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2019-2020年高中數學 第2章《參數方程》教案 新人教版選修4-4 考點要求 1 了解參數方程的定義。 2 分析直線，圓，圓錐曲線的幾何性質。會選擇適當的參數，寫出他們的參數方程。并理解直線參數方程標準形式中參數的意義。 3掌握曲線的參數方程與普通方程的互化。 考點與導學 1參數方程的定義：在取定的坐標系中。如果曲線上任意一點的坐標都是某個變量的函數(tT) （1） 這里T是的公共定義域。并且對于t的每一個允許值。由方程（1）所確定的點 。都在這條曲線上；那么（1）叫做這條曲線的參數方程，輔助變數t叫做參數。 2過點傾斜角為的直線的參數方程 （I）（t為參數） （i）通常稱（I）為直線的參數方程的標準形式。其中t表示到上一點的有向線段的數量。 t>0時，p在上方或右方；t<0時，p在下方或左方，t=0時，p與重合。 （ii）直線的參數方程的一般形式是：（t為參數） 這里直線的傾斜角的正切（時例外）。當且僅當且b>0時. （1）中的t才具有（I）中的t所具有的幾何意義。 2 圓的參數方程。 圓心在點半徑為r的圓的參數方程是（為參數） 3 橢圓的參數方程。 （為參數） 4 雙曲線的參數方程：（為參數） 5 拋物線的參數方程。（t為參數） 例1 已知某曲線C的參數方程為（其中t是參數，）,點M（5，4）在該曲線上。（1）求常數；（2）求曲線C的普通方程。 解：（1）由題意可知有故 ∴ （2）由已知及（1）可得，曲線C的方程為由第一個方程得代入第二個方程得：。即為所求。 〔點評〕 參數方程化為普通方程的關鍵是消參數，并且要保證等價性。若不可避免地破壞了同解變形，則一定要通過。根據t的取值范圍導出的取值范圍。 例2 圓M的參數方程為（R>0）.(1)求該圓的圓心的坐標以及圓M的半徑。（2）當R固定，變化時。求圓心M的軌跡。并證明此時不論取什么值，所有的圓M都外切于一個定圓。 解：（1）依題意得 圓M的方程為 故圓心的坐標為M（。 （2）當變化時，圓心M的軌跡方程為（其中為參數）兩式平方相加得 。所以所有的圓M的軌跡是圓心在原點。半徑為2R的圓 由于所以所有的圓M都和定圓外切，和定圓內切。 〔點評〕本題中所給的方程中含有多個參數，像這樣的問題有時容易分不清哪個是真正的參數，究竟在具體的題目中哪個是真正的參數應視題目給定的條件，分清參數。 例3已知A，B分別是橢圓的右頂點和上頂點，動點C在該橢圓上運動，求?ABC的重心的軌跡的普通方程。 解：由動點C在橢圓上運動，可設C的坐標為（6cos,3）,點G的坐標為. 依題意可知：A（6，0），B（0，3） 由重心坐標公式可知 由此得： 即為所求。 〔點評〕①本題的解法體現(xiàn)了橢圓的參數方程對于解決相關問題的優(yōu)越性。運用參數方程顯得很簡單。運算更簡便。常用于解決有關最值問題。②“平方法”是消參的常用方法。 例4求經過點（1，1）。傾斜角為的直線截橢圓所得的弦長。 解：由條件可知直線的參數方程是：（t為參數）代入橢圓方程可得： 即設方程的兩實根分別為。 則則直線截橢圓的弦長是 〔點評〕利用直線參數方程的幾何意義求弦長的常用方法。但必須注意：直線的參數方程必須是標準形式。即 （t為參數）當且b>0時才是標準形式。若不滿足且b>0兩個條件。 則弦長為 d= 〔解題能力測試〕 1 已知某條曲線的參數方程為： 其中是參數。則該曲線是（ ） A 線段 B 圓 C 雙曲線的一部分 D 圓的一部分 2 已知某條曲線的參數方程為 則該曲線是（ ） A 線段 B 圓弧 C 雙曲線的一支 D 射線 3實數滿足，則的最大值為： ；最小值為 。 4已知直線的斜率為.經過點。點M在直線上，以的數量t為參數.則直線的參數方程為： 。 5 已知直線的參數方程是（t為參數） 其中實數的范圍是。 則直線的傾斜角是： 。 〔潛能強化訓練〕 1 在方程（為參數）所表示的曲線上的一點的坐標為 （ ） A B C D 2下列參數方程（t為參數）與普通方程表示同一曲線的方程是（ ） A B C D 3 直線與圓（為參數）的位置關系是（ ） A 相切 B 相離 C 直線過圓心 D 相交但直線不過圓心。 4 設直線（t為參數）。如果為銳角，那么直線 的角是（ ） A B C D 5 過點（1，1），傾斜角為的直線截橢圓所得的弦長為（ ） A B C D 6 雙曲線（為參數），那么它的兩條漸近線所成的銳角是： 。 7 參數方程（為參數）表示的曲線的普通方程是： 。 8 已知點M（2，1）和雙曲線，求以M為中點的雙曲線右支的弦AB所在直線的方程。 9 已知橢圓的中心在原點。焦點在軸上且長軸長為4，短軸長為2。直線的參數方程為 （t為參數）。當m為何值時，直線被橢圓截得的弦長為？ １0、求橢圓上的點到直線的最大距離和最小距離。 〔知識要點歸納〕 1． 參數方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的一種表示形式，而且有的參數還有幾何意義或物理意義。 2． 面臨一個軌跡問題，如何選擇參數？如何用參數？是主要問題，必須在學習過程中深刻去領會。 3． 在參數方程與普通方程互化過程中，要注意等價性。 四、參數方程 〔解題能力測試〕 1．C 2、A 3、5，-5 4、 5、 〔潛能強化訓練〕 1、C 2、D 3、C 4、B 5、B 6、600 7、 8、 9、 10、