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變換和操作（B） 年級(jí) 班 姓名 得分 一、填空題 1．對(duì)于324和612，把第一個(gè)數(shù)加上3，同時(shí)把第二個(gè)數(shù)減3，這算一次操作，操作_____次后兩個(gè)數(shù)相等. 2. 對(duì)自然數(shù)n,作如下操作：各位數(shù)字相加，得另一自然數(shù)，若新的自然數(shù)為一位數(shù)，那么操作停止，若新的自然數(shù)不是一位數(shù)，那么對(duì)新的自然數(shù)繼續(xù)上面的操作，當(dāng)?shù)玫揭粋€(gè)一位數(shù)為止，現(xiàn)對(duì)1,2,3…,1998如此操作,最后得到的一位數(shù)是7的數(shù)一共有_____個(gè). 3. 在1,2,3,4,5,…,59,60這60個(gè)數(shù)中,第一次從左向右劃去奇數(shù)位上的數(shù)；第二次在剩下的數(shù)中，再?gòu)淖笙蛴覄澣テ鏀?shù)位上的數(shù)；如此繼續(xù)下去，最后剩下一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)是_____. 4. 把寫(xiě)有1,2,3,…，25的25張卡片按順序疊齊，寫(xiě)有1的卡片放在最上面，下面進(jìn)行這樣的操作：把第一張卡片放到最下面，把第二張卡片扔掉；再把第一張卡片放到最下面，把第二張卡片扔掉；…按同樣的方法，反復(fù)進(jìn)行多次操作，當(dāng)剩下最后一張卡片時(shí)，卡片上寫(xiě)的是_____. 5. 一副撲克共54張,最上面的一張是紅桃K.如果每次把最上面的4張牌,移到最下面而不改變它們的順序及朝向,那么,至少經(jīng)過(guò)_____次移動(dòng),紅桃K才會(huì)出現(xiàn)在最上面. 6. 寫(xiě)出一個(gè)自然數(shù)A,把A的十位數(shù)字與百位數(shù)字相加,再乘以個(gè)位數(shù)字,把所得之積的個(gè)位數(shù)字續(xù)寫(xiě)在A(yíng)的末尾,稱(chēng)為一次操作. 如果開(kāi)始時(shí)A=1999,對(duì)1999進(jìn)行一次操作得到19992，再對(duì)19992進(jìn)行一次操作得到199926，如此進(jìn)行下去直到得出一個(gè)1999位數(shù)為止，這個(gè)1999位數(shù)的各位數(shù)字之和是_____. 7. 黑板上寫(xiě)有1987個(gè)數(shù):1,2,3,…，1986，1987.任意擦去若干個(gè)數(shù),并添上被擦去的這些數(shù)的和被7除的余數(shù),稱(chēng)為一個(gè)操作.如果經(jīng)過(guò)若干次這種操作,黑板上只剩下了兩個(gè)數(shù),一個(gè)是987,那么,另一個(gè)數(shù)是_____. 8.下圖中有5個(gè)圍棋子圍成一圈.現(xiàn)在將同色的兩子之間放入一個(gè)白子,在異色的兩子之間放入一個(gè)黑子,然后將原來(lái)的5個(gè)拿掉,剩下新放入的5個(gè)子中最多能有_____個(gè)黑子. 9. 在圓周上寫(xiě)上數(shù)1,2,4然后在每?jī)蓚€(gè)相鄰的數(shù)之間寫(xiě)上它們的和(于是共得到6個(gè)數(shù):1,3,2,6,4,5)再重復(fù)這一過(guò)程5次,圓周上共出現(xiàn)192個(gè)數(shù),則所有這些數(shù)的和是_____. 10. 在黑板上任意寫(xiě)一個(gè)自然數(shù),然后用與這個(gè)自然數(shù)互質(zhì)并且大于1的最小自然數(shù)替換這個(gè)數(shù),稱(chēng)為一次操作,那么最多經(jīng)過(guò)_____次操作,黑板上就會(huì)出現(xiàn)2. 二、解答題 11．甲盒中放有1993個(gè)白球和1994個(gè)黑球，乙盒中放有足夠多個(gè)黑球.現(xiàn)在每次從甲盒中任取兩球放在外面,但當(dāng)被取出的兩球同色時(shí),需從乙盒中取出一個(gè)黑球放入甲盒；當(dāng)被取出的兩球異色時(shí)，便將其中的白球再放回甲盒，這樣經(jīng)過(guò)3985次取、放之后，甲盒中剩下幾個(gè)球？各是什么顏色的球？ 0 0 1 0 0 2 3 4 12．如圖是一個(gè)圓盤(pán)，中心軸固定在黑板上，開(kāi)始時(shí)，圓盤(pán)上每個(gè)數(shù)字所對(duì)應(yīng)的黑板處均寫(xiě)著0，然后轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)，每次可以轉(zhuǎn)動(dòng)的任意整數(shù)倍，圓盤(pán)上的四個(gè)數(shù)將分別正對(duì)著黑板上寫(xiě)數(shù)的位置.將圓盤(pán)上的數(shù)加到黑板上對(duì)應(yīng)位置的數(shù)上,問(wèn):經(jīng)過(guò)若干次后,黑板上的四個(gè)數(shù)是否可能都是1999? 13. 有三堆石子,每次允許由每堆中拿掉一個(gè)或相同數(shù)目的石子(每次這個(gè)數(shù)目不一定相同),或由任一堆中取一半石子(如果這堆石子是偶數(shù)個(gè))放入另外任一堆中,開(kāi)始時(shí)三堆石子數(shù)分別為1989,989,89.