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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明同步練習(xí) 文 1．了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系． 2．了解不等式(組)的實(shí)際背景． 3．掌握不等式的性質(zhì)及應(yīng)用． 1．實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系 a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b. 2．不等式的基本性質(zhì) (1)對(duì)稱(chēng)性：a＞b?b＜a； (2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c； (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc， a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?ab＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可開(kāi)方：a＞b＞0?＞(n∈N，n≥2)． 不等式的兩類(lèi)常用性質(zhì) (1)倒數(shù)性質(zhì) ①a＞b，ab＞0?＜； ②a＜0＜b?＞； ③a＞b＞0,0＜c＜d?＞； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?>>. (2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì) 若a＞b＞0，m＞0，則 ①真分?jǐn)?shù)的性質(zhì) ＜；＞(b－m＞0)； ②假分?jǐn)?shù)的性質(zhì) ＞；＜(b－m＞0)． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變．(　　) (2)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越?。?　　) (3)同向不等式具有可加和可乘性．(　　) (4)兩個(gè)數(shù)的比值大于1，則分子不一定大于分母．(　　) 答案：　(1)　(2)　(3)　(4)√ 2．下列命題正確的是(　　) A．若ac＞bc，則a＞b　　　　 B．若a2＞b2，則a＞b C．若＞，則a＜b　 D．若＜，則a＜b 答案：　D 3．已知a，b是實(shí)數(shù)，則“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：　?.又當(dāng)ab＞0時(shí)，a與b同號(hào)，由a＋b＞0知a＞0，且b＞0. 答案：　C 4.________＋1(填“＞”或“＜”)． 解析：?。剑?＜＋1. 答案：?。? 5．下列不等式中恒成立的是________． ①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m. 解析：　m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立； 5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立； 5m－3m＝2m，無(wú)法判斷其符號(hào)，故③不恒成立； 5＋m－5＋m＝2m，無(wú)法判斷其符號(hào)，故④不恒成立． 答案：?、佗? 比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小 1．若a1＜a2，b1＜b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系是________． 解析：　作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，∵a1＜a2，b1＜b2，∴(a1－a2)(b1－b2)＞0，即a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1. 答案：　a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1 2．若a＝，b＝，則a________b(填“＞”或“＜”)． 解析：　易知a，b都是正數(shù)，＝＝log89＞1，所以b＞a. 答案：?。? 3．若實(shí)數(shù)m≠1，比較m＋2與的大?。? 解析：　m＋2－＝＝， ∴當(dāng)m＞1時(shí)，m＋2＞； 當(dāng)m＜1時(shí)，m＋2＜. 　比較兩個(gè)數(shù)大小的常用方法 (1)作差法：其基本步驟為：作差、變形、判斷符號(hào)、得出結(jié)論，用作差法比較大小的關(guān)鍵是判斷差的正負(fù)，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等變形方法． (2)作商法：即判斷商與1的關(guān)系，得出結(jié)論，要特別注意當(dāng)商與1的大小確定后必須對(duì)商式分子分母的正負(fù)做出判斷，這是用作商法比較大小時(shí)最容易漏掉的關(guān)鍵步驟． (3)特值驗(yàn)證法：對(duì)于一些題目，有的給出取值范圍，可采用特值驗(yàn)證法比較大?。? 不等式的性質(zhì) (1)(xx四川卷)若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(　　) A．＞　 B．＜ C．＞　 D．＜ (2)(xx陜西咸陽(yáng)摸底)若a，b是任意實(shí)數(shù)，且a＞b，則下列不等式成立的是(　　) A．a(chǎn)2＞b2　 B．＜1 C．lg(a－b)＞0　 D．a(chǎn)＜b 解析：　(1)∵c＜d＜0，∴0＞＞，∴－＞－＞0， 又a＞b＞0，∴－＞－，故選B． (2)當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，a2＜b2，＞1，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C，故選D． 答案：　(1)B　(2)D 1．(xx廣東東莞一模)設(shè)a，b∈R，若a＋|b|<0，則下列不等式中正確的是(　　) A．a(chǎn)－b>0　 B．a(chǎn)3＋b3>0 C．a(chǎn)2－b2<0　 D．a(chǎn)＋b<0 解析：　當(dāng)b≥0時(shí)，a＋b<0；當(dāng)b<0時(shí)，a－b<0， ∴ab2，知A不成立；由aab2，知B不成立；若a＝1，b＝2，則＝2，＝，此時(shí)>，所以D不成立；對(duì)于C，∵－＝<0，∴<.故選C． 答案：　C 4．(xx山東泰安一模)如果a＞b，則下列各式正確的是(　　) A．a(chǎn)lg x＞blg x　 B．a(chǎn)x2＞bx2 C．a(chǎn)2＞b2　 D．a(chǎn)2x＞b2x 解析：　A項(xiàng)，當(dāng)lg x＝0，即x＝1時(shí)不滿(mǎn)足；B項(xiàng)，當(dāng)x2＝0時(shí)不滿(mǎn)足；C項(xiàng)，當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)不滿(mǎn)足；D項(xiàng)，因?yàn)?x＞0，所以a2x＞b2x.綜上可知選D． 答案：　D 5．設(shè)甲：m，n滿(mǎn)足乙：m，n滿(mǎn)足那么甲是乙的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：　由?2＜m＋n＜4,0＜mn＜3； 但?/ 反例，如故甲是乙的必要不充分條件． 答案：　B 6．若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是________． 解析：　∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0. ∴－3＜α－|β|＜3. 答案：　(－3,3) 7．已知a＋b＞0，則＋與＋的大小關(guān)系是________． 