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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí) 第57課時—空間直線教案 一．復(fù)習(xí)目標(biāo)： 1．了解空間兩條直線的位置關(guān)系． 2．掌握兩條直線所成的角和距離的概念，會計算給出的異面直線的公垂線段的長． 二．課前預(yù)習(xí)： 1．下列四個命題： （1）分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線 （2）和兩條異面直線都垂直的直線有且只有一條 （3）和兩條異面直線都相交的兩條直線必異面 （4）若與是異面直線，與是異面直線，則與也異面 其中真命題個數(shù)為 （ D ） 3 2 1 0 2．在正方體中，、分別是棱和的中點(diǎn)，為上底面的中心，則直線與所成的角為（ A ） 300 450 600 3．在棱長為的正四面體中，相對兩條棱間的距離為________________．（答案：） 4．兩條異面直線、間的距離是1cm，它們所成的角為600，、上各有一點(diǎn)A、B，距公垂線的垂足都是10cm，則A、B兩點(diǎn)間的距離為____________________． 答案： 三．例題分析： 例1．已知不共面的三條直線、、相交于點(diǎn)，，，，，求證：與是異面直線． 證一：（反證法）假設(shè)AD和BC共面，所確定的平面為α， 那么點(diǎn)P、A、B、C、D都在平面α內(nèi)，∴直線a、b、c都 在平面α內(nèi)，與已知條件a、b、c不共面矛盾，假設(shè)不成立， ∴AD和BC是異面直線。 證二：（直接證法）∵a∩c=P，∴它們確定一個平面，設(shè)為α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是異面直線。 小結(jié)： 例2．在三棱臺中，側(cè)棱⊥底面，且，． （1）求證：，，． （2）求異面直線和的距離． （1）略證，先證BC⊥平面AA1B1B，即得BC⊥A1B， BC⊥A1A，又∵A1A⊥A1C（已知），由三垂線定理的逆定理 可知，A1A⊥A1B （2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC， ∴A1B就是A1A和BC的公垂線段。但△AA1B∽△BB1A1， ∴，又AB=2cm，A1B1=1cm，∴A1B=cm。 小結(jié)： 例3． 一條長為的線段夾在互相垂直的兩個平面、之間，AB與所成角為，與所成角為，且，，，、是垂足，求（1）的長；（2）與所成的角 解：（1）連BC、AD，可證AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300， ∠BAD=450 ，Rt△ACB中，BC=ABcos300= ， 在Rt△ADB中，BD=ABsin450= 在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2ACBDcos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，則∠ABE就是AB與CD所成的角，連AE，由三垂線定理可證BE⊥AE，先求出AE=，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。 說明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即為異面直線CH、DF的公垂線，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2CHDFcosα，求出cosα=。 小結(jié)： 四．課后作業(yè)： 班級 學(xué)號 姓名 1．AB、CD在平面α內(nèi)，AB//CD，且AB與CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF與AB相距17厘米，EF與平面α相距15厘米，則EF與CD的距離為（ C ） 25厘米 39厘米 25或39厘米 15厘米 2．已知直線a，如果直線b同時滿足條件：①a、b異面②a、b所成的角為定值③a、b 間的距離為定值，則這樣的直線b有（ D ） 1條 2條 4條 無數(shù)條 3．已知異面直線a與b所成的角為500，P為空間一點(diǎn)，則過點(diǎn)P與a、b所成的角都是300的直線有且僅有（ B ） 1條 2條 3條 4條 4．在正三棱柱中，若，則與所成的角的大小 ． 答案：． A1 A B B1 D D1 C C1 O 5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1的中，求證：B1D被平面A1BC1分成1∶2的兩段． 證明：如圖1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， 連結(jié)B1D1，A1C1，BD，AC． 設(shè)B1D1A1C1＝M，BDAC＝N． ∴ M，N分別是B1D1，AC的中點(diǎn)． 連結(jié)BM，D1N． A1 A B B1 D D1 C C1 圖1 M O N O1 ∵ BB1∥DD1，且BB1＝DD1， ∴ 四邊形BDD1B1是平行四邊形． 在平面BDD1B1中，設(shè)B1DBM＝O，B1DD1N＝O1， 在平行四邊形BDD1B1中， ∵ D1M∥NB，且D1M＝NB， ∴ 四邊形BND1M是平行四邊形． ∴ BM∥ND1，即 OM∥O1D1， ∴ O是BO1的中點(diǎn)，即 O1O＝OB1． 同理，OO1＝O1D． ∴ O1O＝OB1＝O1D． 綜上，OB1∶OD1＝1∶2． 6．如圖，已知平面α、β交于直線，AB、CD分別在平面α，β內(nèi)，且與分別交于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝∠CDB，試問AB，CD能否平行？并說明理由． B C D A α β l 證明：直線AB，CD不能平行．否則，若AB∥CD，則AB∥CD共面，記這個平面為γ． ∴ AB，CDγ． ∴ ABα，D∈γ． 由題知，ABα，D∈α，且DAB， 根據(jù)過一條直線及這條直線外一點(diǎn)，有且僅有一個平面，α與γ重合． 同理，β與γ重合． ∴ α與β重合，這與題設(shè)矛盾． ∴ AB，CD不能平行． A A1 D1 D C C1 B1 B 7．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，求證：CD1所在的直線與BC1所在的直線是異面直線． 證明：假設(shè)CD1所在的直線與BC1所在的直線不是異面直線． 設(shè)直線CD1與BC1共面α． ∵C，D1∈CD1，B，C1∈BC1，∴C，D1，B，C1∈α． ∵CC1∥BB1，∴CC1，BB1確定平面BB1C1C， ∴C，B，C1∈平面BB1C1C． ∵不共線的三點(diǎn)C，B，C1只有一個平面，∴平面α與平面BB1C1C重合． ∴D1∈平面BB1C1C，矛盾． 因此，假設(shè)錯誤，即CD1所在的直線與BC1所在的直線是異面直線．