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2019-2020年高二上學(xué)期第二次段考 理科數(shù)學(xué) 含答案 廖宇慧 劉凌 一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置上） 1. 已知，則下列不等式中總成立的是 （ ） A B/ C . D/ 2．?dāng)?shù)列中,,且數(shù)列是等差數(shù)列,則等于（　 ?。? A． B． C． D．5 3. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí), 等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 4. 若變量滿足約束條件,（　 ?。? A． B． C． D． 5.已知為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和。若， 且與2的等差中項(xiàng)為，則=（ ）w_w w.k*s_5 u.c o_m A．35 B.33 C.31 D.29 6．設(shè)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則等于（ ） A．1033 B．1034 C．2057 D．2058 7.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是（ ） A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 8.在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，則=（ ） A． B． C． D． 9.設(shè)，且恒成立，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 10.下列命題正確的個(gè)數(shù)為（ ） ①已知，則的范圍是； ②若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的范圍是； ③如果正數(shù)滿足，則的取值范圍是； ④大小關(guān)系是 A．1 B．2 C．3 D．4 二.填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填寫在正確的位置） 11.關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為 . 12. 若，則的最小值為_(kāi)__ _____; 13. 在中，角的對(duì)邊分別為，若成等差數(shù)列，，的面積為，則 14. 在中，角所對(duì)的邊分別為且，，若,則的取值范圍是 15．設(shè)數(shù)列，都是正項(xiàng)等比數(shù)列，，分別為數(shù)列與的前項(xiàng)和，且，則 ． 三.解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明與演算步驟） 16. （本小題滿分12分） 已知遞增的等比數(shù)列滿足是的等差中項(xiàng)。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求 17. （本小題滿分12分） 在△ABC中，分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，銳角滿足． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ） 若，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值． 18．（本小題滿分12分） （1）≥1； （2）解關(guān)于的不等式（其中）． 19. （本小題滿分12分） 某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000平方米，其中場(chǎng)地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為平方米. （1）分別寫出用表示和用表示的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）； （2）怎樣設(shè)計(jì)能使取得最大值，最大值為多少？ 20. （本小題滿分13分） 甲、乙兩容器中分別盛有濃度為，的某種溶液500ml， 同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中各取出100ml溶液，將其倒入對(duì)方的容器攪勻，這稱為一次調(diào)和. 記，，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度為， （I）試用，表示，； （II）求證：數(shù)列｛－｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛+｝是常數(shù)列； （III）求出數(shù)列｛｝，｛｝的通項(xiàng)公式. 21. （本小題滿分14分） 已知數(shù)列滿足對(duì)任意的，都有，且． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 數(shù) 學(xué) 試 卷 考試時(shí)間：120分鐘 試卷分值：150分 一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)填在答題卡的指定位置上） 1. 已知，則下列不等式中總成立的是 （ A ） A B/ C . D/ 2．?dāng)?shù)列中,,且數(shù)列是等差數(shù)列,則等于（　B?。? A． B． C． D．5 3. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí), 等于（ A ） A．6 B．7 C．8 D．9 4. 若變量滿足約束條件,（　C ?。? A． B． C． D． 5.已知為等比數(shù)列，是它的前項(xiàng)和。若， 且與2的等差中項(xiàng)為，則=（ C ）w_w w.k*s_5 u.c o_m A．35 B.33 C.31 D.29 6．設(shè)數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則等于（ A） A．1033 B．1034 C．2057 D．2058 7.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是（ B ） A．4005 B．4006 C．4007 D．4008 8.在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，，則=（ A ） A． B． C． D． 9.設(shè)，且恒成立，則的最大值是（ C ） A． B． C． D． 10.下列命題正確的個(gè)數(shù)為（ B ） ①已知，則的范圍是； ②若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的范圍是； ③如果正數(shù)滿足，則的取值范圍是； ④大小關(guān)系是 A．1 B．2 C．3 D．4 二.填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填寫在正確的位置） 11.關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為 . 12. 若，則的最小值為_(kāi)_______;6 13. 在中，角的對(duì)邊分別為，若成等差數(shù)列，，的面積為，則 14. 在中，角所對(duì)的邊分別為且，，若,則的取值范圍是 15．設(shè)數(shù)列，都是正項(xiàng)等比數(shù)列，，分別為數(shù)列與的前項(xiàng)和，且，則 ． 三.解答題（本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明與演算步驟） 16. （本小題滿分12分） 已知遞增的等比數(shù)列滿足是的等差中項(xiàng)。 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求 17. （本小題滿分12分） 在△ABC中，分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，銳角滿足． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ） 若，當(dāng)取最大值時(shí)，求的值． 答案：(1)∵銳角B滿足 ∵ ． (2) ∵， ∴ ∴ ∴． ∴ ∴ 18．（本小題滿分12分） （1）≥1； （2）解關(guān)于的不等式（其中）． 解答：（1）∵≥0≥0 x＞3或x≤－ ∴不等式的解集為∪(3, +∞) （2）時(shí)，解集為；時(shí)，解集為 時(shí)，解集為 19. （本小題滿分12分） 某地方政府準(zhǔn)備在一塊面積足夠大的荒地上建一如圖所示的一個(gè)矩形綜合性休閑廣場(chǎng)，其總面積為3000平方米，其中場(chǎng)地四周（陰影部分）為通道，通道寬度均為2米，中間的三個(gè)矩形區(qū)域?qū)佋O(shè)塑膠地面作為運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地（其中兩個(gè)小場(chǎng)地形狀相同），塑膠運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地占地面積為平方米. （1）分別寫出用表示和用表示的函數(shù)關(guān)系式（寫出函數(shù)定義域）； （2）怎樣設(shè)計(jì)能使取得最大值，最大值為多少？ 解：（Ⅰ）由已知=3000 , ，則 = (Ⅱ)=3030-2300=2430 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，“”成立，此時(shí) . 即設(shè)計(jì)x=50米，y=60米時(shí)，運(yùn)動(dòng)場(chǎng)地面積最大，最大值為2430平方米. 20. （本小題滿分13分） 甲、乙兩容器中分別盛有濃度為，的某種溶液500ml， 同時(shí)從甲、乙兩個(gè)容器中各取出100ml溶液，將其倒入對(duì)方的容器攪勻，這稱為一次調(diào)和. 記，，經(jīng)次調(diào)和后甲、乙兩個(gè)容器的溶液濃度為， （I）試用，表示，； （II）求證：數(shù)列｛－｝是等比數(shù)列，數(shù)列｛+｝是常數(shù)列； （III）求出數(shù)列｛｝，｛｝的通項(xiàng)公式. 答案 （本小題滿分15分） （1） （2）兩式相減 所以等比 兩式相加 ＝…….＝ 所以常數(shù)列； （3） 21. （本小題滿分14分） 已知數(shù)列滿足對(duì)任意的，都有，且． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 答案：（1） 解：由于， ① 則有． ② ②－①，得， 由于，所以． ③ 同樣有， ④ ③－④，得． 所以．由于，即當(dāng)時(shí)都有， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．故． （2）解：由（2）知，則． 所以 ． ∵，∴數(shù)列單調(diào)遞增．所以． 要使不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，只要． ∵，∴．∴，即．所以，實(shí)