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2019-2020年高中數學《函數的單調性》教學設計新人教版必修1 【教學目標】 1．使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證明函數單調性的方法． 2．通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力． 3．通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程． 【教學重點】函數單調性的概念、判斷及證明． 【教學難點】歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性． 【教學方法】教師啟發(fā)講授，學生探究學習． 【教學手段】計算機、投影儀． 【教學過程】 一、創(chuàng)設情境，引入課題 課前布置任務： (1) 由于某種原因，xx年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. (2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況. 課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事. 下圖是北京市今年8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖. 　　　　　　　 引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考． 問題：觀察圖形，能得到什么信息？ 預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到； (2)在某時刻的溫度； (3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低. 在生活中，我們關心很多數據的變化規(guī)律，了解這些數據的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的． 問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？ 預案：水位高低、燃油價格、股票價格等． 歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小． 〖設計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣． 二、歸納探索，形成概念 對于自變量變化時，函數值是變大還是變小，初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義. 1．借助圖象，直觀感知 問題1：分別作出函數的圖象，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變化規(guī)律？ 　　　　　　 預案：(1)函數在整個定義域內 y隨x的增大而增大；函數在整個定義域內 y隨x的增大而減?。? (2)函數在上 y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減?。? (3)函數在上 y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小． 引導學生進行分類描述 (增函數、減函數)．同時明確函數的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，是函數的局部性質． 問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數? 預案：如果函數在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數在該區(qū)間上為增函數；如果函數在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數在該區(qū)間上為減函數． 教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識． 〖設計意圖〗從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識． 2．探究規(guī)律，理性認識 問題1：下圖是函數的圖象,能說出這個函數分別在哪個區(qū)間為增函數和減函數嗎？ 　　　　　　　　　　　　　 學生的困難是難以確定分界點的確切位置． 通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究． 〖設計意圖〗使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性． 問題2：如何從解析式的角度說明在為增函數？ 預案： (1) 在給定區(qū)間內取兩個數，例如1和2，因為12<22,所以在為增函數． (2) 仿(1)，取很多組驗證均滿足，所以在為增函數． (3) 任取,因為,即，所以在為增函數． 對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析,使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內任意取兩個自變量． 〖設計意圖〗把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度,完成對概念的第二次認識．事實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊. 3．抽象思維，形成概念 問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎? 師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義． (1)板書定義 (2)鞏固概念 判斷題： ①． ②若函數． ③若函數在區(qū)間和(2,3)上均為增函數，則函數在區(qū)間(1,3)上為增函數． ④因為函數在區(qū)間上都是減函數，所以在上是減函數. 通過判斷題，強調三點： ①單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性． ②對于某個具體函數的單調區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數)，可以是定義域內某個區(qū)間(如二次函數)，也可以根本不單調(如常函數)． ③函數在定義域內的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增（或減）函數． 思考：如何說明一個函數在某個區(qū)間上不是單調函數? 〖設計意圖〗讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識. 三、掌握證法，適當延展 例 證明函數在上是增函數． 1．分析解決問題 針對學生可能出現(xiàn)的問題，組織學生討論、交流． 證明：任取, 　　　　　　　設元 　　　　　　　　　　　求差 　　　　　　　　　　變形　　 , 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　斷號 ∴ ∴即 ∴函數在上是增函數．　　　　　定論 2．歸納解題步驟 引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． 練習：證明函數在上是增函數． 問題：要證明函數在區(qū)間上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對任意的，且有可以嗎? 引導學生分析這種敘述與定義的等價性．讓學生嘗試用這種等價形式證明函數在上是增函數． 〖設計意圖〗初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟．等價形式進一步發(fā)展可以得到導數法，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆． 四、歸納小結，提高認識 學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結． 1．小結 (1) 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論． (3) 數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等． 2．作業(yè) 書面作業(yè)：課本第60頁習題2.3 第4，5，6題． 課后探究： (1) 證明：函數在區(qū)間上是增函數的充要條件是對任意的，且有． (2) 研究函數的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖． 《函數的單調性》教學設計說明 一、教學內容的分析 函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據． 對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（1）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的．根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點． 二、教學目標的確定 根據本課教材的特點、教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平，從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成． 三、教學方法和教學手段的選擇 本節(jié)課是函數單調性的起始課，采用教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法．本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點，為學生提供直觀感性的材料，有助于學生對問題的理解和認識． 四、教學過程的設計 為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施： （1）在探索概念階段, 讓學生經歷從直觀到抽象、從特殊到一般、從感性到理性的認知過程，完成對單調性定義的三次認識,使得學生對概念的認識不斷深入． （2）在應用概念階段,通過對證明過程的分析，幫助學生掌握用定義證明函數單調性的方法和步驟． （3）考慮到我校學生數學基礎較好、思維較為活躍的特點，對判斷方法進行適當的延展，加深對定義的理解，同時也為用導數研究單調性埋下伏筆．