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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七 概率與統(tǒng)計限時檢測（文、理）
一、選擇題(本大題共8小題，每小題6分，共48分；在每小題給出四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(xx唐山一模)下面的莖葉圖表示柜臺記錄的一天銷售額情況(單位：元)，則銷售額中的中位數(shù)是( )
A.30.5 B．31.5
C．31 D．32
[答案] C
[解析] 由莖葉圖和中位數(shù)的定義知選C.
2．已知x、y的取值如表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y與x呈線性相關(guān)，且線性回歸方程為＝x＋，則＝( )
A．－ B.
C．－ D.
[答案] A
[解析] ∵線性回歸方程為＝x＋，
線性回歸方程過樣本中心點，
∵＝＝3，＝＝5，
∴回歸方程過點(3,5)，∴5＝3＋，
∴＝－，故選A.
3．(文)已知區(qū)域M：x2＋y2－2x－2y－2≤0，區(qū)域N：2－x≤y≤x，隨機向區(qū)域M中投放一點．該點落在區(qū)域N內(nèi)的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] M：(x－1)2＋(y－1)2≤4為以C(1,1)為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部的平面區(qū)域；又區(qū)域N：2－x≤y≤x，如圖可知，隨機向區(qū)域M內(nèi)投放一點，則該點落在區(qū)域N內(nèi)的概率P＝.
(理)(xx山西省重點中學(xué)四校聯(lián)考)向邊長分別為5,6，的三角形區(qū)域內(nèi)隨機投一點M，則該點M與三角形三個頂點距離都大于1的概率為( )
A．1－ B．1－
C．1－ D．1－
[答案] A
[解析] 如圖，設(shè)△ABC三邊AB＝，AC＝5，BC＝6，過A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)BD＝x，則CD＝6－x，由AB2－BD2＝AD2＝AC2－CD2得13－x2＝25－(6－x)2，∴x＝2，AD＝3，∴S＝S△ABC＝BCAD＝63＝9，分別以A、B、C為圓心，1為半徑畫弧，當(dāng)點M落在以A、B、C為頂點的三個扇形區(qū)域外時，符合題意，三個扇形面積的和S1＝12∠A＋12∠B＋12∠C＝(A＋B＋C)＝.∴所求概率P＝＝1－.
4．(文)如圖是一樣本的頻率分布直方圖，由圖形中的數(shù)據(jù)可以估計眾數(shù)與中位數(shù)分別是( )
A．12.5 12.5 B．12.5 13
C．13 12.5 D．13 13
[答案] B
[解析] 在頻率分布直方圖中，最高矩形中點的橫坐標為眾數(shù)，中位數(shù)左右兩邊直方圖的面積相等．
(理)(xx濰坊模擬)在某項測量中，測量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8，則ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為( )
A．0.1 B．0.2
C．0.4 D．0.8
[答案] C
[解析] 因為μ＝1，所以P(0<ξ<2)＝0.8＝2P(0<ξ<1)，故P(0<ξ<1)＝0.4.
5．(文)(xx太原市模擬)如圖，是一個算法程序框圖，在集合A＝{x|－10≤x≤10，x∈R}中隨機抽取一個數(shù)值作為x輸入，則輸出的y值落在區(qū)間(－5,3)內(nèi)的概率為( )
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.8
[答案] D
[解析] f(x)＝當(dāng)－5
85%.
