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2019-2020年高三第三次模擬考試 數學（理） 第Ⅰ卷(共60分) 選擇題:（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 若集合，且，則集合可能是（ ） A. B. C. D. 設為虛數單位，則滿足的復數在復平面內所對應的點位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 已知雙曲線，則其焦距為（ ） A. B. C. D. 已知向量與不共線，，，則與共線的充要條件是（ ） A. B. C. D. 開始 輸入 是 輸出 結束 否 若，則的值為（ ） A. B. C. D. 按右圖所示的程序框圖，若輸入，則輸出的=（ ） A.14 B.17 C.19 D.21 《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體（如圖）：面為矩形，棱.若此幾何體中，，和都是邊長為的等邊三角形，則此幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 在如圖所示的矩形中隨機投擲30000個點，則落在曲線下方（曲線為正態(tài)分布的正態(tài)曲線）的點的個數的估計值為（ ） A.4985 B. 8185 C. 9970 D.24555 附：正態(tài)變量在區(qū)間內取值的概率分別是. 已知直線與拋物線交于兩點（在軸上方），與軸交于點，，則（ ） A. B. C. D. 已知某三棱錐的三視圖如圖所示，圖中的個直角三角形的直角邊長度已經標出，則在該三棱錐中，最短的棱和最長的棱所在直線的成角余弦值為（ ） A. B. C. D. 數列的前項和為，，，則=（ ） A. B. C. D. 已知函數，給出以下四個命題： ①，有； ②且，有； ③，有； ④，. 其中所有真命題的序號是（ ） A. ①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 第Ⅱ卷 (共90分) 本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題～第21題為必考題，每個試題考生都必須做答．第22題～第23題為選考題，考生根據要求做答． 填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題紙上) 已知函數，則=___________. 展開式中的系數為___________. 某班共46人，從A，B，C，D，E五位候選人中選班長，全班每人只投一票，且每票只選一人。投票結束后（沒人棄權）：若A得25票，B得票數占第二位，C、D得票同樣多，得票最少的E只得4票，那么B得票的票數為__________. 已知點，點是圓上的兩個點，則的最大值為__________. 解答題：(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) (本小題滿分12分) 已知函數部分圖象如圖所示. （Ⅰ）求值及圖中的值； （Ⅱ）在中，的對邊分別為，已知，，，求的值． (本小題滿分12分) “共享單車”的出現，為我們提供了一種新型的交通方式。某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴重的A城市和交通擁堵嚴重的B城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖： （Ⅰ）根據莖葉圖，比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大?。ú灰笥嬎愠鼍唧w值，給出結論即可）； （Ⅱ）若得分不低于80分，則認為該用戶對此種交通方式“認可”，否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”，請根據此樣本完成此22列聯表，并據此樣本分析是否有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關； （Ⅲ）若從此樣本中的A城市和B城市各抽取1人，則在此2人中恰有一人認可的條件下，此人來自B城市的概率是多少？ 附：參考數據： （參考公式：） (本小題滿分12分) 如圖，在三棱柱中，側面底面，和都是邊長為2的正三角形. （Ⅰ）過作出三棱柱的截面，使截面垂直于，并證明； （Ⅱ）求與平面所成角的正弦值. （本小題滿分12分） 已知定直線，定點，以坐標軸為對稱軸的橢圓過點且與相切. （Ⅰ）求橢圓的標準方程； （Ⅱ）橢圓的弦的中點分別為，若平行于，則斜率之和是否為定值？ 若是定值，請求出該定值；若不是定值請說明理由. （本小題滿分12分） 已知與的圖象交于兩點. （Ⅰ）求函數的最小值； （Ⅱ）且的中點為，求證：.  請考生在22，23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時，用2B鉛筆在答題卡把所選題目對應的標號涂黑． （本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程 已知曲線的參數方程為，在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線，以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系. （Ⅰ）求曲線的極坐標方程； （Ⅱ）若過點（極坐標）且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，弦的中點為，求的值. （本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講 已知正實數，函數. （Ⅰ）若，解關于的不等式； （Ⅱ）求證：. xx沈陽市高中三年級教學質量監(jiān)測（三） 數學（理科）參考答案與評分標準 說明： 一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則. 二、對解答題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分. 三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數. 四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分. 一、選擇題： 1.A 2.A 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B 8.B 9.B 10.A 11.C 12.D 11.解析：由和，可知數列唯一確定，并且，猜測，經驗證是滿足題意的唯一解。選C. 12.解析：易證①是真命題；由，可知②是真命題；由于在單調遞增，可知③是真命題；設，則當時，，所以在單調遞增，所以當時，，即；由奇函數性質可知④是真命題；選D. 二.填空題： 13.9 14.-6 15.7 16.60 16.解析：由已知可得點在如圖所示的平面區(qū)域內（包含邊界）運動，易知點位于圓外，則當最大時，應有所在直線與圓相切，且點位于離圓心最近的處；此時，圓心到直線的距離，所以在中，所以，同理，此時. 三.解答題： 17．解： （Ⅰ）解：由圖象可知，所以， 又因為，所以.…………………………………………………………3分 因為，所以，解得. 從而.由圖象可知，所以；……………………6分 （Ⅱ）由，得，且，解得.……8分 因為，由正弦定理得.………………………………………10分 又由余弦定理，及和可解得.……12分 18．解： （Ⅰ）城市評分的平均值小于城市評分的平均值；………………2分 城市評分的方差大于城市評分的方差；…………………………………………4分 （Ⅱ） ……………………………………………………………6分 ………………………………………………7分 所以沒有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關；…………………………8分 （Ⅲ）設事件：恰有一人認可；事件：來自城市的人認可； 事件包含的基本事件數為，……………………………10分 事件包含的基本事件數為， 則所求的條件概率…………………………12分 19．解： （Ⅰ）設中點為，連，則截面為所求，……3分 分別為的中線，所以， 又為平面內的兩條相交直線，所以平面，…………6分 （Ⅱ）以為原點，方向為軸方向建立如圖所示的空間直角坐標系， 易求得， ， ……………………………………………………8分 設平面的一個法向量為， 由解得平面的一個法向量為，…10分 ， 所以與平面所成角的正弦值為…………………………………12分 20．解： （Ⅰ）設橢圓的標準方程為 橢圓過點，所以①，………………………………………………2分 將代入橢圓方程化簡得：， 因為直線與橢圓相切，所以②，…………4分 解①②可得，，所以橢圓方程為；……………………6分 （Ⅱ）設點，則有， 由題意可知，所以，設直線的方程為， 代入橢圓方程并化簡得： 由題意可知③………………………………………………………8分 通分后可變形得到………………10分 將③式代入分子 所以斜率之和為定值.…………………………………………………12分 21．解： （Ⅰ），求導得 當時，，在上為增函數，不滿足有兩個零點，故不合題意； 所以，令，解得，………………………………………2分 并且有；， 故.………………………4分 （Ⅱ）證明：要證成立，即證，不妨設，只需證， 即為， 要證只需證，令， 只需證，求導 在為增函數，故，…………8分 要證，只需證明，令， 求導， 在為減函數，故，； 所以， 成立， 成立。………………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ），……………………………2分 將，代入的普通方程可得，…………4分 即，所以曲線的極坐標方程為 ……………………5分 （Ⅱ）點的直角坐標是，將的參數方程（為參數） 代入，可得，………………………………………8分 所以．……………………………………………10分 23．解：（Ⅰ）原不等式等價于 ……………………………………………………2分 …………………………………………4分 ………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）∵,,為正數， 所以有……………………………………………………………8分 ∴……10分