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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 1.3空間向量基本定理 蘇教版選修2-1 課時(shí)目標(biāo)　1.掌握空間向量基本定理.2.能正確選擇合適基底，并正確表示空間向量． 1．空間向量基本定理 如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得______________________． 由此可知，如果三個(gè)向量e1，e2，e3不共面，那么空間的每一個(gè)向量組成的集合就是________________________________．這個(gè)集合可看作是由向量e1，e2，e3生成的，我們把__________叫做空間的一個(gè)基底，____________都叫做基向量．空間任何三個(gè)不共面的向量都可構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 2．正交基底與單位正交基底 如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量是______________，那么這個(gè)基底叫做正交基底，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是______________時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，通常用____________表示． 3．推論 設(shè)O，A，B，C是__________的四點(diǎn)，則對(duì)空間任意一點(diǎn)P，都存在惟一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得______________________． 一、填空題 1．若存在實(shí)數(shù)x、y、z，使＝x＋y＋z成立，則下列判斷正確的是________．(寫出正確的序號(hào)) ①對(duì)于某些x、y、z的值，向量組{，，}不能作為空間的一個(gè)基底； ②對(duì)于任意的x、y、z的值，向量組{，，}都不能作為空間的一個(gè)基底； ③對(duì)于任意的x、y、z的值，向量組{，，}都能作為空間的一個(gè)基底； ④根據(jù)已知條件，無(wú)法作出相應(yīng)的判斷． 2.設(shè)O-ABC是四面體，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點(diǎn)，且＝x＋y＋z，則(x，y，z)為_(kāi)___________． 3．在以下3個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是________． ①三個(gè)非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b，c共面； ②若兩個(gè)非零向量a，b與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則a，b共線； ③若a，b是兩個(gè)不共線向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則{a，b，c}構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 4．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個(gè)基底的是________．(寫出符合要求的序號(hào)) ①a,2b,3c； ②a＋b，b＋c，c＋a； ③a＋2b,2b＋3c,3a－9c； ④a＋b＋c，b，c. 5．已知點(diǎn)A在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j(luò)＋k，c＝k＋i，則點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)是______________． 6．下列結(jié)論中，正確的是________．(寫出所有正確的序號(hào)) ①若a、b、c共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ②若a、b、c不共面，則不存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ③若a、b、c共面，b、c不共線，則存在實(shí)數(shù)x，y，使a＝xb＋yc； ④若a＝xb＋yc，則a、b、c共面． 7.如圖所示，空間四邊形OABC中，＝a，＝b，＝c，點(diǎn)M在OA上且OM＝MA，BN＝NC，則＝__________________. 8．命題：①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線；②向量a、b、c共面，則它們所在的直線也共面；③若a與b共線，則存在惟一的實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.上述命題中的真命題的個(gè)數(shù)是________． 二、解答題 9．已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，那么向量a＋b，b＋c，c＋a能構(gòu)成空間的一個(gè)基底嗎？為什么？ 10. 如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)． （1）化簡(jiǎn)：－－； (2)設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)且＝，若＝x＋y＋z，試求x、y、z的值． 能力提升 11. 如圖所示，已知平行六面體ABCD—A′B′C′D′. 求證：＋＋＝2. 12.如圖所示，空間四邊形OABC中，G、H分別是△ABC、△OBC的重心，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用向量a、b、c表示向量. 1．空間的一個(gè)基底是空間任意三個(gè)不共面的向量，空間的基底可以有無(wú)窮多個(gè)．一個(gè)基底是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成的一個(gè)向量組，一個(gè)基向量指一個(gè)基底的某一個(gè)向量． 2．利用向量解決立體幾何中的一些問(wèn)題時(shí)，其一般思路是將要解決的問(wèn)題用向量表示，用已知向量表示所需向量，對(duì)表示出的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，最后再將運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為要解決的問(wèn)題． 3．1.3　空間向量基本定理 知識(shí)梳理 1．p＝xe1＋ye2＋ze3　{p|p＝xe1＋ye2＋ze3，x，y，z∈R}　{e1，e2，e3}　e1，e2，e3 2．兩兩互相垂直　單位向量　{i，j，k} 3．不共面?。絰＋y＋z 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．① 解析　當(dāng)，，共面時(shí)，則，，共面，故不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底． 2．(，，) 解析　因?yàn)椋剑?＋) ＝＋[(＋)] ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋， 而＝x＋y＋z， 所以x＝，y＝，z＝. 3．2 解析　命題①，②是真命題，命題③是假命題． 4．①②④ 解析　∵－3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0， ∴3a－9c＝3(a＋2b)－3(2b＋3c)， 即三向量3a－9c，a＋2b,2b＋3c共面． 5．(12,14,10) 解析　設(shè)點(diǎn)A在基底{a，b，c}下對(duì)應(yīng)的向量為p， 則p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i ＝12i＋14j＋10k，故點(diǎn)A在基底{i，j，k}下的坐標(biāo)為(12,14,10)． 6．②③④ 解析　要注意共面向量定理給出的一個(gè)充要條件．所以第②個(gè)命題正確．但定理的應(yīng)用又有一個(gè)前提：b、c是不共線向量，否則即使三個(gè)向量a、b、c共面，也不一定具有線性關(guān)系，故①不正確，③④正確． 7．－a＋b＋c 8．0 9．解　假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面， 則存在實(shí)數(shù)λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)， ∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}為基底，∴a，b，c不共面． ∴此方程組無(wú)解． ∴a＋b，b＋c，c＋a不共面． ∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作為空間的一個(gè)基底． 10．解　(1)∵＋＝， ∴－－＝－(＋)＝－＝－＝. (2)∵＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋＋ ＝－－， ∴x＝，y＝－，z＝－. 11．證明　因?yàn)槠叫辛骟w的六個(gè)面均為平行四邊形， 所以＝＋，＝＋， ＝＋. 所以＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝2(＋＋)． 又因?yàn)椋?，＝? 所以＋＋＝＋＋ ＝＋＝， 故＋＋＝2. 12．解?。剑撸?， ∴＝(＋)＝(b＋c)， ＝＋＝＋ ＝＋(－) ＝＋(＋) ＝a＋(b＋c)， ∴＝(b＋c)－a－(b＋c)＝－a， 即＝－a.