方案二：該同學(xué)參加這次學(xué)業(yè)水平測試中物理、化學(xué)、生物成績至少有一個為A的事件概率大于85%，
理由如下：該同學(xué)參加這次學(xué)業(yè)水平測試中物理、化學(xué)、生物成績至少有一個為A的事件有如下七種情況：(W1，W2，W3)、(1，W2，W3)、(W1，2，W3)、(W1，W2，3)、(1，2，W3)、(1，W2，3)、(W1，2，3)，概率是P＝＝0.875>85%.(方案一或二中任意一種都可以)
(理)(xx常德市模擬)我市某中學(xué)一研究性學(xué)習(xí)小組，在某一高速公路服務(wù)區(qū)，從小型汽車中按進服務(wù)區(qū)的先后，每間隔5輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段：[70,75)，[75,80)，[80,85)[85,90)，[90,95)，[95,100]統(tǒng)計后得到如下圖的頻率分布直方圖．
(1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中，用到的是什么抽樣方法？并求這40輛小型汽車車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值．
(2)若從車速在[80,90)的車輛中任意抽取3輛，求車速在[80,85)和[85,90)內(nèi)都有車輛的概率．
(3)若從車速在[70,80)的車輛中任意抽取3輛，求車速在[75,80)的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望．
[解析] (1)此研究性學(xué)習(xí)小組在采樣中，用到的抽樣方法是系統(tǒng)抽樣．
這40輛小型汽車車速眾數(shù)的估計值為87.5，中位數(shù)的估計值為87.5.
(2)車速在[80,90)的車輛共有(0.2＋0.3)40＝20輛，速度在[80,85)，[85,90)內(nèi)的車輛分別有8輛和12輛．
記從車速在[80,90)的車輛中任意抽取3輛車，車速在[80,85)內(nèi)的有2輛，在[85,90)內(nèi)的有1輛為事件A，車速在[80,85)內(nèi)的有1輛，在[85,90)內(nèi)的有2輛為事件B，
則P(A)＋P(B)＝＋＝＝.
(3)車速在[70,80)的車輛共有6輛，車速在[70,75)和[75,80)的車輛分別有2輛和4輛，若從車速在[70,80)的車輛中任意抽取3輛，設(shè)車速在[75,80)的車輛數(shù)為X，則X的可能取值為1、2、3.
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
故分布列為
X
1
2
3
P
∴車速在[75,80)的車輛數(shù)的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝1＋2＋3＝2.
13．(本小題滿分14分)(文)(xx淮南三校模擬)某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本，并稱出它們的重量(單位：克)，重量值落在[495,510)內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本的頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
產(chǎn)品重量(克)
頻數(shù)
[490,495)
6
[495,500)
8
[500,505)
14
[505,510)
8
[510,515]
4
表1：甲流水線樣本的頻數(shù)分布表
圖1：乙流水線樣本的頻率分布直方圖
(1)根據(jù)上面表1中的數(shù)據(jù)作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；
(2)若以頻率作為概率，試估計從兩條流水線上分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少；
(3)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面22列聯(lián)表，并回答有多大的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān).
甲流水線
乙流水線
合計
合格品
不合格品
合計
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解析] (1)甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：
(2)由表1知甲流水線樣本中合格品數(shù)為8＋14＋8＝30，故甲流水線樣本中合格品的頻率為＝0.75，
由圖1知乙流水線樣本中合格品的頻率為(0.06＋0.09＋0.03)5＝0.9，
據(jù)此可估計從甲流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.75；
從乙流水線上任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率為0.9.
(3)由(2)知甲流水線樣本中合格品數(shù)為30，乙流水線樣本中合格品數(shù)為0.940＝36.
