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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 3.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（備課資料） 大綱人教版必修 參考練習(xí)題 1.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=an－1(a≠0),則這個(gè)數(shù)列是 A.等比數(shù)列 B.等差數(shù)列 C.等比或等差數(shù)列 D.非等差數(shù)列 分析：若a=1,則Sn=0,∴an=0 則{an}為等差數(shù)列；若a≠1,則=a， ∴{an}為等比數(shù)列 答案：C 2.等比數(shù)列{an}中，若S6=91,S2=7,則S4為 A.28 B.32 C.35 D.49 分析：由Sn=, 得=7， ① S6==91 ② ②①得：=13,即(q2)2+q2－12=0,∴q2=3 代入①得：, ∴S4=(1－9)=28. 答案：A 3.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=,若Sn=9,則n等于 A.9 B.10 C.99 D.100 分析：由an= 得Sn=－[(1－…+(=－1+ 若Sn=9,即－1+=9,∴n=99 答案：C 4.使數(shù)列，…，…，前n項(xiàng)之積大于105，則自然數(shù)n值為 A.6 B.9 C.11 D.12 分析：由已知得：＞105，即＞105, ∴1+2+3+…+n＞55,＞55,解得n＞10 答案：C 5.已知兩數(shù)的等差中項(xiàng)是10，等比中項(xiàng)是8，則以這兩數(shù)為根的一元二次方程是 A.x2+10x+8=0 B.x2－10x+64=0 C.x2+20x+64=0 D.x2－20x+64=0 解：設(shè)兩數(shù)為a,b,則a+b=20,ab=64 ∴a,b為x2－20x+64=0的兩根. 答案：D 6.在等比數(shù)列中，若S10=10,S20=30,則S30= . 解法一：由S10=a1+a2+…+a10=10,S20=a1+a2+…+a20=10+q10(a1+a2+…+a10)=(1+q10)10=30 ∴q10=2,q20=4,S30=S20+a21+…+a30=S20+q20(a1+a2+…a10)=70. 解法二：∵在等比數(shù)列中，∴S10,S20－S10,S30－S20成等比數(shù)列， 又S10=10,S20－S10=20, ∴S30－S20=40, ∴S30=40+S20=40+30=70. 答案：70 7.在正實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列中，若a4a5a6=3,則log3a1+log3a2+log3a8+log3a9= . 解：原式=log3a1a2a8a9 =log3(a4a6)2=2log3a4a6=4log3a5 又∵a4a5a6=a53=3,∴a5= ∴原式=4log3=4log3log33=. 答案： 8.在等比數(shù)列中，a1+a2+a3+a5=3,a6+a7+a8+a9+a10=9,則a11+a12+a13+a14+a15= . 分析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則a6+a7+a8+a9+a10=q5(a1+a2+a3+a4+a5) 即9=3q5,∴q5=3,q10=9 又a11+a12+a13+a14+a15=q10(a1+a2+a3+a4+a5)=93=27. 答案：27 9.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比數(shù)列，則= . 分析：∵a1,a3,a9成等比數(shù)列，∴（a1+2d）2=a1(a1+8d) 即a1=d, ∴. 答案： 10.數(shù)列1，2，3，…的前n項(xiàng)和為 . 分析：Sn=1+2+3+…+n=(1+)+(2+)+(3+)+…+(n+) =(1+2+3+…+n)+( ++…+)== = 答案： 11.已知等比數(shù)列中{an}：1，2，4，8，……，它的第n項(xiàng)為an，求a3n. 解：∵an=a1qn－1=2n－1,∴an=2n－1 ∴a3n=23n－1 12.已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2(n=1,2,…),a1=1 (1)設(shè)bn=an+1－2an(n=1,2,…),求證{bn}是等比數(shù)列; (2)設(shè)cn=(n=1,2,…),求證{cn}是等差數(shù)列； （3）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式. 解：（1）∵Sn+1=4an+2 ① ∴Sn+2=4an+1+2 ② ②－①得Sn+2－Sn+1=4an+1－4an(n=1,2,…)，即an+2=4an+1－4an an+2－2an+1=2(an+1－2an) ∵bn=an+1－2an(n=1,2,…) ∴bn+1=2bn 由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列. 由S2=a1+a2=4a1+2,又a1=1,得a2=5 ∴b1=a2－2a1=3,∴bn=32n－1 (2)∵cn= (n=1,2,…),∴cn+1－cn= 將bn=32n－1代入，得cn+1－cn=(n=1,2,…) 由此可知：數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，c1== ,故cn=+ (3)∵cn= ∴an=2ncn=(3n－1)2n－2(n=1,2,…) 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=4an－1+2=(3n－4)2n－1+2. 由于S1=a1=1也適合于此式,∴前n項(xiàng)公式為Sn=(3n－4)2n－1+2 ●備課資料 參考練習(xí)題 1.數(shù)列{an}為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，它的前2n項(xiàng)的和為6560，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比. 