解析：?。剑? ＝(a－b)＝. ∵a＋b＞0，(a－b)2≥0， ∴≥0. ∴＋≥＋. 答案：　＋≥＋ 8．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，則z＝2x－3y的取值范圍是________(用區(qū)間表示)． 解析：　∵z＝－(x＋y)＋(x－y)， ∴3≤－(x＋y)＋(x－y)≤8， ∴z∈[3,8]． 答案：　[3,8] 9．若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求證：＞. 證明：　∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0. 又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0. ∴(a－c)2＞(b－d)2＞0. ∴0＜＜. 又∵e＜0，∴＞. 10．某公司租賃甲、乙兩種設(shè)備生產(chǎn)A，B兩類(lèi)產(chǎn)品，甲種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品5件和B類(lèi)產(chǎn)品10件，乙種設(shè)備每天能生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品6件和B類(lèi)產(chǎn)品20件．已知設(shè)備甲每天的租賃費(fèi)為200元，設(shè)備乙每天的租賃費(fèi)為300元，現(xiàn)該公司要生產(chǎn)A類(lèi)產(chǎn)品至少50件，B類(lèi)產(chǎn)品至少140件，所需租賃費(fèi)最多不超過(guò)2 500元，寫(xiě)出滿(mǎn)足上述所有不等關(guān)系的不等式． 解析：　設(shè)甲種設(shè)備需要生產(chǎn)x天，乙種設(shè)備需要生產(chǎn)y天，則甲、乙兩種設(shè)備每天生產(chǎn)A，B兩類(lèi)產(chǎn)品的情況如表所示： A類(lèi)產(chǎn)品(件) B類(lèi)產(chǎn)品(件) 租賃費(fèi)(元) 甲設(shè)備 5 10 200 乙設(shè)備 6 20 300 則x，y滿(mǎn)足即 B級(jí)　能力提升 1．(xx北京平谷4月)已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題： ①若ab＞0，bc－ad＞0，則－＞0； ②若ab＞0，－＞0，則bc－ad＞0； ③若bc－ad＞0，－＞0，則ab>0. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 解析：　∵ab＞0，bc－ad＞0， ∴－＝＞0，∴①正確； ∵ab＞0，又－＞0，即＞0， ∴bc－ad＞0，∴②正確； ∵bc－ad＞0，又－＞0，即＞0， ∴ab＞0，∴③正確．故選D． 答案：　D 2．已知存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足ab2＞a＞ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________． 解析：　∵ab2＞a＞ab，∴a≠0， 當(dāng)a＞0時(shí)，b2＞1＞b， 即解得b＜－1； 當(dāng)a＜0時(shí)，b2＜1＜b， 即無(wú)解． 綜上可得b＜－1. 答案：　(－∞，－1) 3．已知12＜a＜60,15＜b＜36，求a－b，的取值范圍． 解析：　∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15. 又12＜a＜60， ∴12－36＜a－b＜60－15， ∴－24＜a－b＜45， 即a－b的取值范圍是(－24,45)． ∵＜＜， ∴＜＜， ∴＜＜4， 即的取值范圍是. 4．某單位組織職工去某地參觀(guān)學(xué)習(xí)需包車(chē)前往．甲車(chē)隊(duì)說(shuō)：“如果領(lǐng)隊(duì)買(mǎi)一張全票，其余人可享受7.5折優(yōu)惠．”乙車(chē)隊(duì)說(shuō)：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠．”這兩個(gè)車(chē)隊(duì)的原價(jià)、車(chē)型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)比較兩車(chē)隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠． 解析：　設(shè)該單位職工有n人(n∈N*)，全票價(jià)為x元，坐甲車(chē)需花y1元，坐乙車(chē)需花y2元， 則y1＝x＋x(n－1)＝x＋xn，y2＝nx. 所以y1－y2＝x＋xn－nx ＝x－nx ＝x. 當(dāng)n＝5時(shí)，y1＝y(tǒng)2； 當(dāng)n＞5時(shí)，y1＜y2； 當(dāng)n＜5時(shí)，y1＞y2. 因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5人時(shí)，兩車(chē)隊(duì)收費(fèi)相同；多于5人時(shí)，甲車(chē)隊(duì)更優(yōu)惠；少于5人時(shí)，乙車(chē)隊(duì)更優(yōu)惠． 第二節(jié)　一元二次不等式及其解法 1．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型． 2．通過(guò)函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系． 3．會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，會(huì)設(shè)計(jì)求解的程序框圖． 三個(gè)“二次”間的關(guān)系 判別式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數(shù) y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有兩相異實(shí)根 x1，x2(x1＜x2) 有兩相等實(shí)根 x1＝x2＝－ 沒(méi)有 實(shí)數(shù)根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ? ? 1．分式不等式與一元二次不等式的關(guān)系 (1)＞0等價(jià)于(x－a)(x－b)＞0. (2)＜0等價(jià)于(x－a)(x－b)＜0. (3)≥0等價(jià)于 (4)≤0等價(jià)于 2．兩個(gè)常用的結(jié)論 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立? (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立? 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，則方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根是x1和x2.(　　) (3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R.(　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　) (5)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開(kāi)口向下，則不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(　　) 答案：　(1)√　(2)√　(3)　(4)　(5)√ 2．不等式x(2－x)＞0的解集是(　　) A．(－∞，0)　 B．(0,2) C．(－∞，0)∪(2，＋∞)　 D．(2，＋∞) 答案：　B 3．x2－ax＋b＞0的解集為{x|x＜2或x＞3}，則a＋b的值是(　　) A．1　 B．－1 C．11　 D．12 答案：　C 4．a(chǎn)<0時(shí)，不等式x2－2ax－3a2<0的解集是________． 