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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 1 隨機(jī)事件的概率教學(xué)案 北師大版必修3 1．概率 在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會在某個常數(shù)附近擺動，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性．這時，我們把這個常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率，記為P(A)． 2．頻率與概率的關(guān)系 頻率反映了一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，但頻率是隨機(jī)的，而概率是一個確定的值，因此，人們用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大?。趯?shí)際問題中，某些隨機(jī)事件的概率往往難以確切得到，常常通過做大量的重復(fù)試驗(yàn)，用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率作為它的概率的估計值． 3．隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但是隨機(jī)性中含有規(guī)律性．認(rèn)識了這種隨機(jī)性中的規(guī)律性，就能使我們比較準(zhǔn)確地預(yù)測隨機(jī)事件發(fā)生的可能性．概率只是度量事件發(fā)生的可能性的大小，不能確定是否發(fā)生． 4．任何事件的概率是區(qū)間[0,1]上的一個確定數(shù)，它度量該事件發(fā)生的可能性大?。「怕?接近于0)事件不是不發(fā)生，而是很少發(fā)生，大概率(接近于1)事件不是一定發(fā)生，而是經(jīng)常發(fā)生． [問題思考] 1．把一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)擲1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，那么說此次試驗(yàn)正面朝上的頻率為0.498，擲一次硬幣正面朝上的概率為0.5，這樣理解正確嗎？ 提示：正確．由題意，正面朝上的頻率為＝0.498，通過做大量的試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，正面朝上的頻率都在0.5附近擺動，故擲一次硬幣，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次試驗(yàn)中正面朝上的頻率；而概率是一個確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)． 2．如果某種病治愈的概率是0.3，那么10個人中，前7個人沒有治愈，后3個人一定能夠治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3? 提示：如果把治療一個病人作為一次試驗(yàn)，對于一次試驗(yàn)來說，其結(jié)果是隨機(jī)的，因此前7個人沒有治愈是可能的，對后3個人來說，其結(jié)果仍然是隨機(jī)的，有可能治愈，也可能沒有治愈． “治愈的概率是0.3”指隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，即治療人數(shù)的增加，大約有30%的人能夠治愈，如果患病的有1 000人，那么我們根據(jù)治愈的頻率應(yīng)在治愈的概率附近擺動這一前提，就可以認(rèn)為這1 000個人中大約有300人能治愈． 講一講 1.下面的表中列出10次拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果．n為拋擲硬幣的次數(shù)，m為硬幣正面向上的次數(shù)．計算每次試驗(yàn)中“正面向上”這一事件的頻率，并考查它的概率． 實(shí)驗(yàn)序號 拋擲的次數(shù)n 正面向上的次數(shù)m “正面向上”出現(xiàn)的頻率 1 500 251 2 500 249 3 500 256 4 500 253 5 500 251 6 500 246 7 500 244 8 500 258 9 500 262 10 500 247 [嘗試解答]　利用頻率的定義，可分別得出這10次試驗(yàn)中“正面向上”這一事件出現(xiàn)的頻率依次為： 0．502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，0.524,0.494，這些數(shù)字在0.5附近左右擺動，由概率的統(tǒng)計定義可得，“正面向上”的概率為0.5. 頻數(shù)、頻率和概率三者之間的關(guān)系： (1)頻數(shù)是指在n次重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，頻率是頻數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，而概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的規(guī)律體現(xiàn)； (2)隨機(jī)事件的頻率在每次試驗(yàn)中都可能會有不同的結(jié)果，但它具有一定的穩(wěn)定性；概率是頻率的穩(wěn)定值，不會隨試驗(yàn)次數(shù)的變化而變化． 