分析：利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=解題. 解：若q=1，則應(yīng)有S2n=2Sn,與題意不合，故q≠1. ① ② 當(dāng)q≠1時(shí)，由已知得： 由，得=82, 即q2n－82qn+81=0 得qn=81或qn=1(舍) ∴qn=81,故q＞1. {an}的前n項(xiàng)中最大，有an=54.將qn=81代入①，得a1=q－1 ③ 由an=a1qn－1=54,得a1qn=54q 即81a1=54q ④ 由③④得a1=2,q=3 評(píng)述：在數(shù)學(xué)解題中還應(yīng)有一個(gè)整體觀念，如本題求出qn=81,應(yīng)保留qn為一個(gè)整體求解方便. 2.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，試判斷該數(shù)列依次k項(xiàng)的和組成的數(shù)列{bn}是否仍為等比數(shù)列？ 分析：應(yīng)對(duì){an}的公比q分類討論. 解：設(shè)bn=a(n－1)k+1+a(n－1)k+2+…+ank,且數(shù)列{an}的公比為q 則當(dāng)q=1時(shí)，b1=b2=…=bn=…ka1, ∴{bn}為公比是1的等比數(shù)列. 當(dāng)q≠1時(shí)，bn= ∴{bn}為公比是qk的等比數(shù)列. 當(dāng)q=－1時(shí)，若k為偶數(shù)，則bn=0，此時(shí){bn}不能為等比數(shù)列. 若k為奇數(shù)，數(shù)列{bn}為公比為－1的等比數(shù)列. 綜上：當(dāng){an}的公比不為－1時(shí)，數(shù)列{bn}仍為等比數(shù)列；當(dāng){an}的公比為－1時(shí)，若k為偶數(shù)，則{bn}不是等比數(shù)列；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列{bn}為公比為－1的等比數(shù)列. 3.求數(shù)列1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)a=0時(shí)，Sn=1; (2)a=1時(shí)，Sn=n(n+1); (3)a=－1時(shí)，Sn= (4)a=1;a≠0時(shí)， Sn=. 4.數(shù)列{an}中，Sn=1+kan(k≠0,k≠1) (1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列； （2）求通項(xiàng)an; (3)當(dāng)k=－1時(shí)，求和a12+a22+…an2. 分析：由于條件中涉及Sn與an的關(guān)系，因此，要考慮Sn－Sn－1=an(n≥2)的運(yùn)用，然后回答定義. （1）證明：∵Sn=1+kan ① Sn－1=1+kan－1 ② ①－②得Sn－Sn－1=kan－kan－1(n≥2) ∴(k－1)an=kan－1, (常數(shù))（n≥2）， ∴{an}是公比為的等比數(shù)列. （2）解：∵S1=a1=1+ka1,∴a1= ∴an=()n－1=－ (3)解：∵{an}中a1=,q=, ∴{an2}為首項(xiàng)為（）2,公比為（）2的等比數(shù)列. 當(dāng)k=－1時(shí)，等比數(shù)列{an2}的首項(xiàng)為，公比為 ∴a12+a22+…+an2= = 評(píng)述：應(yīng)注意an=的應(yīng)用. 5.已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，其奇數(shù)項(xiàng)的和為85，偶數(shù)項(xiàng)的和為170，求這個(gè)數(shù)列的公比和項(xiàng)數(shù). 解：設(shè)數(shù)列的公比為q，項(xiàng)數(shù)為2n 則, 得q(a1+a3+…+a2n－1)=170 ∴q=2, 又∵=85,即=85 ∴22n=256=28,∴2n=8 評(píng)述：在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及到a1,n,q,an,Sn5個(gè)量，其中a1和q是基本量，利用這兩個(gè)公式，可知三求二. 6.等比數(shù)列{an}中，S4=1，S8=3，求a17+a18+a19+a20的值. 分析：關(guān)鍵是確定首項(xiàng)和公比. 解：設(shè)此數(shù)列的首項(xiàng)和公比為a1和q. ① ② 則 由②①得q4=2. ∴a17+a18+a19+a20=S20－S16==q16=24=16. 評(píng)述：在研究等比數(shù)列的問(wèn)題中，要確定基本量a1和q,仍然離不開方程思想，在具體求解時(shí)，得到的方程往往是高次方程，因此，要注意優(yōu)化與化簡(jiǎn). 7.求（x+）2+(x2+)2+…+(xn+)2的值 分析：注意到（xn+）2=an=x2n++2,且{x2n}與{()2n}為等比數(shù)列，故可考慮拆項(xiàng)法. 解：Sn=(x2+x4+…+x2n)+(+…+)+ 當(dāng)x=1時(shí)， Sn=n+n+2n=4n. 當(dāng)x≠1時(shí)， Sn=+2n= 評(píng)述：在運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式時(shí)，要注意分析公比是否為1. 8.求數(shù)列2x2,3x3,4x4,…,nxn,…的前n項(xiàng)和. 分析：可以通過(guò)錯(cuò)位相減的方法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題. 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，Sn=0. (2)當(dāng)x=1時(shí)，Sn=2+3+4+…+(n+1)= n(n+3). (3)當(dāng)x≠1時(shí)，Sn=2x2+3x3+4x4+…+(n+1)xn+1 ① xSn=2x3+3x4+4x5+…+nxn+1+(n+1)xn+2 ② ①－②得：（1－x）Sn=2x2+x3+x4+…xn+1－(n+1)xn+2= 2x2+－(n+1)xn+2 ∴Sn= ③ 又當(dāng)x=1時(shí)，Sn=0適合③ ∴Sn= 評(píng)述：錯(cuò)位相減法是一種常用的重要的求和方法.