22列聯(lián)表如下：
甲流水線
乙流水線
合計
合格品
30
36
66
不合格品
10
4
14
合計
40
40
80
∵K2＝
＝≈3.117>2.706，
∴有90%的把握認為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)．
[點評] 掌握讀圖、讀表的方法，從圖表中得到相應(yīng)的數(shù)據(jù)，在繪制頻率分布直方圖的時候，應(yīng)注意縱軸的坐標并不是頻率；第(2)問用相應(yīng)的頻率估計概率即可；進行獨立性檢驗時，要注意公式的正確運用．
(理)某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組，為了考查高中學(xué)生的作文水平與愛看課外書的關(guān)系，在本校高三年級隨機調(diào)查了50名學(xué)生．調(diào)查結(jié)果表明：在愛看課外書的25人中有18人作文水平好，另7人作文水平一般；在不愛看課外書的25人中有6人作文水平好，另19人作文水平一般．
(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下22列聯(lián)表，并運用獨立性檢驗思想，指出有多大把握認為中學(xué)生的作文水平與愛看課外書有關(guān)系？
高中學(xué)生的作文水平與愛看課外書的22列聯(lián)表
愛看課外書
不愛看課外書
總計
作文水平好
作文水平一般
總計
(2)將其中某5名愛看課外書且作文水平好的學(xué)生分別編號為1、2、3、4、5，某5名愛看課外書且作文水平一般的學(xué)生也分別編號為1、2、3、4、5，從這兩組學(xué)生中各任選1人進行學(xué)習(xí)交流，求被選取的兩名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率．
附表：
P(K2≥k)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解析] (1)22列聯(lián)表如下：
愛看課外書
不愛看課外書
總計
作文水平好
18
6
24
作文水平一般
7
19
26
總計
25
25
50
因為K2＝＝≈11.538>10.828.由表知，
P(K2≥10.828)≈0.001.
故有99.9%的把握認為中學(xué)生的作文水平與愛看課外書有關(guān)系．
(2)設(shè)“被選取的兩名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)”為事件A，“被選取的兩名學(xué)生的編號之和為4的倍數(shù)”為事件B.
因為事件A所包含的基本事件為：(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9個，基本事件總數(shù)為55＝25.所以P(A)＝.
因為事件B所包含的基本事件為：(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6個．
所以P(B)＝.
因為事件A、B互斥，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
故被選取的兩名學(xué)生的編號之和為3的倍數(shù)或4的倍數(shù)的概率是.
一、選擇題
1．(文)(xx中原名校聯(lián)考)在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y2)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，x3，…，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為( )
A．－ B.
C．－1 D．1
[答案] C
[解析] 因為所有樣本點(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝－x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)性強，相關(guān)系數(shù)|r|＝1，由相關(guān)系數(shù)計算公式
r＝
＝<0得r＝－1.
(理)(xx河北名師名校俱樂部模擬)根據(jù)某市環(huán)境保護局公布xx～xx這六年每年的空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，繪制折線圖如圖．根據(jù)圖中信息可知，這六年的每年空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的中位數(shù)是( )
A．300 B．302.5
C．305 D．310
[答案] B
[解析] 該組數(shù)據(jù)為290、295、300、305、305、315共六個數(shù)據(jù)，所以其中位數(shù)為＝302.5.
2．(文)某學(xué)校從高三全體500名學(xué)生中抽取50名學(xué)生做學(xué)習(xí)狀況問卷調(diào)查，現(xiàn)將500名學(xué)生從1到500進行編號，求得間隔數(shù)k＝＝10，即每10人抽取一個人，在1～10中隨機抽取一個號碼，如果抽到的是6，則從125～140的數(shù)中應(yīng)取的號碼是( )
A．126 B．136
C．126或136 D．126和136
[答案] D
[解析] 由題意知，這是系統(tǒng)抽樣，∵在1～10中抽得號碼6，∴在125～140中抽得號碼為6＋1210＝126和6＋1310＝136.
(理)一個盒子里有6支好晶體管，4支壞晶體管，任取兩次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶體管，則第二支也是好晶體管的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] 記“第i(i＝1,2)支晶體管是好的”為事件Ai(其中i＝1,2)，依題意知，要求的概率為P(A2|A1)．由于P(A1)＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝＝.
3．(文)(xx聊城質(zhì)檢)已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向區(qū)域Ω上隨機投一點P，則點P落入?yún)^(qū)域A內(nèi)的概率為( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 如圖，作出兩集合表示的平面區(qū)域．容易得出Ω所表示的平面區(qū)域為三角形AOB及其邊界，A表示的區(qū)域為三角形OCD及其邊界．
容易求得D(4,2)恰為直線x＝4，x－2y＝0，x＋y＝6三線的交點．
則可得S△AOB＝66＝18，S△OCD＝42＝4.
所以點P落在區(qū)域A的概率為P＝＝.