解析：　∵x2－2ax－3a2＝0， ∴x1＝3a，x2＝－a. 又a<0，∴不等式的解集為{x|3a0)． 解析：　(1)原不等式轉(zhuǎn)化為16x2－8x＋1≥0， 即(4x－1)2≥0，∴x∈R， 故原不等式的解集為R. (2)原不等式可化為(ax－1)(x－2)<0. 因a>0，原不等式可以化為a(x－2)<0， 根據(jù)不等式的性質(zhì)知這個(gè)不等式等價(jià)于(x－2)<0， 方程(x－2)＝0的兩個(gè)根是2，. 當(dāng)0時(shí)，<2，不等式的解集是 . 綜上所述，當(dāng)0時(shí)，不等式的解集為 . 　1.解一元二次不等式的一般步驟： (1)對(duì)不等式變形，使一端為0且二次項(xiàng)系數(shù)大于0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)計(jì)算相應(yīng)的判別式； (3)當(dāng)Δ≥0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根； (4)根據(jù)對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的圖象，寫(xiě)出不等式的解集． 2．解含參數(shù)的一元二次不等式可先考慮因式分解，再對(duì)根的大小進(jìn)行分類(lèi)討論；若不能因式分解，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類(lèi)討論，分類(lèi)要不重不漏． 一元二次不等式恒成立問(wèn)題 設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)． (1)若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范圍； (2)若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范圍． 解析：　(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立， 由m≠0，得?－4＜m＜0. 所以－4＜m<0. (2)要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即 m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 有以下兩種方法： 法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]． 當(dāng)m＞0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)， 所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0， 所以m＜，則0＜m＜； 當(dāng)m＜0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)， 所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0. 綜上所述，m的取值范圍是 . 法二：因?yàn)閤2－x＋1＝2＋＞0， 又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜. 因?yàn)楹瘮?shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m＜即可． 因?yàn)閙≠0， 所以，m的取值范圍是 . 1．(xx河南鄭州調(diào)研)若不等式x2＋ax＋1≥0對(duì)一切x∈都成立，求a的最小值． 解析：　法一：由于x＞0，則由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，而當(dāng)x∈時(shí)，max＝－，∴a≥－，故a的最小值為－. 法二：設(shè)f(x)＝x2＋ax＋1，則其對(duì)稱(chēng)軸為x＝－. (1)若－≥，即a≤－1時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，此時(shí)應(yīng)有f≥0，從而－≤a≤－1. (2)若－＜0，即a＞0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，此時(shí)應(yīng)有f(0)＝1＞0恒成立，故a＞0. (3)若0≤－＜，即－1＜a≤0時(shí)，則應(yīng)有f＝－＋1＝1－≥0恒成立，故－1＜a≤0. 綜上可知a≥－，故a的最小值為－. 2.求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0，|a|≤1恒成立的x的取值范圍． 解析：　將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0. 令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9. 因?yàn)閒(a)>0在|a|≤1時(shí)恒成立，所以 (1)若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，應(yīng)舍去． (2)若x≠3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x<2或x>4. 故x的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)． 3．(xx廣東湛江檢測(cè))設(shè)奇函數(shù)f(x)在[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)，且f(－1)＝－1.若函數(shù)f(x)≤t2－2at＋1對(duì)所有的x∈[－1,1]都成立，則當(dāng)a∈[－1,1]時(shí)，求t的取值范圍． 解析：　∵f(x)為奇函數(shù)，f(－1)＝－1， ∴f(1)＝－f(－1)＝1. 又∵f(x)在[－1,1]上是單調(diào)函數(shù)， ∴－1≤f(x)≤1， ∴當(dāng)a∈[－1,1]時(shí)，t2－2at＋1≥1恒成立， 即t2－2at≥0恒成立． 令g(a)＝t2－2at，a∈[－1,1]， ∴ 解得t≥2或t＝0或t≤－2. t的取值范圍為t≥2或t＝0或t≤－2. 　恒成立問(wèn)題及二次不等式恒成立的條件 (1)解決恒成立問(wèn)題一定要清楚選誰(shuí)為主元，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)． (2)對(duì)于二次不等式恒成立問(wèn)題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方；恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方． 一元二次不等式的應(yīng)用 某產(chǎn)品生產(chǎn)廠(chǎng)家根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x(百臺(tái))，其總成本為G(x)萬(wàn)元，其中固定成本為2萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)100臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元(總成本＝固定成本＋生產(chǎn)成本)，銷(xiāo)售收入R(x)滿(mǎn)足 R(x)＝ 假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡，那么根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律： (1)要使工廠(chǎng)有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？ (2)工廠(chǎng)生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為多少？ 