，∴p＝2， ∴拋物線方程為y2＝－4x. 4．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A、B兩點，若AB中點的橫坐標為2，則k＝(　　) A．2或－2 B．－1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　由得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 則＝4，即k＝2. 5．(xx陜西文，9)已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為(　　) A. B．1 C．2 D．4 [答案]　C [解析]　本題考查拋物線的準線方程，直線與圓的位置關(guān)系． 拋物線y2＝2px(p>0)的準線方程是x＝－，由題意知，3＋＝4，p＝2. 6．等腰Rt△AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 [答案]　B [解析]　∵拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形， ∴由拋物線的對稱性，知直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45. 由方程組，得，或. ∴A、B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p，－2p)． ∴|AB|＝4p.∴S△AOB＝4p2p＝4p2. 7．拋物線y2＝2px與直線ax＋y－4＝0的一個交點是(1,2)，則拋物線的焦點到該直線的距離是(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由已知得拋物線方程為y2＝4x，直線方程為2x＋y－4＝0，拋物線y2＝4x的焦點坐標是F(1,0)，到直線2x＋y－4＝0的距離為d＝＝. 8．過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若A、B在拋物線準線上的射影是A1、B1，則∠A1FB1等于(　　) A．45 B．60 C．90 D．120 [答案]　C [解析]　由拋物線的定義得，|AF|＝|AA1|， |BF|＝|BB1|，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， 又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A1AF＋∠B1BF＝360， 且∠A1AF＋∠B1BF＝180，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180，∴2(∠2＋∠4)＝180，即∠2＋∠4＝90， 故∠A1FB＝90. 9．(xx全國Ⅰ，5)設雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線y＝x2＋1相切，則該雙曲線的離心率等于(　　) A. B．2 C. D. [答案]　C [解析]　本題主要考查圓錐曲線的有關(guān)知識． 雙曲線的漸近線方程為y＝x. ∵漸近線與y＝x2＋1相切， ∴x2x＋1＝0有兩相等根， ∴Δ＝－4＝0，∴b2＝4a2， ∴e＝＝＝＝. 10．(xx遼寧理，7)設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－，那么|PF|＝(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 [答案]　B [解析]　如圖，KAF＝－， ∴∠AFO＝60， ∵|BF|＝4，∴|AB|＝4， 即P點的縱坐標為4， ∴(4)2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|，故選B. 二、填空題 11．拋物線y2＝16x上到頂點和焦點距離相等的點的坐標是________． [答案]　(2，4) [解析]　設拋物線y2＝16x上的點P(x，y) 由題意，得(x＋4)2＝x2＋y2＝x2＋16x， ∴x＝2，∴y＝4. 12．拋物線y2＝4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點到AB的距離為________． [答案]　2 [解析]　由題意，設A點坐標為(x,2)，則x＝3， 又焦點F(1,0)，∴焦點到AB的距離為2. 13．已知F為拋物線y2＝2ax(a>0)的焦點，點P是拋物線上任一點，O為坐標原點，以下四個命題： (1)△FOP為正三角形． (2)△FOP為等腰直角三角形． (3)△FOP為直角三角形． (4)△FOP為等腰三角形． 其中一定不正確的命題序號是________． [答案]?、佗? [解析]　∵拋物線上的點到焦點的距離最小時，恰好為拋物線頂點，∴①錯誤． 若△FOP為等腰直角三角形，則點P的橫縱坐標相等，這顯然不可能，故②錯誤． 14．(xx寧夏、海南)已知拋物線C的頂點坐標為原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點，若P(2,2)為AB的中點，則拋物線C的方程為________． [答案]　y2＝4x [解析]　設拋物線為y2＝kx，與y＝x聯(lián)立方程組，消去y，得：x2－kx＝0，x1＋x2＝k＝22，故y2＝4x. 三、解答題 15．已知拋物線y2＝4x的內(nèi)接三角形OAB的一個頂點O在原點，三邊上的高都過焦點，求三角形OAB的外接圓的方程． [解析]　∵△OAB的三個頂點都在拋物線上，且三條高都過焦點， ∴AB⊥x軸，故A、B關(guān)于x軸對稱， 設A，則B， 又F(1,0)，由OA⊥BF得，＝－1，解得y＝20， ∴A(5,2)，B(5，－2)， 因外接圓過原點，且圓心在x軸上，故可設方程為：x2＋y2＋Dx＝0， 把A點坐標代入得D＝－9， 故所求圓的方程為x2＋y2－9x＝0. 16．一拋物線拱橋跨度為52m，拱頂離水面6.5m，一竹排上載有一寬4m，高6m的大木箱，問竹排能否安全通過？ [解析]　如圖所示建立平面直角坐標系， 設拋物線方程為x2＝－2py，則有A(26，－6.5)，B(2，y)， 由262＝－2px(－6.5)，得p＝52， ∴拋物線方程為x2＝－104y. 當x＝2時，4＝－104y，y＝－， ∵6.5－>6，∴能通過． 17．若拋物線y2＝2x上兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋b對稱，且y1y2＝－1，求實數(shù)b的值． [解析]　因為A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上， 所以y＝2x1?、佟＝2x2?、? ①－②并整理可得＝＝kAB， 又因為kAB＝－1，所以y1＋y2＝－2， 所以＝－1，而＝ ＝＝＝， 因為在直線y＝x＋b上， 所以－1＝＋b，即b＝－， 所以b的值為－. 18．設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BC∥x軸．證明：直線AC經(jīng)過原點O. [證明]　如圖， 設直線方程為y＝k， A(x1，y1)，B(x2，y2)，C， 由消去x得，y2－－p2＝0， ∴y1y2＝－p2，kOA＝，kOC＝＝＝， 又∵y＝2px1，∴kOC＝＝kOA，即AC經(jīng)過原點O. 當k不存在時，AB⊥x軸，同理可得kOA＝kOC.