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2019-2020年高三第二次模擬考試 數(shù)學(xué)（理） 一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.設(shè)集合，則（ ） A． B． C． D． 2.“（其中是虛數(shù)單位）是純虛數(shù).”是“”的（ ）條件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，則（ ） A．39 B．91 C．48 D． 51 4.我們知道：“平面中到定點(diǎn)等于定長的點(diǎn)軌跡是圓”拓展至空間：“空間中到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是球”，類似可得：已知，則點(diǎn)集在空間中的軌跡描述正確的是（ ） A．以為焦點(diǎn)的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面 B．以為焦點(diǎn)的橢球體 C. 以為焦點(diǎn)的雙曲線單支繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面 D．以上都不對 5.余江人熱情好客，凡逢喜事，一定要擺上酒宴，請親朋好友、同事高鄰來助興慶賀.歡度佳節(jié)，迎親嫁女，喬遷新居，學(xué)業(yè)有成，仕途風(fēng)順，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表達(dá)內(nèi)心的歡喜.而凡有酒宴，一定要劃拳，劃拳是余江酒文化的特色.余江人劃拳注重禮節(jié)，形式多樣；講究規(guī)矩，蘊(yùn)含著濃厚的傳統(tǒng)文化和淳樸的民俗特色.在禮節(jié)上，講究“尊老尚賢敬遠(yuǎn)客”一般是東道主自己或委托桌上一位酒量好的劃拳高手來“做關(guān)”，——就是依次陪桌上會劃拳的劃一年數(shù)十二拳（也有半年數(shù)六拳）.十二拳之后晚輩還要敬長輩一杯酒. 再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他還要敬他叔叔一杯，規(guī)則如下：前兩拳只有小明猜叔贏叔叔，叔叔才會喝下這杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明沒猜到，則小明喝下第一杯酒，繼續(xù)猜第二拳，沒猜到繼續(xù)喝第二杯，但第三拳不管誰贏雙方同飲自己杯中酒，假設(shè)小明每拳贏叔叔的概率為，問在敬酒這環(huán)節(jié)小明喝酒三杯的概率是多少（ ） （猜拳只是一種娛樂，喝酒千萬不要過量?。? A． B． C. D． 6.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列有關(guān)性質(zhì)的描述正確的是（ ） A． B．為其所有對稱軸 C. 為其減區(qū)間 D．向左移可變?yōu)榕己瘮?shù) 7. 若，則下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． C. D． 8. 已知有下面程序，若程序執(zhí)行后輸出的結(jié)果是11880，則在程序后面的“_____”處應(yīng)填（ ） A． B． C. D． 9. 已知滿足，則的取值范圍是（ ） A． B． C. D． 10. 如圖是某幾何體挖去一部分后得到的三視圖，其中主視圖和左視圖相同都是一個等腰梯形及它的內(nèi)切圓，俯視圖中有兩個邊長分別為2和8的正方形且圖中的圓與主視圖圓大小相等并且圓心為兩個正方形的中心.問該幾何體的體積是（ ） A． B． C. D． 11.已知拋物線和的公切線（是與拋物線的切點(diǎn)，未必是與雙曲線的切點(diǎn)）與拋物線的準(zhǔn)線交于，若，則拋物線的方程是 （ ） A． B． C. D． 12. ，在不等式恒成立的條件下等式恒成立，求的取值集合（ ） A． B． C. D． 二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上） 13.已知向量，則 ． 14.數(shù)列的前項(xiàng)和是，，則 ． 15.，則 ． 16.直線與函數(shù)圖象相切于點(diǎn)，且，為圖象的極值點(diǎn)，與軸交點(diǎn)為，過切點(diǎn)作軸，垂足為，則 ． 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.） 17. 在中，角的對邊分別為，并且. （1）若角成等差數(shù)列，求外接圓的半徑； （2）若三邊成等差數(shù)列，求內(nèi)切圓半徑的最大值. 18. 如圖半圓柱的底面半徑和高都是1，面是它的軸截面（過上下底面圓心連線的平面），分別是上下底面半圓周上一點(diǎn). （1）證明：三棱錐體積，并指出和滿足什么條件時有 （2）求二面角平面角的取值范圍，并說明理由. 19. 鷹潭市龍虎山花語世界位于中國第八處世界自然遺產(chǎn)，世界地質(zhì)公元、國家自然文化雙遺產(chǎn)地、國家級旅游景區(qū)——龍虎山主景區(qū)排衙峰下，是一座獨(dú)具現(xiàn)代園藝風(fēng)格的花卉公園，園內(nèi)匯集了3000余種花卉苗木，一年四季姹紫嫣紅花香四溢.花園景觀融合法、英、意、美、日、中六大經(jīng)典園林風(fēng)格，景觀設(shè)計(jì)唯美新穎.玫瑰花園、香草花溪、臺地花海、植物迷宮、兒童樂園等景點(diǎn)錯落有致，交相呼應(yīng)又自成一體，是世界園藝景觀的大展示.該景區(qū)自xx春建成試運(yùn)行以來，每天游人如織，郁金香、向日葵、虞美人等賞花旺季日入園人數(shù)最高達(dá)萬人. 