解析：　依題意得G(x)＝x＋2，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x)，則f(x)＝R(x)－G(x)， 所以f(x)＝ (1)要使工廠(chǎng)有盈利，則有f(x)＞0，因?yàn)? f(x)＞0?或 ?或5＜x＜8.2?或5＜x＜8.2 ?1＜x≤5或5＜x＜8.2?1＜x＜8.2. 所以要使工廠(chǎng)盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于100臺(tái)小于820臺(tái)的范圍內(nèi)． (2)0≤x≤5時(shí)，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6， 故當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)有最大值3.6. 而當(dāng)x＞5時(shí)，f(x)＜8.2－5＝3.2， 所以當(dāng)工廠(chǎng)生產(chǎn)400臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，盈利最大， 又x＝4時(shí)，＝2.4(萬(wàn)元/百臺(tái)) ＝240(元/臺(tái))． 故此時(shí)每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為240元． 某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)．現(xiàn)有兩家ISP公司可供選擇．公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元；公司B在用戶(hù)每次上網(wǎng)的第1小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.7元，第2小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元(若用戶(hù)一次上網(wǎng)時(shí)間超過(guò)17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算)．假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時(shí)間總和小于17小時(shí)，那么該同學(xué)如何選擇ISP公司較省錢(qián)？ 解析：　假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則公司A收取的費(fèi)用為1.5x元， 公司B收取的費(fèi)用為元． 若能夠保證選擇A比選擇B費(fèi)用少，則 ＞1.5x(0＜x＜17)， 整理得x2－5x＜0，解得0＜x＜5， 所以當(dāng)一次上網(wǎng)時(shí)間在5小時(shí)以?xún)?nèi)時(shí)，選擇公司A的費(fèi)用少；超過(guò)5小時(shí)，選擇公司B的費(fèi)用少；上網(wǎng)5小時(shí)，公司A、B的費(fèi)用一樣． 　求解不等式應(yīng)用題的四個(gè)步驟 (1)閱讀理解，認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系． (2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，將文字信息轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用不等式表示不等關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型． (3)解不等式，得出數(shù)學(xué)結(jié)論，要注意數(shù)學(xué)模型中自變量的實(shí)際意義． (4)回歸實(shí)際問(wèn)題，將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果． A級(jí)　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．(xx廣東惠州模擬)不等式≥0的解集為(　　) A．[－2,1]　 B．(－2,1] C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)　 D．(－∞，－2]∪(1，＋∞) 解析：　≥0??－2＜x≤1. 答案：　B 2．已知不等式x2－2x－3＜0的解集為A，不等式x2＋x－6＜0的解集為B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集為A∩B，那么a＋b等于(　　) A．－3　 B．1 C．－1　 D．3 解析：　由題意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3. 答案：　A 3．下列選項(xiàng)中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范圍是(　　) A．(－∞，－1)　 B．(－1,0) C．(0,1)　 D．(1，＋∞) 解析：　由x＜＜x2可得即解得綜合知x＜－1. 答案：　A 4．如果關(guān)于x的不等式5x2－a≤0的所有正整數(shù)解是1,2,3,4，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[80,125)　 B．(80,125) C．(－∞，80)　 D．(125，＋∞) 解析：　由5x2－a≤0，得－≤x≤ ，而5x2－a≤0的所有正整數(shù)解是1,2,3,4， ∴4≤ ＜5，∴80≤a＜125. 答案：　A 5．(xx遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知一元二次不等式f(x)≤0的解集為，則f(ex)＞0的解集為(　　) A．{x|x＜－ln 2或x＞ln 3}　 B．{x|ln 2＜x＜ln 3} C．{x|x＜ln 3}　 D．{x|－ln 2＜x＜ln 3} 解析：　由題意可知一元二次不等式所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，故f(x)＞0的解集為， 又∵f(ex)＞0，∴＜ex＜3，解得－ln 2＜x＜ln 3. 答案：　D 6．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________． 解析：　不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2. 答案：　{x|0＜x＜2} 7．(xx重慶萬(wàn)州考前模擬)若關(guān)于x的不等式ax＞b的解集為，則關(guān)于x的不等式ax2＋bx－a＞0的解集為_(kāi)___________． 解析：　由已知ax＞b的解集為，可知a＜0，且＝，將不等式ax2＋bx－a＞0兩邊同除以a，得x2＋x－＜0，所以x2＋x－＜0，即5x2＋x－4＜0，解得－1＜x＜，故原不等式的解集為. 答案：　 8．若關(guān)于x的不等式ax2－x＋2a＜0的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：　依題意可知，問(wèn)題等價(jià)于ax2－x＋2a≥0恒成立， 當(dāng)a＝0時(shí)，－x≥0不恒成立，故a＝0舍去； 當(dāng)a≠0時(shí)，要使ax2－x＋2a≥0恒成立， 即f(x)＝ax2－x＋2a的圖象不在x軸的下方， ∴即 解得a≥，即a的取值范圍是. 答案：　 9．已知二次函數(shù)y＝x2＋px＋q，當(dāng)y＜0時(shí)，有－＜x＜，解不等式qx2＋px＋1＞0. 解析：　因?yàn)楫?dāng)y＜0時(shí)，有－＜x＜，所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 由根與系數(shù)的關(guān)系得解得 所以不等式qx2＋px＋1＞0?－x2＋x＋1＞0?x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3， 即不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}． 