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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)提升 蘇教版選修2-1 1．空間向量 (1)空間向量的知識(shí)脈絡(luò)： 向量的概念→向量的運(yùn)算→基本定理→直角坐標(biāo)系→向量的坐標(biāo)運(yùn)算→應(yīng)用． (2)空間向量的概念： ①定義：具有大小和方向的量稱為向量；②向量相等：長度相等且方向相同． (3)空間向量的運(yùn)算： ①加法法則：平行四邊形法則，三角形法則； ②減法法則：三角形法則； ③向量的數(shù)量積：ab＝|a||b|cosθ(θ為a與b的夾角)． (4)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算： 若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則 ①加減法：ab＝(x1x2，y1y2，z1z2)； ②實(shí)數(shù)與向量積：λa＝(λx1，λy1，λz1)； ③數(shù)量積：ab＝x1x2＋y1y2＋z1z2； ④a的模：|a|＝. (5)空間向量的夾角及其表示： 已知兩非零向量a、b，在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作〈a，b〉；且規(guī)定0≤〈a，b〉≤π，顯然有〈a，b〉＝〈b，a〉；若〈a，b〉＝，則稱a與b互相垂直，記作a⊥b.令a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則cos〈a，b〉＝＝. (6)空間向量平行、垂直的條件： ①兩向量垂直：a⊥b?ab＝0； ②兩向量平行：a∥b?b＝λa(a為非零向量)． (7)空間向量基本定理： 如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使p＝xa＋yb＋zc. (8)空間共面向量定理： 如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量c與向量a、b共面的充要條件是存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使c＝xa＋yb. 2．平面的法向量 若向量a所在直線垂直于平面α，則稱這個(gè)向量垂直于平面α，記作a⊥α，如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量． 3．用空間向量處理立體幾何問題的常用方法 (1)證明空間的平行 證明直線與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；證明平面與平面平行，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量平行． 證明直線和平面平行，也可以使用下面的定理： 如圖①，已知直線a?平面α，A，B∈a，C，D∈α，且C、D、E三點(diǎn)不共線，則a∥α的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)λ，μ使＝λ＋μ. 使用此定理時(shí)，我們常設(shè)＝λ＋μ，求λ，μ；若λ，μ存在即可證明a∥α；若λ，μ不存在，則直線a與平面α相交． 　　圖①　　　　　　　圖②　　　　　　　圖③ (2)證明空間的垂直 證明直線與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線；證明平面與平面垂直，可轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直． (3)求空間的角 立體幾何中的角的計(jì)算，均可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量的夾角的計(jì)算： ①異面直線所成角即為異面直線上兩向量的夾角，但要注意向量的夾角范圍是[0，π]，而異面直線所成角的范圍是(0，]． ②平面的斜線的方向向量與平面法向量的夾角余弦的絕對(duì)值等于該斜線與平面所成角的正弦，由此可求斜線與平面所成的角． ③如圖②，設(shè)n1，n2分別是二面角αlβ中平面α，β的法向量，則n1，n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角． (4)求空間的距離 兩平行平面間的距離、直線與平面的距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離；利用法向量可求點(diǎn)到平面的距離：如圖③，設(shè)n是平面α的法向量，AB是平面α的一條射線，其中A∈α，則點(diǎn)B到平面α的距離為. 題型一　空間向量及其運(yùn)算 空間向量的運(yùn)算主要包括空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算以及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．空間向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律與平面向量基本一致．主要考查空間向量的共線與共面以及數(shù)量積運(yùn)算，這是用向量法求解立體幾何問題的基礎(chǔ)． 