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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第25講 平面向量的概念及運(yùn)算教案 新人教版 一．課標(biāo)要求： （1）平面向量的實(shí)際背景及基本概念 通過(guò)力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示； （2）向量的線性運(yùn)算 ①通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義； ②通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義； ③了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。 （3）平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 ①了解平面向量的基本定理及其意義； ②掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示； ③會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算； ④ 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。 二．命題走向 本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn)算等。此類題難度不大，分值5~9分。 預(yù)測(cè)07年高考： （1）題型可能為1道選擇題或1道填空題； （2）出題的知識(shí)點(diǎn)可能為以平面圖形為載體表達(dá)平面向量、借助基向量表達(dá)交點(diǎn)位置或借助向量的坐標(biāo)形式表達(dá)共線等問(wèn)題。 三．要點(diǎn)精講 1．向量的概念 ①向量 既有大小又有方向的量。向量一般用……來(lái)表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標(biāo)表示法。向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度），記作||即向量的大小，記作｜|。 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。 ②零向量 長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0。由于的方向是任意的，且規(guī)定平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問(wèn)題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件。（注意與0的區(qū)別） ③單位向量 模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，向量為單位向量｜｜＝1。 ④平行向量（共線向量） 方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作∥。由于向量可以進(jìn)行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。 數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。 ⑤相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。 2．向量的運(yùn)算 （1）向量加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。 設(shè)，則+==。 規(guī)定： （1）； （2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律； 向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則” （1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量。 （2） 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。 當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則。 向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加： ，但這時(shí)必須“首尾相連”。 （2）向量的減法 ①相反向量：與長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。 記作,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。 ②向量減法 向量加上的相反向量叫做與的差， 記作：求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。 ③作圖法：可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）。 （3）實(shí)數(shù)與向量的積 ①實(shí)數(shù)λ與向量的積是一個(gè)向量，記作λ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： （Ⅰ）； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，λ的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，，方向是任意的。 ②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。 3．兩個(gè)向量共線定理： 向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。 4．平面向量的基本定理 如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 5．平面向量的坐標(biāo)表示 （1）平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，由于與數(shù)對(duì)(x,y)是一一對(duì)應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量的坐標(biāo)，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。 規(guī)定： （1）相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量； （2）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)系。 （2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算： ①若，則； ②若，則； ③若=(x,y)，則=(x, y)； ④若，則。 四．典例解析 題型1：平面向量的概念 例1．（1）給出下列命題： ①若||＝||，則=； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若=，=，則=； ④=的充要條件是||=||且//； ⑤ 若//，//，則//； 其中正確的序號(hào)是 。 （2）設(shè)為單位向量，（1）若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則=||;(2)若與a0平行，則=||；（3）若與平行且||=1，則=。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 解析：（1）①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同； ②正確；∵ ，∴ 且， 又 A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴ 四邊形 ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則，且， 因此，。 ③正確；∵ =，∴ ，的長(zhǎng)度相等且方向相同； 又＝，∴ ，的長(zhǎng)度相等且方向相同， ∴ ，的長(zhǎng)度相等且方向相同，故＝。 ④不正確；當(dāng)//且方向相反時(shí)，即使||=||，也不能得到=，故||=||且//不是=的充要條件，而是必要不充分條件； ⑤不正確；考慮=這種特殊情況； 綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③。 點(diǎn)評(píng)：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本概念。向量的基本概念較多，因而容易遺忘。為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想。 （2）向量是既有大小又有方向的量，與||模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命題；若與平行，則與方向有兩種情況：一是同向二是反向，反向時(shí)=－||，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。 