10．已知函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽. (1)求a的取值范圍； (2)若函數(shù)f(x)的最小值為，解關(guān)于x的不等式x2－x－a2－a＜0. 解析：　(1)∵函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)镽， ∴ax2＋2ax＋1≥0恒成立， 當(dāng)a＝0時(shí)，1≥0恒成立， 當(dāng)a≠0時(shí)，則有 ∴0＜a≤1. 綜上可知，a的取值范圍是[0,1]． (2)∵f(x)＝ ＝， ∵a＞0， ∴當(dāng)x＝－1時(shí)，f(x)min＝， 由題意得，＝， ∴a＝， ∴不等式x2－x－a2－a＜0可化為x2－x－＜0， 解得－＜x＜， 所以不等式的解集為. B級(jí)　能力提升 1．對(duì)一切正整數(shù)n，不等式＞恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－∞，0)　 B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞)　 D．(－∞，0)∪[1，＋∞) 解析：　由條件知只需＞max，而＝＜1.∵≥1，解得x∈(－∞，0)∪[1，＋∞)． 答案：　D 2．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，則a的取值范圍是________． 解析：　原不等式即(x－a)(x－1)≤0，當(dāng)a＜1時(shí)，不等式的解集為[a,1]，此時(shí)只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解為x＝1，此時(shí)符合要求；當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為[1，a]，此時(shí)只要a≤3即可，即1＜a≤3. 綜上可得－4≤a≤3. 答案：　[－4,3] 3．一個(gè)服裝廠(chǎng)生產(chǎn)風(fēng)衣，月銷(xiāo)售量x(件)與售價(jià)p(元/件)之間的關(guān)系為p＝160－2x，生產(chǎn)x件的成本R＝500＋30x(元)． (1)該廠(chǎng)月產(chǎn)量多大時(shí)，月利潤(rùn)不少于1 300元？ (2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？ 解析：　(1)由題意知，月利潤(rùn)y＝px－R， 即y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500. 由月利潤(rùn)不少于1 300元，得－2x2＋130x－500≥1 300. 即x2－65x＋900≤0，解得20≤x≤45. 故該廠(chǎng)月產(chǎn)量在20～45件時(shí)，月利潤(rùn)不少于1 300元． (2)由(1)得，y＝－2x2＋130x－500＝－22＋， 由題意知，x為正整數(shù)． 故當(dāng)x＝32或33時(shí)，y最大為1 612. 所以當(dāng)月產(chǎn)量為32或33件時(shí)，可獲最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為1 612元． 4．設(shè)二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，函數(shù)F(x)＝f(x)－x的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n(m＜n)． (1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集； (2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜，比較f(x)與m的大?。? 解析：　(1)由題意知，F(xiàn)(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)， 當(dāng)m＝－1，n＝2時(shí)，不等式F(x)＞0， 即a(x＋1)(x－2)＞0. 那么當(dāng)a＞0時(shí)，不等式F(x)＞0的解集為{x|x＜－1或x＞2}； 當(dāng)a＜0時(shí)，不等式F(x)＞0的解集為{x|－1＜x＜2}． (2)f(x)－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)， ∵a＞0，且0＜x＜m＜n＜，∴x－m＜0,1－an＋ax＞0. ∴f(x)－m＜0，即f(x)＜m. 第三節(jié)　二元一次不等式(組)及簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 1．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組． 2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組． 3．會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決. 1．二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 不等式 表示區(qū)域 Ax＋By＋C＞0 直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域 不包括邊界直線(xiàn) Ax＋By＋C≥0 包括邊界直線(xiàn) 不等式組 各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分 2.二元一次不等式(組)的解集 滿(mǎn)足二元一次不等式(組)的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)(x，y)，叫做二元一次不等式(組)的解，所有這樣的有序數(shù)對(duì)(x，y)構(gòu)成的集合稱(chēng)為二元一次不等式(組)的解集． 3．線(xiàn)性規(guī)劃的有關(guān)概念 名稱(chēng) 意義 約束條件 由變量x，y組成的不等式(組) 線(xiàn)性約束條件 由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組) 目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝x＋2y 線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù) 關(guān)于x，y的一次解析式 可行解 滿(mǎn)足線(xiàn)性約束條件的解(x，y) 可行域 所有可行解組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解 線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題 1．確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域的方法 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域，常采用“直線(xiàn)定界，測(cè)試點(diǎn)定域”的方法． (1)直線(xiàn)定界，即若不等式不含等號(hào)，則應(yīng)把直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)；若不等式含有等號(hào)，把直線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn)． (2)特殊點(diǎn)定域，由于對(duì)在直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0同側(cè)的點(diǎn)，實(shí)數(shù)Ax＋By＋C的值的符號(hào)都相同，故為確定Ax＋By＋C的值的符號(hào)，可采用特殊點(diǎn)法，如取原點(diǎn)、(0,1)、(1,0)等點(diǎn)． 2．