例1　沿著正四面體OABC的三條棱、、的方向有大小等于1、2和3的三個(gè)力f1，f2，f3.試求此三個(gè)力的合力f的大小以及此合力與三條棱所夾角的余弦值． 解　如圖所示，用a，b，c分別代表棱、、上的三個(gè)單位向量， 則f1＝a，f2＝2b，f3＝3c， 則f＝f1＋f2＋f3＝a＋2b＋3c， ∴|f|2＝(a＋2b＋3c)(a＋2b＋3c) ＝|a|2＋4|b|2＋9|c|2＋4ab＋6ac＋12bc ＝14＋4cos60＋6cos60＋12cos60 ＝14＋2＋3＋6＝25， ∴|f|＝5，即所求合力的大小為5. 且cos〈f，a〉＝＝ ＝＝， 同理可得：cos〈f，b〉＝，cos〈f，c〉＝. 跟蹤演練1　如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論：①＋＋＋＝0；②＋－－＝0；③－＋－＝0；④＝；⑤＝0，其中正確結(jié)論的序號(hào)是________． 答案?、邰? 解析　容易推出：－＋－＝＋＝0，所以③正確；又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以＝22cos∠ASB，＝22cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是＝，因此④正確，其余三個(gè)都不正確，故正確結(jié)論的序號(hào)是③④. 題型二　利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系 向量作為工具來研究幾何，真正把幾何的形與代數(shù)中的數(shù)實(shí)現(xiàn)了有機(jī)結(jié)合；給立體幾何的研究帶來了極大的便利，利用空間向量可以方便地論證空間中的一些線面位置關(guān)系，如線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直等． 例2　正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：平面AED⊥平面A1FD1. 證明　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 設(shè)正方體棱長為1， 則E(1,1，)、D1(0,0,1)、 F(0，，0)、A(1,0,0)． ∴＝(1,0,0)＝，＝(1,1，)，＝(0，，－1)． 設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個(gè)法向量， 由? 令y1＝1，得m＝(0,1，－2)． 又由? 令z2＝1，得n＝(0,2,1)． ∵mn＝(0,1，－2)(0,2,1)＝0， ∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1. 跟蹤演練2　如圖，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，AC＝BC＝BB1. 求證：(1)BC1⊥AB1； (2)BC1∥平面CA1D. 證明　如圖，以C1為原點(diǎn)，分別以C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，則A(2，0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2，0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)， D(1,1,2)． (1)由于＝(0，－2，－2)， ＝(－2,2，－2)， 因此＝0－4＋4＝0， 因此⊥，故BC1⊥AB1. (2)取A1C的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，由于E(1,0,1)， 所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)， 所以＝－，又ED和BC1不共線， 所以ED∥BC1， 又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D， 故BC1∥平面CA1D. 題型三　利用空間向量求空間角 1．求異面直線所成的角 設(shè)兩異面直線的方向向量分別為n1、n2，那么這兩條異面直線所成的角為θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉， ∴cosθ＝|cos〈n1，n2〉|. 2．求斜線與平面所成的角 如圖，設(shè)平面α的法向量為n1，斜線OA的方向向量為n2，斜線OA與平面所成的角為θ，則sinθ＝|cos〈n1，n2〉|. 3．求二面角的大小 如圖，設(shè)平面α、β的法向量分別為n1、n2.因?yàn)閮善矫娴姆ㄏ蛄克傻慕?或其補(bǔ)角)就等于平面α、β所成的銳二面角θ，所以cosθ＝|cos〈n1，n2〉|. 例3　如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D為AB的中點(diǎn)． (1)求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離； (2)若AB1⊥A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值． 