練一練 1．某籃球運(yùn)動員在最近幾場大賽中罰球投籃的結(jié)果如下： 投籃次數(shù)n 8 10 12 9 10 16 進(jìn)球次數(shù)m 6 8 9 7 7 12 進(jìn)球頻率 (1)計算表中進(jìn)球的頻率； (2)這位運(yùn)動員投籃一次進(jìn)球的概率是多少？ 解：(1)進(jìn)球的頻率依次是：0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75. (2)這位運(yùn)動員投籃一次進(jìn)球的概率P≈0.76. 講一講 　2.擲一顆均勻的正方體骰子得到6點(diǎn)的概率是，是否意味著把它擲6次能得到1次6點(diǎn)？ [嘗試解答]　把一顆均勻的骰子擲6次相當(dāng)于做6次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的，所以做6次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的．這就是說，每擲一次總是隨機(jī)地出現(xiàn)一個點(diǎn)數(shù)，可以是1點(diǎn)，2點(diǎn)，也可以是其他點(diǎn)數(shù)，不一定出現(xiàn)6點(diǎn)．所以擲一顆骰子得到6點(diǎn)的概率是，并不意味著把它擲6次能得到1次6點(diǎn)． 隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生與否是隨機(jī)的，但隨機(jī)中含有規(guī)律性，而概率恰是其規(guī)律在數(shù)量上的反映，概率是客觀存在的，它與試驗(yàn)次數(shù)沒有關(guān)系． 練一練 2．?dāng)S一枚硬幣，連續(xù)出現(xiàn)5次正面向上，有人認(rèn)為下次出現(xiàn)反面向上的概率大于，這種理解正確嗎？ 解：不正確．?dāng)S一次硬幣，作為一次試驗(yàn)，其結(jié)果是隨機(jī)的，但通過做大量的試驗(yàn)，呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都為.連續(xù)5次正面向上這種結(jié)果是可能的，對下一次試驗(yàn)來說，仍然是隨機(jī)的，其出現(xiàn)正面和反面的可能性還是，不會大于. 講一講 3.為了估計某自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如200只，給每只天鵝作上記號且不影響其存活，然后放回保護(hù)區(qū)．經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r間，讓它們和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再從保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如150只．查看其中有記號的天鵝，設(shè)有20只．試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量． [嘗試解答]　設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n，假定每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A＝{捕到帶有記號的天鵝}，則P(A)＝. 第二次從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號，由概率的定義可知P(A)≈. 所以，≈，解得n≈1 500， 所以該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1 500. 利用頻率近似等于概率的關(guān)系求未知量： (1)抽出m個樣本進(jìn)行標(biāo)記，設(shè)總體容量為n，則標(biāo)記概率為； (2)隨機(jī)抽取n1個個體，發(fā)現(xiàn)其中m1個被標(biāo)記，則標(biāo)記頻率為； (3)用頻率近似等于概率建立關(guān)系式≈； (4)求出n≈，注意這個n值僅是真實(shí)值的近似． 練一練 3．為了估計水庫中的魚的條數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，如2 000條，給每條魚作上記號且不影響其存活，然后放回水庫．經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r間，讓它們和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，如500條，查看其中有記號的魚，設(shè)有40條．試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計水庫中魚的條數(shù)． 解：設(shè)水庫中魚的條數(shù)為n，從水庫中任捕一條，捕到標(biāo)記魚的概率為.第二次從水庫中捕出500條，帶有記號的魚有40條，則捕到帶記號的魚的頻率(代替概率)為，由≈，得n≈25 000，所以水庫中約有魚25 000條． 