求二元一次函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值的方法 將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)的斜截式：y＝－x＋，通過(guò)求直線(xiàn)的截距的最值間接求出z的最值． (1)當(dāng)b＞0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值； (2)當(dāng)b＜0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值． 1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“”) (1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面區(qū)域一定在直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (2)任何一個(gè)二元一次不等式組都表示平面上的一個(gè)區(qū)域．(　　) (3)線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的．(　　) (4)線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上．(　　) (5)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線(xiàn)ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(　　) 答案：　(1)　(2)　(3)√　(4)√　(5) 2．下面給出的四個(gè)點(diǎn)中，位于表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是(　　) A．(0,2)　 B．(－2,0) C．(0，－2)　 D．(2,0) 解析：　將四個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入不等式組滿(mǎn)足條件的是(0，－2)． 答案：　C 3．(xx湖北卷)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件則2x＋y的最大值是(　　) A．2　 B．4 C．7　 D．8 解析：　畫(huà)出x，y的約束條件限定的可行域?yàn)槿鐖D陰影區(qū)域，令u＝2x＋y，則y＝－2x＋u，先畫(huà)出直線(xiàn)y＝－2x，再平移直線(xiàn)y＝－2x，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,1)時(shí)，代入u，可得最大值為7，故選C． 答案：　C 4．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則此不等式組表示的平面區(qū)域的面積是________． 解析：　作出可行域?yàn)槿鐖D所示的三角形， ∴S△＝11＝. 答案：　 5．若x，y滿(mǎn)足約束條件，則z＝x－y的最大值是________． 解析：　作出約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，當(dāng)直線(xiàn)z＝x－y過(guò)點(diǎn)A(1,1)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝x－y取得最大值0. 答案：　0 二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域 1．若關(guān)于x，y的不等式組所表示的區(qū)域?yàn)槿切?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，1)　 B．(0,1) C．(－1,1)　 D．(1，＋∞) 解析：　y＝ax為過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，當(dāng)a≥0時(shí)，若能構(gòu)成三角形，則需0≤a＜1；當(dāng)a＜0時(shí)，若能構(gòu)成三角形，則需－1＜a＜0，綜上a∈(－1,1)． 答案：　C 2．(xx安徽卷)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_______． 解析：　作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，可知S△ABC＝2(2＋2)＝4. 答案：　4 　1.作平面區(qū)域時(shí)要“直線(xiàn)定界，測(cè)試點(diǎn)定域”，當(dāng)不等式無(wú)等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，有等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn)，若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn)． 2．求平面區(qū)域的面積，要先確定區(qū)域，若是規(guī)則圖形可直接求，若不規(guī)則可通過(guò)分割求解． 求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值 (1)(xx遼寧卷)已知x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝3x＋4y的最大值為_(kāi)_______． (2)(xx湖南卷)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件且z＝2x＋y的最小值為－6，則k＝________. 解析：　(1)畫(huà)出x，y滿(mǎn)足約束條件的可行域如圖陰影部分． 由得 ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3)．作直線(xiàn)l0：3x＋4y＝0，可知當(dāng)平移l0到l(l過(guò)點(diǎn)A)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值，此時(shí)zmax＝32＋43＝18. (2)由題意知 當(dāng)z＝2x＋y過(guò)(k，k)時(shí)z＝2x＋y有最小值，將(k，k)代入z＝2x＋y，∴3k＝－6，∴k＝－2. 答案：　(1)18　(2)－2 1．(xx全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件則z＝2x－y的最大值為(　　) A．10　 B．8 C．3　 D．2 解析：　作出可行域如圖中陰影部分所示， 由z＝2x－y得y＝2x－z，作出直線(xiàn)y＝2x，平移使之經(jīng)過(guò)可行域，觀(guān)察可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,2)時(shí)，對(duì)應(yīng)的z值最大．故zmax＝25－2＝8. 答案：　B 2．(xx北京卷)若x，y滿(mǎn)足且z＝y(tǒng)－x的最小值為－4，則k的值為(　　) A．2　 B．－2 C．　 D．－ 解析：　作出可行域，如圖中陰影部分所示，當(dāng)k>0時(shí)，z＝y(tǒng)－x無(wú)最小值，所以k<0，當(dāng)k＝－2時(shí)可行域內(nèi)為點(diǎn)(0,2)，不合題意．∴k＝－，故選D． 答案：　D 3．(xx浙江卷)若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足則x＋y的取值范圍是________． 解析：　畫(huà)出約束條件所確定的可行域(如圖中陰影部分所示)． 令z＝x＋y，則y＝－x＋z，畫(huà)出直線(xiàn)l：y＝－x，平移直線(xiàn)l，當(dāng)l經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)A(1,0)時(shí)，z取最小值，且zmin＝1＋0＝1；當(dāng)l經(jīng)過(guò)可行域中的點(diǎn)B(2,1)時(shí)，z取最大值，且zmax＝2＋1＝3，故x＋y的取值范圍是[1,3]． 