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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 弧度制教案2 新人教A版必修4 教學(xué)目的： 1．鞏固弧度制的理解，熟練掌握角度弧度的換算；掌握用弧度制表示的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式． 2．培養(yǎng)運(yùn)用弧度制解決具體的問(wèn)題的意識(shí)和能力 3．通過(guò)弧度制的學(xué)習(xí)，理解并認(rèn)識(shí)到角度制與弧度制都是對(duì)角度量的方法，二者是辯證統(tǒng)一的，而不是孤立、割裂的關(guān)系． 教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用弧度制解決具體的問(wèn)題． 教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用弧度制解決具體的問(wèn)題． 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1． 定義：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角。它的單位是rad 讀作弧度，這種用“弧度”做單位來(lái)度量角的制度叫做弧度制． 如下圖，依次是1rad ， 2rad ， 3rad ，αrad 探究： ⑴平角、周角的弧度數(shù)，（平角=p rad、周角=2p rad） ⑵正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0 ⑶角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值 （為弧長(zhǎng)，為半徑） ⑷角度制、弧度制度量角的兩種不同的方法，單位、進(jìn)制不同，就像度量長(zhǎng)度一樣有不同的方法，千米、米、厘米與丈、尺、寸，反映了事物本身不變，改變的是不同的觀察、處理方法，因此結(jié)果就有所不同。 ⑸用角度制和弧度制來(lái)度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0） 用角度制和弧度制來(lái)度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。 2. 角度制與弧度制的換算： ∵ 360=2p rad ∴180=p rad ∴ 1= 在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad”可以省略 3．一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記住： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π 4．應(yīng)確立如下的概念：角的概念推廣之后，無(wú)論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 正角 零角 負(fù)角 正實(shí)數(shù) 零 負(fù)實(shí)數(shù) 任意角的集合 實(shí)數(shù)集R 5．初中學(xué)過(guò)的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式：； 二、講解新課： 1．弧長(zhǎng)公式： 由公式： 比公式簡(jiǎn)單 弧長(zhǎng)等于弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對(duì)值與半徑的積 2．扇形面積公式 其中是扇形弧長(zhǎng)，是圓的半徑。 證：如圖：圓心角為1rad的扇形面積為： 弧長(zhǎng)為的扇形圓心角為 ∴ 比較這與扇形面積公式 要簡(jiǎn)單 三、講解范例： 例1．求圖中公路彎道處弧AB的長(zhǎng)（精確到1m）圖中長(zhǎng)度單位為：m 解： ∵ ∴ 例2．已知扇形的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。 解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為，則有 o A B ∴ 扇形的面積 例3 計(jì)算和 解：∵ ∴ ∴ 例4 將下列各角化成0到的角加上的形式 ⑴ ⑵ 解： 例5 直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對(duì)的弧長(zhǎng) ⑴ ⑵ 解： ⑴ ⑵ ∴ 例6 已知扇形周長(zhǎng)為10cm，面積為6cm2，求扇形中心角的弧度數(shù)． 解：設(shè)扇形中心角的弧度數(shù)為α(0<α<2π)，弧長(zhǎng)為l，半徑為r， 由題意： ∴ 或 ∴ =3 或 四、課堂練習(xí)： 1.圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，而弧長(zhǎng)也增加到原來(lái)的2倍，則( ) A.扇形的面積不變 B.扇形的圓心角不變 C.扇形的面積增大到原來(lái)的2倍 D.扇形的圓心角增大到原來(lái)的2倍 2.時(shí)鐘經(jīng)過(guò)一小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)了( ) A. rad B.－ rad C. rad D.－rad 3.一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)是4R，則這個(gè)扇形所含弓形的面積是( ) 4.圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的，而弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)的圓心角是原來(lái) 的 倍. 5.若α＝－216，l＝7π，則ｒ＝ (其中扇形的圓心角為α，弧長(zhǎng)為l，半徑為r). 6.在半徑為的圓中，圓心角為周角的的角所對(duì)圓弧的長(zhǎng)為 . 參考答案：1.B 2.B 3.D 4.2 5. 6.40 五、回顧小結(jié)：用弧度制表示的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式． 六、課后作業(yè)：書第10頁(yè) № 8,9 1.兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1∶2，則兩個(gè)扇形周長(zhǎng)的比為( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶ D.1∶8 2.在半徑為1的單位圓中，一條弦AB的長(zhǎng)度為，則弦AB所對(duì)圓心角α是( ) A.α＝ B.α＜ C.α＝ D.α＝120 3.下列命題中正確的命題是( ) A.若兩扇形面積的比是1∶4，則兩扇形弧長(zhǎng)的比是1∶2 B.若扇形的弧長(zhǎng)一定，則面積存在最大值 C.若扇形的面積一定，則弧長(zhǎng)存在最小值 D.任意角的集合可以與實(shí)數(shù)集R之間建立一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 4.時(shí)鐘從6時(shí)50分走到10時(shí)40分，這時(shí)分針旋轉(zhuǎn)了 弧度. 5.已知扇形AOB的面積是1 cm2，它的周長(zhǎng)是4 cm，則弦AB的長(zhǎng)等 于 cm. 6.已知扇形AOB的圓心角為120，半徑為6，則扇形所含弓形的面積為 . 7.2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，求此圓心角所夾扇形的面積. 8.扇形的面積一定，問(wèn)它的中心角α取何值時(shí)，扇形的周長(zhǎng)L最小? 9.在時(shí)鐘上，自零時(shí)刻到分針與時(shí)針第一次重合，分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)角的弧度數(shù)是多少? 參考答案：1.C 2.C 3.D 4.－ 5.2sin1 6.12π－9 7. 8.2 9.－ 七、板書設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：用下面問(wèn)題作分析問(wèn)題和化歸思想的訓(xùn)練 一個(gè)扇形OAB的面積是1平方厘米，它的周長(zhǎng)是4厘米，求∠AOB和弦AB的長(zhǎng). 分析：欲求∠AOB，需要知AB的長(zhǎng)和半徑OA的長(zhǎng)，用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，結(jié)合已知條件，能比較容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的長(zhǎng).作OM⊥AB交AB于M，則，在Rt△AMO中求AM. 答案：∠AOB＝2 rad，AB＝2sin1 cm.