(理)(xx許昌、新鄉(xiāng)、平頂山調(diào)研)已知a>0，在可行域內(nèi)任取一點(x，y)，如果執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出數(shù)對(x，y)的概率是( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 可行域三角形的面積為S＝＝，其中可行域內(nèi)滿足y≥ax2的區(qū)域的面積S′＝∫0(x－ax2)dx＝，故所求事件的概率為P＝＝.
4．(文)為調(diào)查中學(xué)生每人每天平均參加體育鍛煉的時間x(單位：分鐘)，按鍛煉時間分下列四種情況統(tǒng)計：(1)0≤x<10；(2)10≤x<20；(3)20≤x<30；(4)x≥30.有10000名中學(xué)生參加了此項調(diào)查，如圖是此次調(diào)查中某一項的流程圖，其輸出的結(jié)果是6200，則平均每天參加體育鍛煉時間少于20分鐘的學(xué)生的頻率是( )
A．3800 B．6200
C．0.38 D．0.62
[答案] C
[解析] 根據(jù)流程圖可知，每天參加體育鍛煉的時間少于20分鐘的學(xué)生人數(shù)為10000－6200＝3800，故其頻率為0.38.
(理)若隨機變量X～N(1,4)，P(X≤0)＝m，則P(0X乙，甲比乙成績穩(wěn)定
B．X甲>X乙，乙比甲成績穩(wěn)定
C．X甲X乙，
又s＝20，b>0，∴a2＋b2≥(當(dāng)a＝b時取等號)，
∵a＋b＝21，∴當(dāng)a＝b＝10.5時，取得最小值．
(理)若a與b是異面直線，則稱(a，b)為一對異面直線，過四棱錐任意兩個頂點的直線共有10條，其中異面直線共有________對．
[答案] 12
[解析] 底面上任意兩條直線都不是異面直線，任意兩條側(cè)棱也都不是異面直線，故一對異面直線中必有一條側(cè)棱和底面上的一條直線，已知一條側(cè)棱可構(gòu)成3對異面直線，故共有12對異面直線．
三、解答題
11．(文)(xx北京東城模擬)某中學(xué)高中學(xué)生有900名，學(xué)校要從中選出9名同學(xué)作為國慶60周年慶祝活動的志愿者．已知高一有400名學(xué)生，高二有300名學(xué)生，高三有200名學(xué)生．為了保證每名同學(xué)都有參與的資格，學(xué)校采用分層抽樣的方法抽?。?
(1)求高一、高二、高三分別抽取學(xué)生的人數(shù)；
(2)若再從這9名同學(xué)中隨機地抽取2人作為活動負責(zé)人，求抽到的這2名同學(xué)都是高一學(xué)生的概率；
(3)在(2)的條件下，求抽到的這2名同學(xué)不是同一年級的概率．
[解析] (1)樣本容量與總體容量的比為9900＝1100，
則高一、高二、高三應(yīng)分別抽取的學(xué)生為
400＝4(人)，300＝3(人)，200＝2(人)．
(2)設(shè)“抽到的這2名同學(xué)都是高一的學(xué)生為事件A”，則P(A)＝＝.
(3)設(shè)“抽到的這2名同學(xué)不是同一年級為事件B”，則P(B)＝＝.
(理)(xx霍邱二中模擬)某人拋擲一枚硬幣，出現(xiàn)正反的概率都是，構(gòu)造數(shù)列{an}，使得an＝，記Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)．
(1)求S4＝2的概率；
(2)若前兩次均出現(xiàn)正面，求2≤S6≤4的概率．
[解析] (1)S4＝2，需4次中有3次正面1次反面，設(shè)其概率為P1，則P1＝C()3＝4()4＝.
(2)6次中前兩次均出現(xiàn)正面，要使2≤S6≤4，則后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，設(shè)其概率為P2.
則P2＝C()2()2＋C()3＝.
