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2019-2020年高三數(shù)學《第98課特征值與特征向量》基礎教案 一．課標解讀 掌握二階矩陣特征值與特征向量的意義，會求二階矩陣特征值與特征向量，并能解決簡單的問題。 二．課前預習 1.矩陣A= 的特征值和特征向量 . 2.矩陣的特征值和特征向量 . 3.設是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到倍，縱坐標伸長到倍的伸壓變換． 則矩陣的特征值及相應的特征向量為 ；逆矩陣 ；橢圓在的作用下的新曲線的方程 . 4.已知 ，，則 . 5. 已知方程AX=B，其中A= ，B＝，則X＝____________ 6. 已知向量，在矩陣 作用下得到向量，則△OPP’的面積____ 7.已知盒子A中裝有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑色的，1只白色的，盒子B中裝有5只大小和重量相同的小球，其中3只黑色的，2只白色的.假定A，B兩個盒子很難分辨，而且可以任取一個，現(xiàn)在要求先取一個盒子，那么從中摸到一只黑色小球的概率有 。 8.A，B，C三個城市的交通情況，小月想從其中某一個城市出發(fā)直達另一個城市，她可以有幾種選擇？如果他想從某一個城市出發(fā)，先經過一個城市，再到達另一個城市，她又可以有 種選擇。 三 典型例題 例1. 給定矩陣M＝ ，N＝ 及向量， （1）證明和同時是M和N的特征向量 （2）求出M和N的特征值。 例2.已知點列滿足，且，求 例3.在軍事密碼學中，密碼發(fā)送的流程如圖所示，它的數(shù)學原理是：發(fā)送方將要傳送的信息數(shù)字化后用一個矩陣X表示(不足的元素可以補上0，字與字之間的空格也以0記)，在矩陣的左邊乘上一個雙方約定好的可逆方陣A，得到B=AX，則B即為傳送出去的密碼。接受方收到密碼后，只需左乘A的逆矩陣，即可得到發(fā)送出去的明碼X=B。不妨以二階矩陣為例，先將英文字母數(shù)字化，讓，先已知發(fā)送方傳出的密碼為7，13，39，67，雙方約定的可逆矩陣為 ，試破解發(fā)送的密碼. 明碼 X 發(fā)送方加密 密碼B 接受方解密 明碼X 例4.自然界生物種群的成長受到多種因素影響，比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災害等等。因此，它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關系。但是，如果沒有任何限制，種群也會泛濫成災.現(xiàn)假設兩個相互影響的種群X，Y隨時間段變化的數(shù)量分別為，有關系式，其中，試分析20個時段后這兩個種群的數(shù)量變化趨勢. 班級：________姓名：_____________學號：_____ 四.學生作業(yè) 1.矩陣A= 的特征值和特征向量 2. 矩陣B= 的特征值和特征向量 3.投影變換矩陣M= 的特征值和特征向量為 ， = 。 4.已知一級路矩陣 表示一個網絡圖，它們的結點分別是A，B，C，試畫出一個網絡圖. 5.證明：若是矩陣M對應于特征值的特征向量，則也是矩陣M對應于特征值的特征向量. 6.給定矩陣 (1)求A的特征值 及對應的特征向量 ； (2)求A4B． 7.已知點列滿足且。問當逐漸變大時，有何變化趨勢. 8. 寫出圖示網絡表示的一級路矩陣和二級路矩陣(圖(2)的圓圈表示自己到自己有1條線路). 9.已知甲、乙兩個種群相互影響，其數(shù)量分別為，，且有關系式，試求10個時段后甲、乙兩個種群的數(shù)量. 10.某運動服銷售店經銷A，B，C，D四種品牌的運動服，其尺寸分別有S(小號)、M(中號)、L(大號)、XL(特大號)四種，一天內該店的銷售情況如下表所示(單位：件)假設不同品牌的運動服的利潤是A為20元/件，B為15元/件，C為30元/件，D為25元/件，請問：M號的運動服在這天獲得的總利潤是多少？ 型號 品牌 A B C D S 3 2 0 1 M 5 3 4 3 L 2 4 5 5 XL 1 0 1 1