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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《2.4 線性回歸方程》知能優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版必修3 1．下列關(guān)系中為相關(guān)關(guān)系的有________． ①學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ②教師的執(zhí)教水平與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ③學(xué)生的身高與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系； ④家庭的經(jīng)濟(jì)條件與學(xué)生的學(xué)習(xí)成績之間的關(guān)系． 解析：據(jù)相關(guān)性的定義可知①②為相關(guān)關(guān)系，③④無相關(guān)關(guān)系． 答案：①② 2．有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是________． ①相關(guān)關(guān)系的兩個變量不是因果關(guān)系； ②散點圖能直接地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度； ③回歸直線最能代表線性相關(guān)的兩個變量之間的關(guān)系； ④任意一組數(shù)據(jù)都有回歸方程． 解析：并不是每一組數(shù)據(jù)都有回歸方程，例如當(dāng)一組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)很小時，這組數(shù)據(jù)就不會有回歸方程． 答案：④ 3．線性回歸方程＝bx＋a必經(jīng)過點________． 解析：根據(jù)求系數(shù)公式a＝－b可知：＝b＋a，即點(，)能使線性回歸方程＝bx＋a成立，所以線性回歸方程＝bx＋a必經(jīng)過點(，)． 答案：(，) 4．正常情況下，年齡在18歲到38歲的人，體重y(kg)對身高x(cm)的回歸方程為＝0.72x－58.2，張紅同學(xué)(20歲)身高178 cm，她的體重應(yīng)該在________kg左右． 解析：用回歸方程對身高為178 cm的人的體重進(jìn)行預(yù)測，當(dāng)x＝178時，＝0.72178－58.2＝69.96(kg)． 答案：69.96 一、填空題 1．(xx年鹽城調(diào)研)有下列關(guān)系：①人的年齡與他(她)擁有的財富之間的關(guān)系；②曲線上的點與該點的坐標(biāo)之間的關(guān)系；③日照時間與水稻的畝產(chǎn)量；④森林中同一種樹木，其斷面直徑與高度之間的關(guān)系．其中，具有相關(guān)關(guān)系的是________． 解析：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性的關(guān)系，顯然②具有確定性關(guān)系． 答案：①③④ 2．下列說法： ①線性回歸方程適用于一切樣本和總體； ②線性回歸方程一般都有局限性； ③樣本取值的范圍會影響線性回歸方程的適用范圍； ④線性回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的精確值． 正確的是________(將你認(rèn)為正確的序號都填上)． 解析：樣本或總體具有線性相關(guān)關(guān)系時，才可求線性回歸方程，而且由線性回歸方程得到的函數(shù)值是近似值，而非精確值，因此線性回歸方程有一定的局限性．所以①④錯． 答案：②③ 3．下面四個散點圖中點的分布狀態(tài)，直觀上判斷兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系的是________． 解析：散點圖①中的點無規(guī)律的分布，范圍很廣，表明兩個變量之間的相關(guān)程度很?。虎谥兴械狞c都在同一條直線上，是函數(shù)關(guān)系；③中點的分布在一條帶狀區(qū)域上，即點分布在一條直線的附近，是線性相關(guān)關(guān)系；④中的點也分布在一條帶狀區(qū)域內(nèi)，但不是線性的，而是一條曲線附近，所以不是線性相關(guān)關(guān)系，故填③. 答案：③ 4．設(shè)有一個線性回歸方程＝4－3x，當(dāng)變量x增加1個單位時，y平均________個單位． 解析：當(dāng)x增加到x＋1時，′－＝[4－3(x＋1)]－(4－3x)＝－3，所以y變化－3個單位，即平均減少3個單位． 答案：減少3 5．(xx年高考廣東卷)某市居民xx～xx年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示： 年份 xx xx xx xx xx 收入x 11.5 12.1 13 13.3 15 支出Y 6.8 8.8 9.8 10 12 根據(jù)統(tǒng)計資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關(guān)關(guān)系． 解析：把xx～xx年家庭年平均收入按從小到大順序排列為11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位數(shù)為13(萬元)，由統(tǒng)計資料可以看出，當(dāng)年平均收入增多時，年平均支出也增多，因此兩者之間具有正線性相關(guān)關(guān)系． 答案：13　正 6．工人月工資y(元)依據(jù)勞動生產(chǎn)率x(千元)變化的線性回歸方程為＝50＋80x，當(dāng)勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資平均提高_(dá)_______元． 