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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第四課時(shí) 弧度制教案（2） 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 理解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式，運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式解、證一些題目；使學(xué)生通過總結(jié)引入弧度制的好處，學(xué)會(huì)歸納、整理并認(rèn)識(shí)到任何新知識(shí)的學(xué)習(xí)，都會(huì)為我們解決實(shí)際問題帶來方便，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、求知欲望，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì). 教學(xué)重點(diǎn)： 角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，弧度制的簡(jiǎn)單應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn)： 弧度制的簡(jiǎn)單應(yīng)用 教學(xué)過程： 角的集合與實(shí)數(shù)集R之間是一一對(duì)應(yīng)的，即正角對(duì)應(yīng)正實(shí)數(shù)，負(fù)角對(duì)應(yīng)負(fù)實(shí)數(shù)，零角對(duì)應(yīng)0.在弧度制下，弧長(zhǎng)公式是怎樣的呢? l＝｜α｜r，其中l(wèi)表示弧長(zhǎng)，r表示圓半徑，α表示圓心角的弧度數(shù). 扇形的面積公式S＝lＲ.其中l(wèi)是扇形的弧長(zhǎng)，R是圓的半徑，在弧度制下證明，同學(xué)們是否想過在角度制下的證明，比較之，哪個(gè)方法更簡(jiǎn)便些? 能夠?qū)懗龌《戎葡律刃蔚拿娣e公式嗎?即用角的弧度數(shù)α與圓的半徑R表示扇形的面積. S＝｜α｜Ｒ2. 引入弧度制有什么好處呢? 弧度制下的弧長(zhǎng)公式比角度制下的弧長(zhǎng)公式簡(jiǎn)單，弧度制下的扇形面積公式比角度制下的扇形面積公式簡(jiǎn)單，還有一點(diǎn)，弧度表示角時(shí)，找與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)相當(dāng)方便，而角度表示角時(shí)，找與角對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)還須進(jìn)行一番計(jì)算. ［例1］已知一扇形的周長(zhǎng)為c(c＞0)，當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)為何值時(shí)，它有最大面積？并求出面積的最大值. 解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，面積為S ∵c＝2R＋l，∴R＝ (l＜c) 則S＝Rl＝l＝(cl－l2) ＝－(l2－cl)＝－(l－)2＋ ∴當(dāng)l＝時(shí)，Smax＝ 答：當(dāng)扇形的弧長(zhǎng)為 時(shí)，扇形有最大面積，扇形面積的最大值是. ［例2］一個(gè)扇形OAB的面積是1平方厘米，它的周長(zhǎng)是4厘米，求∠AOB和弦AB的長(zhǎng). 分析：欲求∠AOB，需要知道的長(zhǎng)和半徑OA的長(zhǎng)，用弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，結(jié)合已知條件，能比較容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的長(zhǎng).作OM⊥AB交AB于M，則AM＝BM＝AB，在Rt△AMO中求AM. 解：設(shè)扇形的半徑為R cm.∠AOB=α rad. 據(jù)題意 解之得 過O作OM⊥AB交AB于M. 則AM＝BM＝AB. 在Rt△AMO中，AM＝sin1，∴AB＝2sin1 故∠AOB＝2 rad.該AB的長(zhǎng)為2sin1厘米. Ⅱ.課堂練習(xí) 課本P10練習(xí) 5、6 Ⅲ.課時(shí)小結(jié) 這節(jié)課，同學(xué)們自己找到了角的集合與實(shí)數(shù)集R的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式有了深刻的理解，要把這兩個(gè)公式記下來，并在解決實(shí)際問題中靈活運(yùn)用，大家能總結(jié)出引入弧度制的好處，這點(diǎn)很好，以后的學(xué)習(xí)中，我們就是要隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加、知識(shí)的豐富，不斷總結(jié)，不斷歸納，梳理知識(shí)，編織知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，使易記、好用.特別是生丙、生戊善于聯(lián)想、積極探索的學(xué)習(xí)品質(zhì)，更是我們大家學(xué)習(xí)的榜樣，同學(xué)們這樣持之以恒的堅(jiān)持下去，我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果將會(huì)是非常出色的. Ⅳ.課后作業(yè) （一）課本P10習(xí)題 8、9、13. （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：任意角的三角函數(shù)(P12~P15) 2.預(yù)習(xí)提綱：銳角三角函數(shù)是用邊的比來定義的，任意角的三角函數(shù)是怎樣定義的? 弧度制(二) 1．一鐘表的分針長(zhǎng)10 cm，經(jīng)過25分鐘，分針的端點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的長(zhǎng)為__________cm. （ ） A.70 B. C. －4 D. 2．如果弓形的弧所對(duì)的圓心角為，弓形的弦長(zhǎng)為4 cm，則弓形的面積是_____cm2.（ ） A. －4 B. －4 C. －4 D. －2 3．設(shè)集合M＝{α|α＝kπ，k∈Z}，N＝{α|α＝kπ＋(－1)k ，k∈Z}那么下列結(jié)論中正確的是 （ ） A.M＝N B.MN C.N M D.MN且NM 4．若一圓弧長(zhǎng)等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為 （ ） A. B. C. D.2 5．已知扇形的圓心角為2 rad，扇形的周長(zhǎng)為8 cm，則扇形的面積為_________cm2. 6．圓的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，而所對(duì)弧長(zhǎng)不變，則該弧所對(duì)圓心角是原來圓弧所對(duì)圓心角 的 倍. 7．若角α的終邊與π角的終邊相同，則在［0，2π］上，終邊與角的終邊相同的角是 . 8．已知扇形AOB的圓心角α＝120，半徑r＝3，求扇形的面積. 9．1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，求這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)及圓心角所夾的扇形的面積. 10．已知扇形的周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ 弧度制(二)答案 1．D 2．C 3．C 4．C 5．4 6． 7．π π π π 8．已知扇形AOB的圓心角α＝120，半徑r＝3，求扇形的面積. 解：α＝120＝rad ∴S＝r2α＝32＝3π(面積單位） 答：扇形的面積為3π面積單位. 9．1弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，求這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)及圓心角所夾的扇形的面積. 解：由已知可得r＝, ∴l(xiāng)＝rα＝ S扇＝lr＝r2α＝＝ 10．已知扇形的周長(zhǎng)為20 cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ 解：∵l＝20－2r ∴S＝lr＝ (20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25 ∴當(dāng)半徑r＝5 cm時(shí)，扇形的面積最大為25 cm2 此時(shí)，α＝＝＝2(rad)