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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.2 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)教案 北師大選修1-1 一、復(fù)習(xí)引入： 名 稱 橢 圓 雙 曲 線 圖 象 定 義 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的和為常數(shù)（大于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓。即 當(dāng)2﹥2時(shí)，軌跡是橢圓， 當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是一條線段 當(dāng)2﹤2時(shí)，軌跡不存在 平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。即 當(dāng)2﹤2時(shí)，軌跡是雙曲線 當(dāng)2=2時(shí)，軌跡是兩條射線 當(dāng)2﹥2時(shí)，軌跡不存在 標(biāo)準(zhǔn)方 程 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：是根據(jù)分母的大小來(lái)判斷焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 焦點(diǎn)在軸上時(shí)： 注：是根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)判斷焦點(diǎn)所 在的位置 常數(shù)的關(guān) 系 （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） ， 最大， （符合勾股定理的結(jié)構(gòu)） 最大，可以 二、講解新課： 1．范圍、對(duì)稱性 由標(biāo)準(zhǔn)方程可得，當(dāng)時(shí)，y才有實(shí)數(shù)值；對(duì)于y的任何值，x都有實(shí)數(shù)值 這說(shuō)明從橫的方向來(lái)看，直線x=-a,x=a之間沒(méi)有圖象，從縱的方向來(lái)看，隨著x的增大，y的絕對(duì)值也無(wú)限增大，所以曲線在縱方向上可無(wú)限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線 雙曲線不封閉，但仍稱其對(duì)稱中心為雙曲線的中心 2．頂點(diǎn) 頂點(diǎn)： 特殊點(diǎn)： 實(shí)軸：長(zhǎng)為2a, a叫做半實(shí)軸長(zhǎng) 虛軸：長(zhǎng)為2b，b叫做虛半軸長(zhǎng) 講述：結(jié)合圖形，講解頂點(diǎn)和軸的概念，在雙曲線方程中，令y=0得，故它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且x軸為雙曲線的對(duì)稱軸，所以與其對(duì)稱軸的交點(diǎn)，稱為雙曲線的頂點(diǎn)(一般而言，曲線的頂點(diǎn)均指與其對(duì)稱軸的交點(diǎn))，而對(duì)稱軸上位于兩頂點(diǎn)間的線段叫做雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，它的長(zhǎng)是2a. 在方程中令x=0得，這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，說(shuō)明雙曲線和Y軸沒(méi)有交點(diǎn)。但Y軸上的兩個(gè)特殊點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)在雙曲線中也有非常重要的作用 把線段叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)是2b 要特別注意不要把虛軸與橢圓的短軸混淆 雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，而橢圓則有四個(gè)頂點(diǎn)，這是兩者的又一差異 3．漸近線 過(guò)雙曲線的兩頂點(diǎn)， 作y軸的平行線，經(jīng)過(guò) 作x軸的平行線，四條直線圍 成一個(gè)矩形 矩形的兩條對(duì)角線所在 直線方程是（）， 這兩條直線就是雙曲線的漸近線 分析：要證明直線（） 是雙曲線的漸近線，即要證明 隨著X的增大，直線和曲線越來(lái)越靠攏 也即要證曲線上的點(diǎn)到直線的距離｜MQ｜ 越來(lái)越短，因此把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為計(jì)算｜MQ｜ 但因｜MQ｜不好直接求得，因此又把問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為求｜MN｜ 最后強(qiáng)調(diào)，對(duì)圓錐曲線 而言，漸近線是雙曲線具有的性質(zhì) ＝ （） 4．等軸雙曲線 a=b即實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線 結(jié)合圖形說(shuō)明：a=b時(shí)，雙曲線方程變成(或，它的實(shí)軸和都等于2a(2b)，這時(shí)直線圍成正方形，漸近線方程為 它們互相垂直且平分雙曲線的實(shí)軸和虛軸所成的角 5．共漸近線的雙曲線系 如果已知一雙曲線的漸近線方程為，那么此雙曲線方程就一定是：或?qū)懗? 6．雙曲線的草圖 利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖 具體做法是：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置，然后過(guò)這兩點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限從漸近線下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫出雙曲線的一部分，最后利用雙曲線的對(duì)稱性畫出完整的雙曲線 三、講解范例： 例1 求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和漸近線方程，并作出草圖 分析：只要緊扣有關(guān)概念和方法，就易解答 解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 由此可知，實(shí)半軸長(zhǎng)a＝1，虛半軸長(zhǎng)b＝2． 頂點(diǎn)坐標(biāo)是（－1，0），（1，0） 焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(－，0)，(，0)． 漸近線方程為，即 例2 求與雙曲線共漸近線且過(guò)的雙曲線的方程 分析：因所求的雙曲線與已知雙曲線共漸近線，故可先設(shè)出雙曲線系，再把已知點(diǎn)代入，求得K的值即可 解：設(shè)與共漸近線且過(guò)的 雙曲線的方程為 則 ，從而有 所求雙曲線的方程為 四、課堂練習(xí)： 1．下列方程中，以x2y=0為漸近線的雙曲線方程是 答案：A 2