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復(fù)習(xí)：,單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,Fourier變換與逆變換的性質(zhì),7.1.3單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換,在物理和工程技術(shù)中, 常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù). 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在電學(xué)中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢(shì)作用后產(chǎn)生的電流; 在力學(xué)中, 要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等. 研究此類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).,在原來電流為零的電路中, 某一瞬時(shí)(設(shè)為t=0)進(jìn)入一單位電量的脈沖, 現(xiàn)在要確定電路上的電流i(t). 以q(t)表示上述電路中的電荷函數(shù), 則,當(dāng)t?0時(shí), i(t)=0, 由于q(t)是不連續(xù)的, 從而在普通導(dǎo)數(shù)意義下, q(t)在這一點(diǎn)是不能求導(dǎo)數(shù)的.,如果我們形式地計(jì)算這個(gè)導(dǎo)數(shù), 則得,這表明在通常意義下的函數(shù)類中找不到一個(gè)函數(shù)能夠表示這樣的電流強(qiáng)度. 為了確定這樣的電流強(qiáng)度, 引進(jìn)一稱為狄拉克(Dirac)的函數(shù), 簡單記成d-函數(shù):,有了這種函數(shù), 對(duì)于許多集中于一點(diǎn)或一瞬時(shí)的量, 例如點(diǎn)電荷, 點(diǎn)熱源, 集中于一點(diǎn)的質(zhì)量及脈沖技術(shù)中的非常窄的脈沖等, 就能夠象處理連續(xù)分布的量那樣, 以統(tǒng)一的方式加以解決.,,工程上將d-函數(shù)稱為單位脈沖函數(shù)。,可將d-函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段表示, 這個(gè)線段的長度表示d-函數(shù)的積分值.,d-函數(shù)有性質(zhì)：,二、d-函數(shù)的傅氏變換為:,于是d (t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).,證法2：若F(w)=2pd (w), 由傅氏逆變換可得,例1 證明：1和2pd (w)構(gòu)成傅氏變換對(duì).,證法1：,由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得,稱這種方式的 Fourier 變換是一種廣義的Fourier變換。,性質(zhì)直接給出的，而不是通過通常的積分方式得出來的，,例如常數(shù), 符號(hào)函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函數(shù)等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換.,在物理學(xué)和工程技術(shù)中, 有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件, 即不滿足條件,例4 求正弦函數(shù)f (t)=sinw0t的傅氏變換。,例 5 證明：,證：,,7.2 Fourier變換與逆變換的性質(zhì),這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì), 為了敘述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在證明這些性質(zhì)時(shí), 不再重述這些條件.,1.線性性質(zhì):,2. 位移性質(zhì):,證明：,推論：,證明：,例1,解：,3. 相似性：,證明：,4.微分性：,5.積分性：,,,6. 帕塞瓦爾(Parserval)等式,實(shí)際上, 只要知道下面五個(gè)傅里葉變換, 則很多傅里葉變換都無須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.,例2 利用傅氏變換的性質(zhì)求d (t-t0),,例3 若 f (t)=cosw0t ? u(t), 求其傅氏變換。,卷積定義：,卷積的基本運(yùn)算規(guī)律：,一、卷積的定義及運(yùn)算規(guī)律,說明：,例1 求下列函數(shù)的卷積：,解：,,例1 求下列函數(shù)的卷積：,由卷積的定義有,,二、卷積定理：,（可用于化簡卷積運(yùn)算和傅氏變換）,例2 求 的傅氏變換。,,,作 業(yè),習(xí)題十四 1 2 3 4 6,