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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 3.1數(shù)列（第一課時） 大綱人教版必修 ●課時安排 2課時 從容說課 數(shù)列這部分內(nèi)容之所以又一次在內(nèi)容精選中被保留下來，是由其在整個中學(xué)數(shù)學(xué)里的重要地位所決定的。這旨中學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容，而且是進行計算、推理等基本訓(xùn)練、綜合訓(xùn)練的重要題材，它與高等數(shù)學(xué)有較為密切的聯(lián)系，是進一步學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)知識。數(shù)列在整個中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切聯(lián)系。過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而且為后面將要學(xué)習(xí)的數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊，可以說數(shù)列在各知識溝通方面發(fā)揮著重要作用。 通過對本節(jié)的學(xué)習(xí)，要在深刻理解數(shù)列概念的基礎(chǔ)上，牢固掌握數(shù)列的通項公式、遞推公式等。 第一課時 ●課 題 3.1.1 數(shù) 列（一） ●教學(xué)目標 （一）教學(xué)知識點 1.數(shù)列的概念. 2.數(shù)列的表示. 3.數(shù)列的分類. 4.數(shù)列的通項公式. （二）能力訓(xùn)練要求 1.理解數(shù)列的概念、表示、分類、通項等基本概念. 2.了解數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系. 3.了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項. 4.對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的一個通項公式. （三）德育滲透目標 1.培養(yǎng)學(xué)生認真觀察的習(xí)慣. 2.培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納能力. 3.提高觀察、抽象的能力. ●教學(xué)重點 1.理解數(shù)列概念； 2.用通項公式寫出數(shù)列的任意一項. ●教學(xué)難點 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納出數(shù)列的通項公式. ●教學(xué)方法 發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法 結(jié)合一些具體的例子，引導(dǎo)學(xué)生認真觀察各數(shù)列特點，逐步發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，進而抽象、歸納出其通項公式. ●教具準備 幻燈片兩張： 第一張：一組數(shù)列（記作3.1.1 A） 第二張：一組數(shù)列（記作3.1.1 B） ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 ［師］在前面第二章中我們一起學(xué)習(xí)了有關(guān)映射與函數(shù)的知識，現(xiàn)在我們再來回顧一下函數(shù)的定義. ［生］齊聲回答函數(shù)定義. ［師］(板書)函數(shù)定義 如果A、B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射f:：A→B就叫做A到B的函數(shù)，記作：y=f(x),其中x∈A，y∈B. Ⅱ.講授新課 ［師］在學(xué)習(xí)第二章函數(shù)知識的基礎(chǔ)上，今天我們一起來學(xué)習(xí)第三章數(shù)列有關(guān)知識，首先我們來看一些例子.(打出幻燈片3.1.1 A) 1，2，3，4，…，50 ① 1,2,22,23,…,263 ② 15,5,16,16,28 ③ 0,10,20,30,…,1000 ④ 1,0.84,0.842,0.843,… ⑤ [師］請同學(xué)們觀察上述例子，看它們有何共同特點？ ［生］認真觀察上述例子，經(jīng)過思考歸納、總結(jié)它們的共同特點： [生甲]它們均是一列數(shù). [生乙]它們是有一定次序的. ［師］引出數(shù)列及有關(guān)定義. 1.定義 （1）數(shù)列：按照一定次序排成的一列數(shù). ［師］看來上述例子就為我們所學(xué)數(shù)列.那么一些數(shù)為何將其按照一定的次序排列，它有何實際意義呢？也就是說和我們生活有何關(guān)系呢？ ［生］太多了… ［師］請同學(xué)們舉例說明. [生甲]如數(shù)列①，它就是我們班學(xué)生的學(xué)號由小到大排成的一列數(shù). [生己]數(shù)列②，是引言問題中各個格子里的麥粒數(shù)按放置的先后排成的一列數(shù). [生丙]數(shù)列③，好像是我國體育健兒在五次奧運會中所獲金牌數(shù)排成的一列數(shù). [生戌]：數(shù)列④，可看作是在1 km長的路段上，從起點開始，每隔10 m種植一棵樹，由近及遠各棵樹與起點的距離排成的一列數(shù). [生乙]數(shù)列⑤，我們在化學(xué)課上學(xué)過一種放射性物質(zhì)，它不斷地變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過1年，它就只剩留原來的84%，若設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量為1，則這種物質(zhì)各年開始時的剩留量排成一列數(shù)，則為：1，0.84,0.842,0.843,…. ［師］諸如此類，還有很多，舉不勝舉，我們學(xué)習(xí)它，掌握它，也是為了使我們的生活更美好，下面我們進一步討論，好嗎？ 