12．(文)(xx北京西城模擬、眉山二診)某種零件按質(zhì)量標準分為1,2,3,4,5五個等級．現(xiàn)從一批該零件中隨機抽取20個，對其等級進行統(tǒng)計分析，得到頻率分布表如下：
等級
1
2
3
4
5
頻率
0.05
m
0.15
0.35
n
(1)在抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，求m，n；
(2)在(1)的條件下，從等級為3和5的所有零件中，任意抽取2個，求抽取的2個零件等級恰好相同的概率．
[解析] (1)由頻率頒布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，
即m＋n＝0.45.
由抽取的20個零件中，等級為5的恰有2個，
得n＝＝0.1.
所以m＝0.45－0.1＝0.35.
(2)由(1)得，等級為3的零件有3個，記作x1、x2、x3，等級為5的零件有2個，記作y1、y2，
從x1、x2、x3、y1、y2中任意抽取2個零件，所有可能的結(jié)果為：
(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)共計10種．
記事件A為“從零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等級相等”，則A包含的基本事件為(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)共4個．
概率為P(A)＝＝0.4.
(理)(xx東北三校模擬)某市統(tǒng)計局就本地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖(每個分組包括左端點，不包括右端點，如第一組表示收入在[1000,1500)之間(單位：元)．
(1)估計居民月收入在[1500,xx)的概率；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
(3)若將頻率視為概率，從本地隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月收入在[2500,3500)的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
[解析] (1)依題意及頻率分布直方圖知，居民月收入在[1500,xx)的概率約為0.0004500＝0.2.
(2)頻率分布直方圖知，中位數(shù)在[xx,2500)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.0002500＋0.0004500＋0.0005(x－xx)＝0.5，
解得x＝2400.
(3)居民月收入在[2500,3500)的概率為(0.0005＋0.0003)500＝0.4.
由題意知，X～B(3,0.4)，
因此P(X＝0)＝C0.63＝0.216，P(X＝1)＝C0.620.4＝0.432，P(X＝2)＝C0.60.42＝0.288，P(X＝3)＝C0.43＝0.064，
故隨機變量X的分布列為
X
0
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝00.216＋10.432＋20.288＋30.064＝1.2.
13．(文)甲、乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)，在培訓(xùn)期間，他們參加的5次預(yù)賽成績記錄如下：
甲 82 82 79 95 87
乙 95 75 80 90 85
(1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù)；
(2)從甲、乙兩人的成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙高的概率；
(3)現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學(xué)競賽，從統(tǒng)計學(xué)的角度考慮，你認為選派哪位學(xué)生參加合適？說明理由．
[解析] (1)作出莖葉圖如下：
甲
乙
9
7
5
7 2 2
8
0 5
5
9
0 5
(2)記甲被抽到的成績?yōu)閤，乙被抽到的成績?yōu)閥，用數(shù)對(x，y)表示基本事件：
(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，
(82,95)，(82,75)，(82,80)，(82,90)，(82,85)，
(79,95)(79,75)，(79,80)，(79,90)，(79,85)，
(95,95)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，(95,85)，
(87,95)，(87,75)，(87,80)，(87,90)，(87,85)．
基本事件總數(shù)n＝25.
記“甲的成績比乙高”為事件A，事件A包含的基本事件：
(82,75)，(82,80)，(82,75)，(82,80)，
(79,75)，(95,75)，(95,80)，(95,90)，
(95,85)，(87,75)，(87,80)，(87,85)．
事件A包含的基本事件數(shù)m＝12.
所以P(A)＝＝.
(3)派甲參賽比較合適．理由如下：
甲＝(701＋803＋901＋9＋2＋2＋7＋5)＝85，
乙＝(701＋802＋902＋5＋0＋5＋0＋5)＝85，
s＝[(79－85)2＋(82－85)2＋(82－85)2＋(87－85)2＋(95－85)2]＝31.6，
s＝[(75－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(95－85)2]＝5`0.
∵甲＝乙，s
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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)
專題七
概率與統(tǒng)計限時檢測文、理
2019
年高
數(shù)學(xué)
二輪
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專題
概率
統(tǒng)計
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