解　(1)由AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AA1∩AB＝A，故CD⊥面A1ABB1，所以點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離為CD＝＝. (2)如圖，過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 設(shè)直三棱柱的高為h，則A(－2,0,0)，A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0，，0)，C1(0，，h)，從而＝(4,0，h)，＝(2，，－h(huán))， 由⊥，有8－h(huán)2＝0，h＝2. 故＝(－2,0,2)， ＝(0,0,2)，＝(0，，0)． 設(shè)平面A1CD的法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則m⊥，m⊥，即 取z1＝1，得m＝(，0,1)． 設(shè)平面C1CD的法向量為n＝(x2，y2，z2)， 則n⊥，n⊥，即 取x2＝1，得n＝(1,0,0)，所以cos〈m，n〉＝＝＝. 所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值為. 跟蹤演練3　如圖，正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，M是CE與AD的交點(diǎn)，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求證：AM⊥平面EBC； (2)求直線AB與平面EBC所成角的大??； (3)求二面角A—EB—C的大?。? (1)證明　∵四邊形ACDE是正方形， ∴EA⊥AC， ∵平面ACDE⊥平面ABC， ∴EA⊥平面ABC. ∴可以以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以過A點(diǎn)平行于BC的直線為x軸，分別以AC和AE所在直線為y軸和z軸， 建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz. 設(shè)EA＝AC＝BC＝2，則A(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)， E(0,0,2)．∵M(jìn)是正方形ACDE的對(duì)角線的交點(diǎn)， ∴M(0,1,1)． ∵＝(0,1,1)，＝(0,2,0)－(0,0,2)＝(0,2，－2)，＝(2,2,0)－(0,2,0)＝(2,0,0)， ∴＝0，＝0.∴AM⊥EC，AM⊥CB. 又∵EC∩CB＝C，∴AM⊥平面EBC. (2)解　∵AM⊥平面EBC，∴為平面EBC的一個(gè)法向量．∵＝(0,1,1)，＝(2,2,0)， ∴cos〈，〉＝＝.∴〈，〉＝60. ∴直線AB與平面EBC所成的角為30. (3)解　設(shè)平面EAB的法向量為n＝(x，y，z)， 則n⊥且n⊥，∴n＝0且n＝0. ∴　即 取y＝－1，∴x＝1.∴n＝(1，－1,0)． 又∵為平面EBC的一個(gè)法向量，且＝(0,1,1)， ∴cos〈n，〉＝＝－. 設(shè)二面角A—EB—C的平面角為θ，由圖可知θ為銳角， 則cosθ＝|cos〈n，〉|＝，∴θ＝60. ∴二面角AEBC等于60. 空間向量的引入為空間幾何問題的解決提供了新的思路，作為解決空間幾何問題的重要工具，對(duì)空間向量的考查往往滲透于立體幾何問題解決的過程之中，成為高考必考的熱點(diǎn)之一． 1．高考對(duì)本章的考查重點(diǎn)是空間線面之間的位置關(guān)系的證明與探究；空間中的線線角、線面角以及二面角的求解；空間中簡單的點(diǎn)點(diǎn)距和點(diǎn)面距的求解．給出位置關(guān)系、角度或距離探求點(diǎn)的存在性問題在近幾年考查中已有體現(xiàn)．題目主要以解答題的形式給出，兼顧傳統(tǒng)的立體幾何的求解方法，主要考查空間向量在解決立體幾何中的應(yīng)用，滲透空間向量的基本概念和運(yùn)算． 2．空間向量的引入為解決空間幾何問題提供了一種新的思路，它使空間幾何體也具備了“數(shù)字化”的特征，從而把空間線面關(guān)系的邏輯推理證明與空間角、距離的求解 變成了純粹的數(shù)字運(yùn)算問題，降低了思維的難度，成為高考必考的熱點(diǎn)．考查的重點(diǎn)是結(jié)合空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查空間角與距離的求解，其中二面角是歷年高考命題的熱點(diǎn)，多為解答題． 3．對(duì)利用向量處理平行和垂直問題的考查，主要解決立體幾何中有關(guān)垂直和平行判斷的一些命題．對(duì)于垂直，主要利用a⊥b?ab＝0進(jìn)行證明．對(duì)于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明．二是對(duì)利用向量處理角度問題的考查，利用向量求夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)，其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量的夾角，而求兩個(gè)向量的夾角則可以利用公式cosθ＝進(jìn)行計(jì)算．