現(xiàn)在，就上述例子，我們來看一下數(shù)列的基本知識. 比如，數(shù)列中的每一個數(shù)，我們以后把其稱為數(shù)列的項，各項依次叫做數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n項，…. 那么，數(shù)列一般可表示為… ［生］a1,a2,a3,…,an,….其中數(shù)列的第n項用an來表示. ［師］數(shù)列還可簡記作{an}. ［師］數(shù)列{an}的第n項an與項數(shù)n有一定的關(guān)系嗎？ [生A]有，如數(shù)列①中，每一項的序號與這一項有這樣的對應(yīng)關(guān)系： 序號 1 2 3 … 50 ↓ ↓ ↓ … ↓ 項 1 2 3 … 50 即數(shù)列的每一項就等于其相對應(yīng)的序號.也可以用一式子：an=n(1≤n≤50)來表示.且n∈N*) [生B]數(shù)列②中，每一項的序號與這一項的對應(yīng)關(guān)系為： 序號 1 2 3 … 64 ↓ ↓ ↓ … ↓ 項 1 2 22 … 263 ↓ ↓ ↓ … ↓ 2 21 22 … 263 ↓ ↓ ↓ … ↓ 21－1 22－1 23－1 … 264－1 即：an=2n－1(n為正整數(shù)，且1≤n≤64) [生C]數(shù)列④中： 序號 1 2 3 … 101 ↓ ↓ ↓ … ↓ 項 0 10 20 … 1000 ↓ ↓ ↓ … ↓ 100 101 102 … 10100 ↓ ↓ ↓ … ↓ 10(1－1) 10(2－1) 10(3－1) … 10(101－1) ∴an=10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101). [生D]數(shù)列⑤中： 序號 1 2 3 4 … ↓ ↓ ↓ ↓ … 項 1 0.84 0.842 0.843 … ↓ ↓ ↓ ↓ … 0.840 0.841 0.842 0.843 … ∴an=0.84n－1(n≥1且n∈N*) ［師］數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系都可以用這樣的式子來表示嗎？ ［生］不是，如數(shù)列③的項與序號的關(guān)系就不可用這樣的式子來表示. ［師］綜上所述，如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n,就可以求出該數(shù)列相應(yīng)的各項. ［師］下面，我們來練習(xí)找通項公式. （打出幻燈片3.1.1 B） 1，，…. ① 1,0.1,0.01,0.001,…. ② －1,1,－1,1,…. ③ 2,2,2,2,2,2. ④ 1,3,5,7,9,…. ⑤ ［生］思考，討論…… 得出數(shù)列①的通項公式為an=且n∈N*. 數(shù)列②可用通項公式：an=(n∈N*,n≥1)來表示. 數(shù)列③的通項公式為an=(－1)n(n∈N*)， 或an= 數(shù)列④的通項公式為：an=2(n∈N*且1≤n≤6) 數(shù)列⑤的通項公式為：an=2n－1(n∈N*). ［師］請同學(xué)們思考數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別和聯(lián)系. [生A]在數(shù)列的定義中，要強調(diào)數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的，而數(shù)集中的元素沒有次序. ［師］能舉例說明嗎？ [生A]例如，數(shù)列4，5，6，7，8，9與數(shù)列9，8，7，6，5，4是不同的兩個數(shù)列. 即如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列.而數(shù)集中的元素若相同，則為同一集合，與元素的次序無關(guān). [生B]數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)出現(xiàn)的，而數(shù)集中的數(shù)是不允許重復(fù)出現(xiàn)的.如上數(shù)列③與④，均有重復(fù)出現(xiàn)的數(shù). ［師］另外…… [生C]數(shù)列與數(shù)的集合都是具有某種共同屬性的數(shù)的全體. ［師］{an}與an又有何區(qū)別和聯(lián)系？ [生D]{an}表示數(shù)列；an表示數(shù)列的項. 具體地說，{an}表示數(shù)列a1,a2,a3,a4,…,an,…. 而an只表示這個數(shù)列的第n項，其中n表示項的位置序號. 如：a1,a2,a3,an分別表示數(shù)列的第1項，第2項，第3項及第n項. ［師］請同學(xué)們思考數(shù)列是否都有通項公式？數(shù)列的通項公式是否是惟一的？ ［生甲］：數(shù)列都有通項公式，數(shù)列的通項公式也是惟一確定的. [生乙]：數(shù)列都有通項公式，數(shù)列的通項公式不是惟一確定的. [生丙]：不是所有的數(shù)列都有通項公式，數(shù)列的通項公式也不是惟一確定的. ［師］這幾位同學(xué)的答案各不一致，究竟哪位同學(xué)的回答是正確的呢？ 下面請看上述數(shù)列④,數(shù)列⑤. 對于數(shù)列④,可否用一個公式來表示項與項數(shù)的關(guān)系呢？ 可發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)列不可用一個公式來表示每一項與它的項數(shù)的關(guān)系，即這個數(shù)列沒有通項公式. 看來，不是所有的數(shù)列都有通項公式. 