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2019-2020年高三數(shù)學 立體幾何與空間向量教案 1 空間直角坐標系：（1）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為，這個基底叫單位正交基底，用表示；（2）在空間選定一點和一個單位正交基底，以點為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫坐標軸．我們稱建立了一個空間直角坐標系，點叫原點，向量 都叫坐標向量．通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為平面，平面，平面； 2．空間直角坐標系中的坐標： 在空間直角坐標系中，對空間任一點，存在唯一的有序實數(shù)組，使，有序實數(shù)組叫作向量在空間直角坐標系中的坐標，記作，叫橫坐標，叫縱坐標，叫豎坐標． 3．空間向量的直角坐標運算律：（1）若，， 則，，， ， ， ． （2）若，，則． 一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 4 模長公式：若， 則． 5．夾角公式：． 6．兩點間的距離公式：若，，則 7．直線和平面所成角：（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角 一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0角直線和平面所成角范圍： [0，] （2）定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角 8．公式：已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成θ角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，則有 9 二面角的概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分，其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面若棱為，兩個面分別為的二面角記為 10．二面角的平面角：（1）過二面角的棱上的一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的兩條垂線，則叫做二面角的平面角（2）一個平面垂直于二面角的棱，且與兩半平面交線分別為為垂足，則也是的平面角（1）二面角的平面角范圍是；（2）二面角的平面角為直角時，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個平面互相垂直 11 兩個平面垂直的定義：兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面 12．面面垂直的判定定理： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直 13．面面垂直的性質定理： 若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面 練習： 1設，，且，記，求與軸正方向的夾角的余弦值 2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，則∠ABC＝＿＿＿ 3．已知空間三點A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)， ⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S； ⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標 4．直角的斜邊在平面內(nèi)，與所成角分別為，是斜邊上的高線，求與平面所成角的正弦值 5．如果二面角的平面角是銳角，點到的距離分別為，求二面角的大小 6．如圖，正方體的棱長為1，，求：（1）與所成角； （2）與平面所成角的正切值；（3）平面與平面所成角 7已知正方體的棱長為，是的中點，是對角線的中點， （1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離 參考答案： 1設，，且，記， 求與軸正方向的夾角的余弦值 解：取軸正方向的任一向量，設所求夾角為， ∵ ∴，即為所求 2．　在ΔABC中，已知AB＝(2,4,0),BC＝(－1,3,0)，則∠ABC＝＿＿＿ 解： ∴∠ABC＝45 3．已知空間三點A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5) ⑴求以向量為一組鄰邊的平行四邊形的面積S； ⑵若向量分別與向量垂直，且||＝，求向量的坐標 分析：⑴ ∴∠BAC＝60， ⑵設＝(x,y,z)，則 解得x＝y(tǒng)＝z＝1或x＝y(tǒng)＝z＝－1，∴＝(1,1,1)或＝(－1，－1，－1). 4．直角的斜邊在平面內(nèi)，與所成角分別為，是斜邊上的高線，求與平面所成角的正弦值 解：過點作于點，連接， 則，，為所求與所成角，記為， 令，則， 則在中，有 在中， ∴與平面所成角的正弦值. 5．如果二面角的平面角是銳角，點到的距離分別為，求二面角的大小 分析：點可能在二面角內(nèi)部，也可能在外部，應區(qū)別處理 解：如圖1是點在二面角的內(nèi)部時，圖2是點在二面角外部時， ∵ ∴ ∵ ∴面 同理，面 而面面 ∴面與面應重合 即在同一平面內(nèi)， 則是二面角的平面角 在中， ∴ 在中， ∴ 故（圖1）或（圖2） 即二面角的大小為或 說明：作一個垂直于棱的平面，此平面與兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角 6．如圖，正方體的棱長為1，，求： （1）與所成角； （2）與平面所成角的正切值； （3）平面與平面所成角 解：（1）∵ ∴與所成角就是 ∵平面 ∴（三垂線定理） 在中， ∴ （2）作，平面平面 ∴平面，為與平面所成角 在中， ∴ （3）∵ ∴平面 又∵平面 ∴平面平面 即平面與平面所成角為 7已知正方體的棱長為，是的中點，是對角線的中點， （1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離 解：（1）解法一：延長交于，則為的中點，∴， ∵， ∴，連結，則， 又是的中點，∴， ∴是異面直線和的公垂線 （2）由（1）知，． 解法二：建立空間直角坐標系，用坐標運算證明（略） 引申：求與間的距離 解法一：（轉化為到過且與平行的平面的距離） 連結，則//，∴//平面，連，可證得 ，，∴平面， ∴平面平面，且兩平面的交線為，過作，垂足為，則即為與平面的距離，也即與間的距離， 在中，，∴． （解法二）：坐標法： 以為原點，所在的直線分別為軸，軸、軸建立空間直角坐標系， 則，， 由（解法一）求點到平面的距離，設， ∵在平面上， ∴，即， ∴， ∵，∴， 解得：，∴，∴． 解法三：直接求與間的距離 設與的公垂線為，且， 設，設， 則，∴，∴， 同理， ∴，∴， ∴， 解得：，，．