點(diǎn)評(píng)：向量的概念較多，且容易混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各概念的實(shí)質(zhì)，注意區(qū)分共線向量、平行向量、同向向量等概念。 題型2：平面向量的運(yùn)算法則 例2．（1）如圖所示，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，試用，將向量，，， 表示出來(lái)。 （2）（06上海理，13）如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ） A．＝ B．＋＝ C．－＝ D．＋＝ （3）（06廣東，4）如圖1所示，D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量（ ） A． B． C． D． （1）解析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和減法的三角形法則，用向量，來(lái)表示其他向量，只要考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。 因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，所以它的中心O及頂點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO， 所以，=＋，= =+， 由于A，B，O，F(xiàn)四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，所以=＋=+=++=2+， 同樣在平行四邊形 BCDO中，＝＝＝＋(＋)＝＋2，＝＝－。 點(diǎn)評(píng)：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用 ，表示，且可用規(guī)定其中任兩個(gè)向量為，，另外任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用，表示。 （2）C． （3），故選A。 例3．設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)： ①，②，③。 解析：①原式= ； ②原式= ； ③原式= 。 例4．設(shè)為未知向量，、為已知向量，解方程2-(5+3-4)+ -3=0 解析：原方程可化為：(2 - 3) + (-5+) + (4-3) = 0， ∴ =+ 。 點(diǎn)評(píng)：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法則，求解時(shí)兼顧到向量的性質(zhì)。 題型3：平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算 例5．已知中，A(2,－1)，B(3,2)，C(－3,1),BC邊上的高為AD，求。 解析：設(shè)D(x,y)，則 ∵ 得 所以。 例6．已知點(diǎn),試用向量方法求直線和（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)的坐標(biāo)。 解析：設(shè)，則 因?yàn)槭桥c的交點(diǎn)，所以在直線上，也在直線上。 即得，由點(diǎn)得，。 得方程組，解之得。 故直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)為。 題型4：平面向量的性質(zhì) 例7．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，回答下列問(wèn)題： （1）求滿足的實(shí)數(shù)m,n； （2）若，求實(shí)數(shù)k； （3）若滿足，且，求。 解析：（1）由題意得，所以，得。 （2）， ； （3） 由題意得，得或。 例8．已知 （1）求； （2）當(dāng)為何實(shí)數(shù)時(shí)，與平行， 平行時(shí)它們是同向還是反向？ 解析：（1）因?yàn)? 所以 則 （2）， 因?yàn)榕c平行，所以即得。 此時(shí)，，則，即此時(shí)向量與方向相反。 點(diǎn)評(píng)：上面兩個(gè)例子重點(diǎn)解析了平面向量的性質(zhì)在坐標(biāo)運(yùn)算中的體現(xiàn)，重點(diǎn)掌握平面向量的共線的判定以及平面向量模的計(jì)算方法。 題型5：共線向量定理及平面向量基本定理 例9．（xx天津文12，理10）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3，1），B（－1，3），若點(diǎn)C滿足，其中α、β∈R，且α+β=1，則點(diǎn)C的軌跡方程為（ ） A．3x+2y－11=0 B．（x－1）2+（y－2）2=5 C．2x－y=0 D．x+2y－5=0 解法一：設(shè)，則。 由得， 于是，先消去，由得。 再消去得，所以選取D。 解法二：由平面向量共線定理， 當(dāng)，時(shí)，A、B、C共線。 因此，點(diǎn)C的軌跡為直線AB，由兩點(diǎn)式直線方程得即選D。 點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示；運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的結(jié)合。 例10．（1）（06福建理，11）已知︱︱=1，︱︱=,=0,點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC=30，設(shè)=m+n(m、n∈R)，則等于（ ） A． B．3 C． D． A B O M 圖 （2）（06湖南文，10）如圖：OM∥AB，點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且，則實(shí)數(shù)對(duì)（x,y）可以是（ ） A．　　　　　B. C. D. 解析：（1）B；（2）C。 題型6：平面向量綜合問(wèn)題 例11．已知向量與的對(duì)應(yīng)關(guān)系用表示。 （1）證明：對(duì)于任意向量及常數(shù)m，n恒有成立； （2）設(shè)，求向量及的坐標(biāo)； （3）求使，（p，q為常數(shù)）的向量的坐標(biāo) 解析：（1）設(shè)，則， 故 ， ∴ （2）由已知得=（1，1），=（0，－1） （3）設(shè)=（x，y），則， ∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）。 例12．求證：起點(diǎn)相同的三個(gè)非零向量，，3－2的終點(diǎn)在同一條直線上。 證明：設(shè)起點(diǎn)為O，＝，=，＝3－2， 則=2(－)，=－，， ∵ 共線且有公共點(diǎn)A，因此，A，B，C三點(diǎn)共線， 即向量，，3－2的終點(diǎn)在同一直線上． 點(diǎn)評(píng)：（1）利用向量平行證明三點(diǎn)共線，需分兩步完成：① 證明向量平行；② 說(shuō)明兩個(gè)向量有公共點(diǎn)； ⑵用向量平行證明兩線段平行也需分兩步完成：①證明向量平行；②說(shuō)明兩向量無(wú)公共點(diǎn)。 五．思維總結(jié) 數(shù)學(xué)教材是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能的“藍(lán)本”,能力是在知識(shí)傳授和學(xué)習(xí)過(guò)程中得到培養(yǎng)和發(fā)展的。新課程試卷中平面向量的有些問(wèn)題與課本的例習(xí)題相同或相似，雖然只是個(gè)別小題，但它對(duì)學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義，教學(xué)中重視教材的使用應(yīng)有不可估量的作用。因此，學(xué)習(xí)階段要在掌握教材的基礎(chǔ)上把各個(gè)局部知識(shí)按照一定的觀點(diǎn)和方法組織成整體，形成知識(shí)體系。 學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問(wèn)題，特別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的基本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離等。由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解幾等結(jié)合起來(lái)進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn)。 （1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算； （2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件； （3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況； （4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無(wú)關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)系；