對于數(shù)列③,這一數(shù)列的項與項數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不僅可用公式：an=(－1)n(n∈N*)來表示，還可用公式：an=來表示.這兩個通項公式形式上雖然不同，但表示同一個數(shù)列.看來，一些數(shù)列的通項公式可以有不同的形式，即數(shù)列的通項公式不是惟一確定的. 但要注意：數(shù)列的通項公式確定時，數(shù)列也就確定了.（因為如果已知一個數(shù)列的通項公式，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的各項） ［師］從映射、函數(shù)的觀點來看，數(shù)列也可看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它們的有限子集{1，2，3，…，n}）的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式. ［師］對于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對應(yīng)圖象.看來，數(shù)列也可以根據(jù)其通項公式畫出其對應(yīng)圖象，下面請同學(xué)們練習(xí)畫數(shù)列①、②的圖象. ［生］根據(jù)所求通項公式畫出數(shù)列⑤①的圖象，并總結(jié)其特點： 特點：它們都是一群弧立的點. （5）有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.如數(shù)列④只有6項，是有窮數(shù)列. （6）無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.如數(shù)列①②③⑤都是無窮數(shù)列. 2.例題講解 ［例1］根據(jù)下面數(shù)列{an}的通項公式，寫出它的前5項： (1)an=; (2)an=(－1)nn 分析：由通項公式定義可知，只要將通項公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到數(shù)列的前5項. 解：(1)在an=中依次取n=1,2,3,4,5，得到數(shù)列{}的前5項分別為. 即a1=;a2=;a3=;a4=;a5=. (2)在an=(－1)nn中依次取n=1,2,3,4,5，得到數(shù)列{－1nn}的前5項分別為：－1，2，－3，4，－5. 即a1=－1;a2=2;a3=－3;a4=4;a5=－5. ［例2］寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)： (1)1,3,5,7; (2)； (3)－. 分析：認真觀察各數(shù)列所給出項，尋求各項與其項數(shù)的關(guān)系，歸納其規(guī)律，抽象出其通項公式. 解：(1) 序號： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 項： 1=21－1 3=22－1 5=23－1 7=24－1 規(guī)律：這個數(shù)列的前4項1，3，5，7都是序號的2倍減去1，所以它的一個通項公式是an=2n－1; (2) 序號： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 項分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓ 項分子： 22－1 32－1 42－1 52－1 規(guī)律：這個數(shù)列的前4項,的分母都是序號加上1，分子都是分母的平方減去1，所以它的一個通項公式是：an=; （3） 序號： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 項： － － ‖ ‖ ‖ ‖ （－1）1 （－1）2 （－1）3 （－1）4 規(guī)律：這個數(shù)列的前4項－的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是：an=(－1)n. Ⅲ.課堂練習(xí) ［生］思考課本P110練習(xí)1，2，3，4 （老師提問，學(xué)生作答） 1.（1）an=n2 a1=1;a2=4;a3=9;a4=16;a5=25. (2)an=10n a1=10;a2=20;a3=30;a4=40;a5=50. (3)an=5(－1)n+1 a1=5;a2=－5;a3=5;a4=－5;a5=5. (4)an= a1=. 2.(1)an=. (2)an=n(n+2)，a7=63;a10=120. (3)an=. (4)an=－2n+3，a7=－125;a10=－1021. 3.(1)2,4,(8),16,32,(64),128;an=2n (2)(1),4,9,16,25,(36),49;an=n2 (3)－1, ,(－), ,(－), ,(－);an=. (4)1, ,(),2, ,(),； an=. 評析：此題目應(yīng)認真練習(xí)，仔細琢磨，從而提高抽象、歸納能力. Ⅳ.課時小結(jié) 對于本節(jié)內(nèi)容應(yīng)著重掌握數(shù)列及有關(guān)定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的一些項求一些簡單數(shù)列的通項公式. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P112習(xí)題3.1 1,2 (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P110～P111. 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）什么叫數(shù)列的遞推公式？ （2）遞推公式與通項公式有什么異同點？ ●板書設(shè)計 3.1.1 數(shù)列（一） 一、定義 1.數(shù)列 2.項 3.一般形式 4.通項公式 5.有窮數(shù)列 6.無窮數(shù)列 二、例題講解 例1 例2 復(fù)習(xí)回顧 課時小結(jié)