【解題高手】【易錯題】 一家保險公司連續(xù)多年對某城市出租車事故做了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)出租車發(fā)生事故的頻率總是在0.001左右．如果這個調(diào)查繼續(xù)做下去，10年后發(fā)生事故的頻率就會等于0.001(假定出租車發(fā)生事故都不會隨著時間的改變而改變)．你覺得這種看法對嗎？說出你的理由． [錯解]　這種看法是正確的，10年后發(fā)生事故的頻率等于0.001. [錯因]　頻率會在某個常數(shù)附近擺動，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，擺動會越來越小，但不一定等于該常數(shù)． [正解]　這種看法是錯誤的．隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會穩(wěn)定于一個常數(shù)附近，這個常數(shù)就是概率，但穩(wěn)定于不一定是等于，況且0.001未必是出租車發(fā)生事故的概率． 1．下列事件： ①長度為3,4,5的三條線段可以構(gòu)成一個直角三角形； ②經(jīng)過有信號燈的路口，遇上紅燈； ③從10個玻璃杯(其中8個正品，2個次品)中，任取3個，3個都是次品； ④下周六是晴天． 其中，是隨機(jī)事件的是(　　) A．①②　　B．②③ C．③④ D．②④ 解析：選D ①為必然事件；對于③，次品總數(shù)為2，故取到的3個不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④為隨機(jī)事件． 2．在某市的天氣預(yù)報中有“降水概率預(yù)報”，例如預(yù)報“明天降水概率為90%”，這是指(　　) A．明天該地區(qū)約有90%的地方會降水，其余地方不降水 B．明天該地區(qū)約有90%的時間會降水，其余時間不降水 C．在氣象臺的專家中，有90%認(rèn)為明天會降水，其余專家認(rèn)為不降水 D．明天該地區(qū)降水的可能性為90% 解析：選D 明天降水的概率為90%指的是明天該地區(qū)降水的可能性為90%. 3．在5張不同的彩票中有2張獎票，5個人依次從中各抽取1張，則每個人抽到獎票的概率(　　) A．遞減 B．遞增 C．相等 D．不確定 解析：選C 因?yàn)槊總€人獲得獎票的概率均為，即抽到獎票的概率與抽取順序無關(guān)． 4．下列事件：①明天進(jìn)行的某場足球賽的比分是3∶1；②下周一某地的最高氣溫與最低氣溫相差10 ℃；③同時擲兩枚大小相同的骰子，向上一面的兩個點(diǎn)數(shù)之和不小于2；④射擊一次，命中靶心；⑤當(dāng)x為實(shí)數(shù)時，x2＋4x＋4＜0.其中必然事件有________，不可能事件有________，隨機(jī)事件有________．(填序號) 答案：③?、荨、佗冖? 5．某工廠為了節(jié)約用電，規(guī)定每天的用電量指標(biāo)為1 000度，按照上個月的用電記錄，在30天中有12天的用電量超過指標(biāo)，若第二個月仍沒有具體的節(jié)電措施，則該月的第一天用電量超過指標(biāo)的概率是________． 解析：由頻率定義可知用電量超過指標(biāo)的頻率為＝0.4，頻率約為概率． 答案：0.4 6．某質(zhì)檢員從一批種子中抽取若干組種子，在同一條件下進(jìn)行發(fā)芽試驗(yàn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下(單位：粒)： 種子粒數(shù) 25 70 130 700 2 000 3 000 發(fā)芽粒數(shù) 24 60 116 639 1 806 2 713 發(fā)芽率 (1)計算各組種子的發(fā)芽率，填入上表；(精確到0.01) (2)根據(jù)頻率的穩(wěn)定性估計種子的發(fā)芽率． 解：(1)種子發(fā)芽率從左到右依次為0.96,0.86,0.89，0.91,0.90,0.90. (2)由(1)知，發(fā)芽率逐漸穩(wěn)定在0.90，因此可以估計種子的發(fā)芽率為0.90. 一、選擇題 1．“某彩票的中獎概率為”意味著(　　) A．買100張彩票就一定能中獎 B．買100張彩票能中一次獎 C．買100張彩票一次獎也不中 D．購買彩票中獎的可能性為 答案：D 2．拋擲一枚骰子兩次，用隨機(jī)模擬方法估計上面的點(diǎn)數(shù)和為7的概率，共進(jìn)行了兩次試驗(yàn)，第一次產(chǎn)生了60組隨機(jī)數(shù)，第二次產(chǎn)生了200組隨機(jī)數(shù)，那么這兩次估計的結(jié)果相比較(　　) A．第一次準(zhǔn)確 B．第二次準(zhǔn)確 C．兩次的準(zhǔn)確率相同 D．無法比較 解析：選B 用隨機(jī)模擬方法估計概率時，產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)越多，估計的結(jié)果越準(zhǔn)確． 3．下列結(jié)論正確的是(　　) A．事件A發(fā)生的概率P(A)滿足0＜P(A)＜1 B．事件A發(fā)生的概率P(A)＝0.999，則事件A是必然事件 C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500 名病人進(jìn)行治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計有明顯療效的可能性為76% D．