如按上述方式進(jìn)行操作,能否把這三堆石子都取光?如行,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種取石子的方案,如不行,說(shuō)明理由. 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 14. 如圖,圓周上順次排列著1、2、3、……、12這十二個(gè)數(shù)，我們規(guī)定：相鄰的四個(gè)數(shù)a1、a2、a3、a4順序顛倒為a4、a3、a2、a1，稱(chēng)為一次“變換”（如：1、2、3、4變?yōu)?、3、2、1，又如：11、12、1、2變?yōu)?、1、12、11）.能否經(jīng)過(guò)有限次“變換”，將十二個(gè)數(shù)的順序變?yōu)?、1、2、3、……8、10、11、12（如圖）？請(qǐng)說(shuō)明理由. ———————————————答 案—————————————————————— 1. 48 每操作一次,兩個(gè)數(shù)的差減少6,經(jīng)(612-324)6=48次操作后兩個(gè)數(shù)相等. 2. 222 由于操作后所得到的數(shù)與原數(shù)被9除所得的余數(shù)相同,因此操作最后為7的數(shù)一定是原數(shù)除以9余7的數(shù),即7,16,25,…，1996，一共有（1996-7）9+1=222（個(gè)） 3． 32 第一次操作后，剩下2,4,6,…,60這30個(gè)偶數(shù)； 第二次操作后，剩下4,8,12,…,60這15個(gè)數(shù)（都是4的倍數(shù)）； 第三次操作后，剩下8,16,24,…,56這7個(gè)數(shù)（都是8的倍數(shù)）； 第四次操作后，剩下16,32,48這3個(gè)數(shù)； 第五次操作后，剩下一個(gè)數(shù),是32. 4. 19 第一輪操作,保留1,3,5,…，25共13張卡片； 第二輪保留3,7,11,15,19,23這6張卡片； 第三輪保留3,11,19這3張卡片； 接著扔掉11,3； 最后剩下的一張卡片是19. 5. 27次 因?yàn)閇54,4]=108,所以移動(dòng)108張牌,又回到原來(lái)的狀況.又因?yàn)槊看我苿?dòng)4張牌,所以至少移動(dòng)1084=27(次). 6. 66 按照操作的規(guī)則,尋找規(guī)律知,A=1999時(shí)得到的1999位數(shù)為:1999266864600…0.其各位數(shù)字和為1+9+9+9+2+6+6+8+6+4 +6=66 7. 0 黑板上的數(shù)的和除以7的余數(shù)始終不變. (1+2+3+…+1987)7=282154 又1+2+3+…+1987==1987994=19871427是7的倍數(shù). 所以黑板上剩下的兩個(gè)數(shù)之和為7的倍數(shù). 又987=7141是7的倍數(shù),所以剩下的另一個(gè)數(shù)也應(yīng)是7的倍數(shù),又這個(gè)數(shù)是某些數(shù)的和除以7的余數(shù),故這個(gè)數(shù)只能是0. 8. 4個(gè) 提示:因?yàn)?個(gè)子不可能黑白相間,所以永遠(yuǎn)不會(huì)得到5個(gè)全是黑子. 9. 5103 記第i次操作后,圓周上所有數(shù)的和為ai,依題意,得 ai+1=2ai+ai=3ai. 又原來(lái)三數(shù)的和為a0=1+2+4=7,所以a1=3a0=21,a2=3a1=63, a3=3a2=189,a4=3a3=567,a5=3a4=1701,a6=3a5=5103,即所有數(shù)的和為5103. 10. 2 如果寫(xiě)的是奇數(shù),只需1次操作；如果寫(xiě)的是大于2的偶數(shù)，經(jīng)過(guò)1次操作變?yōu)槠鏀?shù)，再操作1次變?yōu)?. 11. 由操作規(guī)則知，每次操作后，甲盒中球數(shù)減少一個(gè)，因此經(jīng)過(guò)3985次操作后，甲盒中剩下1993+1994-3985=2個(gè)球. 每次操作白球數(shù)要么不變,要么減少2個(gè).因此,每次操作后甲盒中白球數(shù)的奇偶性不變；即白球數(shù)為奇數(shù).因此最后剩下的2個(gè)球中,白球1個(gè),故另一個(gè)必為黑球. 12. 每次加上的數(shù)之和是1+2+3+4=10,所以黑板上的四個(gè)數(shù)之和永遠(yuǎn)是10的整數(shù)倍.因此,無(wú)論如何操作,黑板上的四個(gè)數(shù)不可能都是1999. 13. 要把三堆石子都取光是不可能的. 按操作規(guī)則,每次拿出去的石子總和是3的倍數(shù),即不改變石子總數(shù)被3除的余數(shù).而1989+989+89=3067被3除余1,三堆石子取光時(shí)總和被3除余0.所以,三堆石子都取光是辦不到的. 14. 能 10 11 12 1 2 10 11 12 1 2 10 11 12 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 解：如上圖所示，經(jīng)過(guò)兩次變換，10、11、12三個(gè)數(shù)被順時(shí)針移動(dòng)了兩個(gè)位置.仿此,再經(jīng)過(guò)3次這樣的兩次變換,10、11、12三個(gè)數(shù)又被順時(shí)針移動(dòng)了六個(gè)位置，變?yōu)橄聢D，圖中十二個(gè)數(shù)的順序符合題意.