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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》教案3 北師大版必修5 教學(xué)目的： 1．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同； 2．會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項； 3．理解數(shù)列的前n項和與的關(guān)系； 4．會由數(shù)列的前n項和公式求出其通項公式. 教學(xué)重點：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 教學(xué)難點：理解遞推公式與通項公式的關(guān)系 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析： 由于并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項公式(有通項公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴(kuò)展遞推是數(shù)學(xué)里的一個非常重要的概念和方法在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個數(shù)列的通項公式的途徑：先得出較為容易寫出的數(shù)列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項公式但是，這項內(nèi)容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項公式等，這樣就會加重學(xué)生負(fù)擔(dān)考慮到學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)，我們必須牢牢把握教學(xué)要求，只要能初步體會一下用遞推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個數(shù)列的前幾項就行了 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入：上節(jié)學(xué)習(xí)知識點如下 ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，…. ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項 ⒋ 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 5．?dāng)?shù)列的圖像都是一群孤立的點. 6．?dāng)?shù)列有三種表示形式：列舉法，通項公式法和圖象法. 7． 有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如，數(shù)列①是有窮數(shù)列. 8． 無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列. 二、講解新課： 知識都來源于實踐，最后還要應(yīng)用于生活用其來解決一些實際問題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型． 模型一：自上而下： 第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3 若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7） 運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律建立了數(shù)列模型，運用這一關(guān)系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便 讓同學(xué)們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學(xué)生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關(guān)系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1 即；； 依此類推：（2≤n≤7） 對于上述所求關(guān)系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關(guān)系也較為重要 定義： 1．遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公 式就叫做這個數(shù)列的遞推公式 說明：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法 如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 2．?dāng)?shù)列的前n項和： 數(shù)列中，稱為數(shù)列的前n項和，記為. 表示前1項之和：= 表示前2項之和：= …… 表示前n-1項之和：= 表示前n項之和：=. ∴當(dāng)n≥1時才有意義；當(dāng)n-1≥1即n≥2時才有意義. 3．與之間的關(guān)系： 由的定義可知，當(dāng)n=1時，=；當(dāng)n≥2時，=-， 即=. 說明：數(shù)列的前n項和公式也是給出數(shù)列的一種方法. 三、例題講解 例1已知數(shù)列的第1項是1，以后的各項由公式給出，寫出這個數(shù)列的前5項 分析：題中已給出的第1項即，遞推公式： 解：據(jù)題意可知： 例2已知數(shù)列中，≥3），試寫出數(shù)列的前4項 解：由已知得 例3已知， 寫出前5項，并猜想． 法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ 例4 已知數(shù)列的前n項和，求數(shù)列的通項公式： ⑴ =n+2n； ⑵ =n-2n-1. 解：⑴①當(dāng)n≥2時，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1； ②當(dāng)n=1時，==1+21=3； ③經(jīng)檢驗，當(dāng)n=1時，2n+1=21+1=3， ∴=2n+1為所求. ⑵①當(dāng)n≥2時，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3； ②當(dāng)n=1時，==1-21-1=-2； ③經(jīng)檢驗，當(dāng)n=1時，2n-3=21-3=-1≠-2， ∴=為所求. 四、練習(xí)： 1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式 (1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3－2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1); (2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝; (3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋23; 2． ．已知下列各數(shù)列的前n項和的公式，求的通項公式 (1) ＝2n－3n; (2) ＝－2. 解：(1) ＝－1, =-＝2n－3n－[2(n－1)－3(n－1)]＝4n－5, 又符合＝41－5, ∴ ＝4n－5; (2) ＝1, =-＝－2－(－2)＝2, ∴＝ 五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關(guān)系. 3．的定義及與之間的關(guān)系 六、課后作業(yè)： 1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項 =1, =+（n≥2） 解：由=1, =+（n≥2）, 得=1, =+=2, =+, =+,=+ 2．已知=an+bn+c，求數(shù)列的通項公式 答案：= 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記：