某獎券的中獎率為50%，則某人購買此獎券10張，一定有5張中獎 解析：選C A不正確，因?yàn)?≤P(A)≤1；B不正確，若事件A是必然事件，則P(A)＝1；D不正確，某獎券的中獎率為50%,10張獎券可能會有5張中獎，但不一定會發(fā)生． 4．給出下列三個命題，其中正確命題的個數(shù)為(　　) ①設(shè)有一批產(chǎn)品，已知其次品率為0.1，則從中任取100件，必有10件是次品；②做7次拋硬幣的試驗(yàn)，結(jié)果3次出現(xiàn)正面朝上，則硬幣出現(xiàn)正面朝上的概率是；③隨機(jī)事件發(fā)生的頻率就是這個隨機(jī)事件發(fā)生的概率． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 解析：選A ①②③均不正確． 5．在給病人動手術(shù)之前，外科醫(yī)生會告知病人或家屬一些情況，其中有一項(xiàng)是說這種手術(shù)的成功率大約是99%，下列解釋正確的是(　　) A．100個手術(shù)有99個手術(shù)成功，有1個手術(shù)失敗 B．這個手術(shù)一定成功 C．99%的醫(yī)生能做這個手術(shù)，另外1%的醫(yī)生不能做這個手術(shù) D．這個手術(shù)成功的可能性是99% 解析：選D 成功率大約是99%，說明手術(shù)成功的可能性是99%. 二、填空題 6．一個口袋裝有除顏色外其他均相同的白球、紅球共100個，若摸出一個球?yàn)榘浊虻母怕蕿?，則估計這100個球內(nèi)，有白球________個． 解析：100＝75. 答案：75 7．在200件產(chǎn)品中，有192件一級品，8件二級品，則下列事件： ①在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是一級品；②在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，全部是二級品；③在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，不全是二級品；④在這200件產(chǎn)品中任意選出9件，其中不是一級品的件數(shù)小于10； 其中________是必然事件；________是不可能事件；________是隨機(jī)事件． 解析：200件產(chǎn)品中，8件是二級品，現(xiàn)從中任意選出9件，當(dāng)然不可能全是二級品，不是一級品的件數(shù)最多為8，小于10. 答案：③④?、凇、? 8．下列說法： ①一年按365天計算，兩名學(xué)生的生日相同的概率是； ②甲乙兩人做游戲：拋一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)，甲勝，向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)，乙勝，這種游戲是公平的； ③乒乓球比賽前，決定誰先發(fā)球，抽簽方法是從1～10共10個數(shù)字中各抽取1個，再比較大小，這種抽簽方法是公平的； ④昨天沒有下雨，則說明昨天氣象局的天氣預(yù)報“降水概率為90%”是錯誤的． 其中正確的有________(填序號)． 解析：對于②，甲勝、乙勝的概率都是，是公平的；對于④，降水概率為90%只說明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故④錯誤． 答案：①②③ 三、解答題 9．高一(2)班有50名同學(xué)，其中男、女各25人，今有這個班的一個學(xué)生在街上碰到一位同班同學(xué)，試問：碰到異性同學(xué)的概率大還是碰到同性同學(xué)的概率大？有人說可能性一樣大，這種說法對嗎？ 解：這種說法不正確．這個同學(xué)在街上碰到的同班同學(xué)是除了自己以外的49個人中的一個，其中碰到同性同學(xué)有24種可能，碰到異性同學(xué)有25種可能，每碰到一個同學(xué)相當(dāng)于做了一次試驗(yàn)，因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果是隨機(jī)的，所以碰到異性同學(xué)的可能性大，碰到同性同學(xué)的可能性?。? 10．某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1 000支，該公司對這些燈管的使用壽命(單位：小時)進(jìn)行了統(tǒng)計，統(tǒng)計結(jié)果如下表所示： 分組 [500，900) [900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞) 頻數(shù) 48 121 208 223 193 165 42 頻率 (1)將各組的頻率填入表中； (2)根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，估計燈管使用壽命不足1 500小時的概率． 解：(1)頻率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042. (2)樣本中壽命不足1 500小時的頻數(shù)是 48＋121＋208＋223＝600， 所以樣本中壽命不足1 500小時的頻率是＝0.6，即燈管使用壽命不足1 500小時的概率約為0.6.