解析：線性回歸方程＝bx＋a中b的意義是，當(dāng)x增加一個單位時，y的值平均變化b個單位，這是一個平均變化率，線性回歸方程不是一種確定關(guān)系，只能用于預(yù)測變量的值，所以當(dāng)x增加一個單位1千元時，工資平均提高80元． 答案：80 7．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 y 2 3 5 7 則x與y之間的線性回歸方程＝bx＋a必過點________． 解析：線性回歸方程＝bx＋a必過點(，)， ＝＝2.5，＝＝4.25， 所以必過點(2.5,4.25)． 答案：(2.5,4.25) 8．某考察團(tuán)對全國10大城市進(jìn)行職工人均工資水平x(千元)與居民人均消費水平y(tǒng)(千元)統(tǒng)計調(diào)查，y與x具有相關(guān)關(guān)系，回歸方程＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消費水平為7.675(千元)，估計該城市人均消費額占人均工資收入的百分比約為________． 解析：由7.675＝0.66x＋1.562得x≈9.2621， ∴該城市居民人均消費額占人均工資收入的百分比為7.6759.2621≈83%. 答案：83% 9．由一組觀測數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x12，y12)得＝1.542，＝2.8475，x＝29.808，y＝99.208，xiyi＝54.243，則線性回歸方程是________． 解析：設(shè)線性回歸方程＝bx＋a， 利用，計算a，b，得b≈1.218， a＝－b≈0.969， ∴線性回歸方程為：＝1.218x＋0.969. 答案：＝1.218x＋0.969 二、解答題 10．高一(2)班的5名學(xué)生的化學(xué)和生物的成績?nèi)缦卤恚? 學(xué)生 A B C D E 化學(xué) 80 75 70 65 60 生物 70 65 68 64 62 畫出散點圖，并判斷它們是否具有相關(guān)關(guān)系． 解：以橫軸表示化學(xué)成績，縱軸表示生物成績，可得相應(yīng)的散點圖，如圖所示： 觀察散點圖可知，化學(xué)成績和生物成績具有相關(guān)關(guān)系，且可以看成是線性相關(guān)關(guān)系． 11．某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某地區(qū)的家庭收入水平與消費支出的相關(guān)情況，抽查了多個家庭，根據(jù)調(diào)查資料得到以下數(shù)據(jù)：每戶平均年收入為88000元，每戶平均年消費支出為50000元，支出對于收入的回歸系數(shù)為0.6. (1)求支出對于收入的回歸方程； (2)年收入每增加100元，年消費支出平均增加多少元？ (3)若某家庭年消費支出為80000元，試估計該家庭的年收入為多少元？ 解：(1)設(shè)年收入為x元，年支出為y元，知 ＝88000元，＝50000元，b＝0.6， 則a＝－b＝50000－0.688000＝－2800. 故支出對于收入的回歸方程為＝0.6x－2800. (2)年收入每增加100元，年消費支出平均增加60元． (3)某家庭年消費支出為80000元，根據(jù)回歸方程＝0.6x－2800，可得80000＝0.6x－2800，解得x＝138000，即估計該家庭的年收入為138000元． 12．從某一行業(yè)隨機(jī)抽取12家企業(yè)，它們的生產(chǎn)產(chǎn)量與生產(chǎn)費用的數(shù)據(jù)如下表所示： 企業(yè)編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 產(chǎn)量x(臺) 40 42 50 55 85 78 84 100 116 125 130 140 費用y (萬元) 130 150 155 140 150 154 165 170 167 180 175 185 (1)繪制生產(chǎn)產(chǎn)量x和生產(chǎn)費用y的散點圖； (2)如果兩個變量之間是線性相關(guān)關(guān)系？求出其線性回歸方程； (3)如果一個企業(yè)的產(chǎn)量是120臺，請預(yù)測它的生產(chǎn)費用． 解：(1)兩個變量x和y之間的關(guān)系的散點圖如圖所示： (2)根據(jù)散點圖可知，兩個變量x和y之間的關(guān)系是線性相關(guān)關(guān)系．下面用最小平方法求線性回歸方程： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 合計 xi 40 42 50 55 85 78 84 100 116 125 130 140 1045 yi 130 150 155 140 150 154 165 170 167 180 175 185 1921 xiyi 5200 6300 7750 7700 12750 1xx 13860 17000 19372 22500 22750 25900 173094 x 1600 1764 2500 3025 7225 6084 7056 10000 13456 15625 16900 19600 104835 所以＝87.08，＝160.1，n＝167298.096，n2＝90995.1168 設(shè)所求的線性回歸方程是＝bx＋a， 所以b＝＝≈≈0.42， a＝－b＝160.1－0.4287.08≈123.53. 所求的線性回歸方程是＝0.42x＋123.53. (3)在線性回歸方程＝0.42x＋123.53中，常數(shù)項123.53可以認(rèn)為是固定費用，它不隨產(chǎn)量的變化而變化；0.42可以認(rèn)為是可變費用的增長系數(shù)，即每增加一個單位的產(chǎn)量就增加0.42個單位的費用；將x＝120代入回歸方程得： ＝0.42120＋123.53＝173.93(萬元)，即如果一個企業(yè)的生產(chǎn)量是120臺，它的生產(chǎn)費用約為173.93萬元．