某學(xué)校社團(tuán)為了解進(jìn)園旅客的具體情形以及采集旅客對園區(qū)的建議，特別在xx4月1日賞花旺季對進(jìn)園游客進(jìn)行取樣調(diào)查，從當(dāng)日1xx名游客中抽取100人進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，結(jié)果如下：（表一） 年齡 頻數(shù) 頻率 男 女 10 0.1 5 5 [10,20) ① ② ③ ④ [20,30) 25 0.25 12 13 [30,40) 20 0.2 10 10 [40,50) 10 0.1 6 4 [50,60) 10 0.1 3 7 [60,70) 5 0.05 1 4 [70,80) 3 0.03 1 2 [80,90) 2 0.02 0 2 合計(jì) 100 1.00 45 55 （1）完成表格一中的空位①-④，并在答題卡中補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)xx4月1日當(dāng)日接待游客中30歲以下人數(shù). （2）完成表格二，并問你能否有97.5%的把握認(rèn)為在觀花游客中“年齡達(dá)到50歲以上”與“性別”相關(guān)？ （3）按分層抽樣（分50歲以上與50以下兩層）抽取被調(diào)查的100位游客中的10人作為幸運(yùn)游客免費(fèi)領(lǐng)取龍虎山內(nèi)部景區(qū)門票，再從這10人中選取2人接受電視臺采訪，設(shè)這2人中年齡在50歲以上（含）的人數(shù)為，求的分布列 （表二） 50歲以上 50歲以下 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 0.15 0．10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （參考公式：，其中.） 20. 已知 （1）求的軌跡 （2）過軌跡上任意一點(diǎn)作圓的切線，設(shè)直線的斜率分別是，試問在三個斜率都存在且不為0的條件下，是否是定值，請說明理由，并加以證明. 21. 已知函數(shù) （1）若，證明； （2）若，求的取值范圍；并證明此時的極值存在且與無關(guān). 請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.曲線 曲線（是參數(shù)） （1）求曲線的普通方程，并指出它是什么曲線. （2）當(dāng)變化時指出曲線是什么曲線以及它恒過的定點(diǎn)并求曲線截曲線所得弦長的最小值. 23. ， （1）若，解不等式 （2）若對，使得不等式成立，求的取值范圍. 試卷答案 一、選擇題 1-5: B B B C A 6-10: D D A A B 11、12： B A 二、填空題 13. 1 14. 15. 16. 三、解答題 17.（1）由角成等差數(shù)列及得， 設(shè)外接圓的半徑為由正弦定理 （2）由三邊成等差數(shù)列得，所以， 設(shè)內(nèi)切圓半徑為，面積為，則 所以 方法一：∵∴ （取等號） ∴所以（時取等號） ∴（時取等，即三角形為正三角形時） 方法二： ∵，∴ ∴∴ ∴ 18.（1） 證明：，其中是到平面的距離，（由條件及圓柱性質(zhì)）即平面到的距離且為定值1 由半圓性質(zhì)所以 所以由均值不等式 要有因?yàn)榈葍r于要有面 所以需要即可！ 注：1、不用均值不等式證明老師斟酌給分，若數(shù)形結(jié)合證明，只要說清楚了就給滿分2、（等價說法：，面都可以?。? （2） 如圖以為原點(diǎn)、為軸、為軸建坐標(biāo)系作垂直于平面于， 記 平面法向量可取 設(shè)平面的法向量 得可令 所以二面角平面角范圍 19.（1）完成表（一）；完成頻率分布直方圖 30歲以下頻率 以頻率作為概率，估計(jì)xx7月1日當(dāng)日接待游客中30歲以下人數(shù)： （表一） 年齡 頻數(shù) 頻率 男 女 10 0.1 5 5 [10,20) ① ② ③ ④ [20,30) 25 0.25 12 13 [30,40) 20 0.2 10 10 [40,50) 10 0.1 6 4 [50,60) 10 0.1 3 7 [60,70) 5 0.05 1 4 [70,80) 3 0.03 1 2 [80,90) 2 0.02 0 2 合計(jì) 100 1.00 45 55 （2）完成表格 50歲以上 50歲以下 合計(jì) 男生 5 40 45 女生 15 40 55 合計(jì) 20 80 100 所以沒有97.5%的把握認(rèn)為在觀花游客中“年齡達(dá)到50歲以上”與“性別”相關(guān) （3）由分層抽樣應(yīng)從這10人中抽取50歲以上人數(shù)：人，50歲以下人數(shù)8人取值可能0,1,2 0 1 2 20.（1）方法一： 如圖因?yàn)樗运倪呅问瞧叫兴倪呅? 所以， 由得 所以的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓易知 所以方程為 方法二： 設(shè)由得 再得 移項(xiàng) 平方化簡得： （從發(fā)現(xiàn)是橢圓方程也可以直接得 ，分檔批閱老師自己把握） （2）設(shè)，過的斜率為的直線為，由直線與圓相切可得 即： 由已知可知是方程（關(guān)于）的兩個根， 所以由韋達(dá)定理： 兩式相除： 又因?yàn)樗? 代入上式可得：即：為一個定值. 21.（1）若 當(dāng)單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增 所以，得證 （1）若，變形得到， 令，得到 ，令，可得在單增，在單減，所以， 在單減，當(dāng)所以，∴ （注：若令），得到 令， ，所以在單減，在單增，所以， 即在單增，當(dāng)所以，∴ 下面再證明的極值存在且與無關(guān)： ①, 與無關(guān). ② （其中）所以且在處取極小值 因?yàn)?，∴是關(guān)于的函數(shù)（與無關(guān)）， 所以也是關(guān)于（與無關(guān)）. 22. （1）∵ 圓心（1,0）半徑為3的圓 （2）消去參數(shù)是一條恒過定點(diǎn)的直線（但不包括），當(dāng)直線與圓心連線垂直時弦長最小，設(shè)圓心到直線的距離為，則，所以弦 23.（1） 當(dāng) 或或 得或 （2）∵使得不等式 ∴ 令 ∴由①得