答案：　[1,3] 4．若x，y滿(mǎn)足條件當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝3時(shí)，z＝ax－y取得最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：　畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分所示，直線(xiàn)3x－5y＋6＝0與2x＋3y－15＝0交于點(diǎn)M(3,3)，由目標(biāo)函數(shù)z＝ax－y，得y＝ax－z，其縱截距為－z，當(dāng)z最小時(shí)，－z最大．依題意，有－＜a＜. 答案：　 5．(xx課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)不等式組的解集記為D，有下面四個(gè)命題： p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2， p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中的真命題是(　　) A．p2，p3　 B．p1，p2 C．p1，p4　 D．p1，p3 解析：　畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示．作直線(xiàn)l0：y＝－x，平移l0，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(2，－1)時(shí)，x＋2y取最小值，此時(shí)(x＋2y)min＝0.故p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2為真，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2為真．故選B． 答案：　B 6．(xx浙江卷)當(dāng)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足時(shí)，1≤ax＋y≤4恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析：　畫(huà)可行域如圖所示，設(shè)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，則a＞0，數(shù)形結(jié)合知，滿(mǎn)足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范圍是1≤a≤. 答案：　 　線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題的解題策略 (1)求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值．線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點(diǎn)或邊界處取得，所以對(duì)于一般的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，我們可以直接解出可行域的頂點(diǎn)，然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值，從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值． (2)由目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)．求解線(xiàn)性規(guī)劃中含參數(shù)問(wèn)題的基本方法有兩種：一是把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過(guò)構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍；二是先分離含有參數(shù)的式子，通過(guò)觀(guān)察的方法確定含參的式子所滿(mǎn)足的條件，確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)． 求非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值 (1)(xx福建卷)已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面區(qū)域Ω：若圓心C∈Ω，且圓C與x軸相切，則a2＋b2的最大值為(　　) A．5　 B．29 B．37　 D．49 (2)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足不等式組求z＝的取值范圍． 解析：　(1)平面區(qū)域Ω，如圖中陰影部分所示， ∵圓C與x軸相切，∴b＝1， 把y＝1分別代入x－y＋3＝0和x＋y－7＝0， 得x＝－2和x＝6，∴－2≤a≤6， ∴(a2)max＝36，∴(a2＋b2)max＝36＋1＝37，故選C． (2)作出不等式組表示的可行域，如圖中的陰影部分．z＝＝，所以z的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)A(－1,1)所連直線(xiàn)的斜率．結(jié)合圖可知，z的最小值為直線(xiàn)l1的斜率，z的最大值無(wú)限接近于直線(xiàn)l2的斜率值．l1的斜率k1＝kAB，l2與直線(xiàn)x－y＝0平行． 由得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，k1＝－. ∴z∈. 答案：　(1)C 變量x，y滿(mǎn)足 (1)設(shè)z＝，求z的最小值； (2)設(shè)z＝x2＋y2，求z的取值范圍． 解析：　由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示． 由 解得A. 由解得C(1,1)． 由解得B(5,2)． (1)∵z＝＝， ∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線(xiàn)的斜率． 觀(guān)察圖形可知zmin＝kOB＝. (2)z＝x2＋y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方． 結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中， dmin＝|OC|＝，dmax＝|OB|＝. ∴2≤z≤29. 　常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義有 (1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離； (2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)之間的距離； (3)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線(xiàn)的斜率； (4)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線(xiàn)的斜率． 實(shí)際生活中的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題 (xx北京豐臺(tái)第一學(xué)期期末練習(xí))小明準(zhǔn)備用積攢的300元零用錢(qián)買(mǎi)一些科普書(shū)和文具，作為禮品送給山區(qū)的學(xué)生．已知科普書(shū)每本6元，文具每套10元，并且買(mǎi)的文具的數(shù)量不少于科普書(shū)的數(shù)量．那么最多可以買(mǎi)的科普書(shū)與文具的總數(shù)是________． 解析：　設(shè)買(mǎi)科普書(shū)x本與文具y套，總數(shù)為z＝x＋y，由題意可得作出可行域如圖中陰影部分，將z＝x＋y轉(zhuǎn)化為y＝－x＋z，作出直線(xiàn)y＝－x并平移，使之經(jīng)過(guò)可行域，易知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，縱截距最大，但因x，y均屬于正整數(shù)，故取得最大值時(shí)的最優(yōu)解應(yīng)為(18,19)，此時(shí)z最大為37. 