2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案 理.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案 理 教材分析 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列的重要內(nèi)容,也是數(shù)列研究的基本問題.在現(xiàn)實(shí)生活中,等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題.等差數(shù)列的求和公式,為我們求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和提供了一種重要方法. 教材首先通過具體的事例,探索歸納出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,接著推廣到一般情況,推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.為深化對公式的理解,通過對具體例子的研究,弄清等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系,并能熟練地運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決問題.這節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)是探索掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,并能應(yīng)用公式解決一些實(shí)際問題,難點(diǎn)是前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的形成. 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生、形成的過程,培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力. 2. 理解和掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,體會等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系,并能用公式解決一些實(shí)際問題,培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力. 3. 在研究公式的形成過程中,培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方法. 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容主要涉及等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式及其應(yīng)用. 對公式的推導(dǎo),為便于學(xué)生理解,采取從特殊到一般的研究方法比較適宜,如從歷史上有名的求和例子1+2+3+……+100的高斯算法出發(fā),一方面引發(fā)學(xué)生對等差數(shù)列求和問題的興趣,另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列中任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一般方法,這樣自然地過渡到一般等差數(shù)列的求和問題.對等差數(shù)列的求和公式,要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識公式本身的結(jié)構(gòu)特征,弄清前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系.為加深對公式的理解和運(yùn)用,要強(qiáng)化對實(shí)例的教學(xué),并通過對具體實(shí)例的分析,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決問題的方法.特別是對實(shí)際問題,要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的模型,恰當(dāng)選擇公式.對于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)之間的聯(lián)系,可引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸. 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情景 1. 在200多年前,有個(gè)10歲的名叫高斯的孩子,在老師提出問題:“1+2+3+…+100=?”時(shí),很快地就算出了結(jié)果.他是怎么算出來的呢?他發(fā)現(xiàn)1+100=2+99=3+97=…=50+51=101,于是1+2+…+100=10150=5050. 2. 受高斯算法啟發(fā),你能否求出1+2+3+…+n的和. 3. 高斯的方法妙在哪里呢?這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和? 二、建立模型 1. 數(shù)列的前n項(xiàng)和定義 對于數(shù)列{an},我們稱a1+a2+…+an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an. 2. 等差數(shù)列的求和公式 (1)如何用高斯算法來推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式? 對于公差為d的等差數(shù)列{an}: Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n—1)d], ① 依據(jù)高斯算法,將Sn表示為Sn=an+(an—d)+(an—2d)+…+[an—(n—1)d]. ② 由此得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 小結(jié):這種方法稱為反序相加法,是數(shù)列求和的一種常用方法. (2)結(jié)合通項(xiàng)公式an=a1+(n—1)d,又能得怎樣的公式? (3)兩個(gè)公式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn),各反映了等差數(shù)列的什么性質(zhì)? 學(xué)生討論后,教師總結(jié):相同點(diǎn)是利用二者求和都須知道首項(xiàng)a1和項(xiàng)數(shù)n;不同點(diǎn)是前者還須要知道an,后者還須要知道d.因此,在應(yīng)用時(shí)要依據(jù)已知條件合適地選取公式.公式本身也反映了等差數(shù)列的性質(zhì):前者反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首、末兩項(xiàng)之和,后者反映了等差數(shù)的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”. 三、解釋應(yīng)用 [例 題] 1. 根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. (1)a1= —4,a8= —18,n=8. (2)a1=14.5,d=0.7,an=32. 注:恰當(dāng)選用公式進(jìn)行計(jì)算. 2. 已知一個(gè)等差數(shù)列{an}前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎? 分析:將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后,可得到兩個(gè)關(guān)于a1與d的關(guān)系式,它們都是關(guān)于a1與d的二元一次方程,由此可以求得a1與d,從而得到所求前n項(xiàng)和的公式. 解:由題意知 注:(1)教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,就是一個(gè)關(guān)于an,a1,n或者a1,n,d的方程,使學(xué)生能把方程思想和前n項(xiàng)和公式相結(jié)合,再結(jié)合通項(xiàng)公式,對a1,d,n,an及Sn這五個(gè)量知其三便可求其二. (2)本題的解法還有很多,教學(xué)時(shí)可鼓勵(lì)學(xué)生探索其他的解法.例如, 3. 2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知》.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo):從xx年起用10年的時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng).據(jù)測算,xx年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從xx年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多少? 教師引學(xué)生分析:每年“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)數(shù)構(gòu)成公差為50的等差數(shù)列.問題實(shí)質(zhì)是求該數(shù)列的前10項(xiàng)的和. 解:根據(jù)題意,從xx~xx年,該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以,可以建立一個(gè)等差數(shù)列{an},表示從xx年起各年投入的資金,其中,a1=500,d=50. 那么,到xx年(n=10),投入的資金總額為 答:從xx~xx年,該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元. 注:教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范應(yīng)用題的解題步驟. 4. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)與公差分別是什么? 解:根據(jù) 由此可知,數(shù)列{an}是一個(gè)首項(xiàng)為,公差為2的等差數(shù)列. 思考:一般地,數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(A≠0),這時(shí){an}是等差數(shù)列嗎?為什么? [練 習(xí)] 1. 一名技術(shù)人員計(jì)劃用下面的辦法測試一種賽車:從時(shí)速10km/h開始,每隔2s速度提高20km/h.如果測試時(shí)間是30s,測試距離是多長? 2. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn=n2+n+4,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3. 求集合M={m|m=2n—1,n∈N*,且m<60}的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和. 四、拓展延伸 1. 數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn為Sn=pn2+qn+r(p,q,r?yàn)槌?shù)且p≠0),則{an}成等差數(shù)列的條件是什么? 2. 已知等差數(shù)列5,4,3,…的前n項(xiàng)和為Sn,求使Sn最大的序號n的值. 分析1:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫成Sn=n2+ (a1-)n,所以Sn可以看成函數(shù)y=x2+(a1- )x(x∈N*).當(dāng)x=n時(shí)的函數(shù)值.另一方面,容易知道Sn關(guān)于n的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn).因此,我們可以利用二次函數(shù)來求n的值. 解:由題意知,等差數(shù)列5,4,3,…的公差為-,所以 于是,當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí),Sn取最大值. 分析2:因?yàn)楣睿洌?-<0,所以此數(shù)列為遞減數(shù)列,如果知道從哪一項(xiàng)開始它后邊的項(xiàng)全為負(fù)的,而它之前的項(xiàng)是正的或者是零,那么就知道前多少項(xiàng)的和最大了.即使然后從中求出n. 點(diǎn) 評 這篇案例從具體的實(shí)例出發(fā),引出等差數(shù)列的求和問題,在設(shè)計(jì)上,設(shè)計(jì)者注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望,通過等差數(shù)列求和公式的探索過程,培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的能力. 對例題、練習(xí)的安排,這篇案例注意由淺入深,完整,全面.拓展延伸的設(shè)計(jì)有新意,有深度,符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律,有利于學(xué)生理解、掌握這節(jié)內(nèi)容. 就總體而言,這篇案例體現(xiàn)了新課程的基本理念,尤其關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力.另外,這篇案例對于繼承傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)注重“雙基”、關(guān)注學(xué)生的落實(shí),同時(shí)注意著眼于學(xué)生的全面發(fā)展,有比較好的體現(xiàn)。- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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