答案：　37 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸．銷(xiāo)售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)5萬(wàn)元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤(rùn)3萬(wàn)元．該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過(guò)13噸、B原料不超過(guò)18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤(rùn)是(　　) A．12萬(wàn)元　 B．20萬(wàn)元 C．25萬(wàn)元　 D．27萬(wàn)元 解析：　設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，該企業(yè)獲得的利潤(rùn)為z萬(wàn)元，則由題目可獲得如下信息： A原料 B原料 甲產(chǎn)品x噸 3x 2x 乙產(chǎn)品y噸 y 3y 所以目標(biāo)函數(shù)為z＝5x＋3y，作出可行域后如圖所示： 由得A(3,4)， 當(dāng)直線(xiàn)z＝5x＋3y過(guò)點(diǎn)A(3,4)時(shí)，z取到最大值，故zmax＝15＋12＝27，故選D． 答案：　D 　線(xiàn)性規(guī)劃應(yīng)用題的求解應(yīng)注意 (1)明確問(wèn)題中的所有約束條件，并根據(jù)題意判斷約束條件中是否能夠取到等號(hào)． (2)注意結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的實(shí)際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、非負(fù)數(shù)等． (3)正確地寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)，一般地，目標(biāo)函數(shù)是等式的形式． A級(jí)　基礎(chǔ)訓(xùn)練 1．已知點(diǎn)(－3，－1)和點(diǎn)(4，－6)在直線(xiàn)3x－2y－a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍為(　　) A．(－24,7)　 B．(－7,24) C．(－∞，－7)∪(24，＋∞)　 D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：　根據(jù)題意知(－9＋2－a)(12＋12－a)＜0.即(a＋7)(a－24)＜0，解得－7＜a＜24. 答案：　B 2．直線(xiàn)2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有(　　) A．0個(gè)　 B．1個(gè) C．2個(gè)　 D．無(wú)數(shù)個(gè) 解析：　直線(xiàn)2x＋y－10＝0與不等式組表示的平面區(qū)域的位置關(guān)系如圖所示，故直線(xiàn)與此區(qū)域的公共點(diǎn)有1個(gè)． 答案：　B 3．(xx廣東卷)若變量x，y滿(mǎn)足約束條件且z＝2x＋y的最大值和最小值分別為m和n，則m－n＝(　　) A．5　 B．6 C．7　 D．8 解析：　 作出可行域(如圖中陰影部分所示)后，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)可知，當(dāng)直線(xiàn)y＝－2x＋z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z的值最大，由?，則m＝zmax＝22－1＝3.當(dāng)直線(xiàn)y＝－2x＋z經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，z的值最小，由?，由n＝zmin＝2(－1)－1＝－3，故m－n＝6. 答案：　B 4．已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定，若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z＝的最大值為(　　) A．4　 B．3 C．4　 D．3 解析：　z＝＝x＋y，目標(biāo)函數(shù)的可行域如圖所示，z取最大值的最優(yōu)解為(，2)，所以zmax＝＋2＝4. 答案：　C 5．(xx安徽卷)x，y滿(mǎn)足約束條件若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．或－1　 B．2或 C．2或1　 D．2或－1 解析：　畫(huà)出x，y約束條件限定的可行域，如圖陰影區(qū)域所示，由z＝y(tǒng)－ax得y＝ax＋z. 當(dāng)直線(xiàn)y＝ax與直線(xiàn)2x－y＋2＝0或直線(xiàn)x＋y－2＝0平行時(shí)，符合題意，則a＝2或－1. 答案：　D 6．不等式組表示的區(qū)域?yàn)镈，z＝x＋y是定義在D上的目標(biāo)函數(shù)，則區(qū)域D的面積為_(kāi)_____；z的最大值為_(kāi)_______． 解析：　圖象的三個(gè)頂點(diǎn)分別為(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面積為.因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)的最值在頂點(diǎn)處取得，把它們分別代入z＝x＋y，得x＝2，y＝3時(shí)，有zmax＝5. 答案：　　5 7．(xx遼寧省五校聯(lián)考)已知z＝2x＋y，x，y滿(mǎn)足，且z的最大值是最小值的4倍，則m的值是________． 解析：　根據(jù)題中所給的約束條件所得的可行域如圖．根據(jù)y＝－2x＋z可知z的幾何含義為直線(xiàn)在y軸上的截距，顯然y＝－2x＋z在點(diǎn)(1,1)和(m，m)處直線(xiàn)的截距分別取得最大值3和最小值3m，故3＝43m，解得m＝. 答案：　 8．(xx廣東十二校第二次聯(lián)考)已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(，0)，則z＝||的最大值為_(kāi)_______． 解析：　根據(jù)線(xiàn)性規(guī)劃的知識(shí)，畫(huà)出可行域如圖所示． 因?yàn)閦的最大值即為可行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最大值，該點(diǎn)應(yīng)為可行域中的點(diǎn)B(2,0)，所以 zmax＝＝. 答案：　 9．已知關(guān)于x，y的二元一次不等式組求函數(shù)z＝x＋2y＋2的最大值和最小值． 解析：　作出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示． 由z＝x＋2y＋2，得y＝－x＋z－1，得到斜率為－，在y軸上的截距為z－1，隨z變化的一組平行線(xiàn)， 由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域上的A點(diǎn)時(shí)，截距z－1最小，即z最小， 解方程組得A(－2，－3)， ∴zmin＝－2＋2(－3)＋2＝－6. 當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)x＋2y＝4重合時(shí)，截距z－1最大， 即z最大，∴zmax＝4＋2＝6. ∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6. 10．(xx陜西卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)