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第十二講 數(shù)列的概念 一． 知識歸納 1.數(shù)列的有關(guān)概念 （1） 數(shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是有序的。數(shù)列是定義在自然數(shù)N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函數(shù)。 （2） 通項公式：數(shù)列的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個公式來表示，這個公式即是該數(shù)列的通項公式。 （3） 遞推公式：已知數(shù)列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與他的前一項an-1（或前幾項）可以用一個公式來表示，這個公式即是該數(shù)列的遞推公式。 2．?dāng)?shù)列的表示方法 （1） 列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n, an）孤立點表示。 （3） 解析法：用通項公式表示。 （4）遞推法。 3．?dāng)?shù)列的分類 4．?dāng)?shù)列{an}及前n項和之間的關(guān)系: 二． 例題講解 例1根據(jù)下面數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的通項公式。 （1）3，5，9，17，33; （2）-2/3，4/15，-6/35，8/63，-10/99; （3）0，1，0，1，…; (4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…. 解：（1） （2） （3） （4） 點評：1.遇到該類題型，一要觀察仔細(xì)，全面，二要靈活，有時必須對式子進(jìn)行變形，化簡才能得到規(guī)律。 2．熟記一些常見數(shù)列的通項公式：如{n}，{n2}，冪數(shù)列{2n},{3n},符號數(shù)列{(-1)n}。 3．并非任何數(shù)列均有通項公式，而且有些有通項公式的數(shù)列其通項公式不唯一。 4．變形、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是由已知認(rèn)識未知，將未知轉(zhuǎn)化為已知的重要思維方法。 變式：寫出下面數(shù)列的通項公式，使得它的前前四項是下列各數(shù)： （1）1，3，6，10 （2）11，103，1005，10007 (3) 5,55,555,5555 答案：1）； 2）； 3） 例2 已知下面數(shù)列的前n項和Sn, 求數(shù)列{an}的通項公式。 （1）Sn=3n2-2n （2）Sn=3n+1 解：（1）當(dāng)n=1時，a1=S1=1 當(dāng)n≥2時an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5 由當(dāng)n=1時， a1=1,故數(shù)列通項公式是an=6n-5。 （2）當(dāng)n=1時，a1=S1=4 當(dāng)n≥2時an=Sn-Sn-1=(3n+1)- (3n-1+1)=23n-1 由當(dāng)n=1時， a1=231-1=2≠4,故數(shù)列通項公式是。 點評：給出數(shù)列的前n項和公式Sn一定可以求出數(shù)列的通項公式an，但是注意n=1的情況不要忘記.有時公式可以統(tǒng)一給出，有時則只能分開寫。 變式一：已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2-5n+4則n為何值時，an有最小值？并求此時的最小值。（n=2或3時an最小值為-2）。 變式二：已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+pn,已知數(shù)列{bn}的前n項和Sn/=3n2-2n. (1) 若a10=b10，求p的值。（2）取數(shù)列{bn}的第1項，第3項，第5項，。。。構(gòu)成數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式。（p=36,cn=12n-11.） 例3已知數(shù)列{an}中，，滿足下列遞推關(guān)系，求an。 （1）（2）（3） 解答：（1）a1=1,an+1=an+2n 當(dāng)n≥2時a2-a1=21, a3-a2=22, a4-a3=23,…, an-an-1=2n-1 以上n-1個等式兩邊相加，得 又a1=1也符合上式， ∴an=2n-1 (2) a1=1,an+1=an ，∴當(dāng)n≥2時 …， 以上n-1個等式兩邊相乘，得 又也符合上式，∴ (3) ∵a1=2,an+1=2an+1 ∴設(shè)一個未知數(shù)x滿足an+1+x=2(an+x) ∴an+1=2an+x 又∵an+1=2an+1 令x=1, ∴an+1+1=2(an+1) 設(shè)bn+1= an+1+1,則bn= an+1，則數(shù)列{bn}是首項b1=a1+3=5公比q為2的等比數(shù)列?！郻n=32n-1 ∴an=32n-1-1 點評：在求數(shù)列的通項公式時，若是an+1=an+f(n)型；則用累加法，若是an+1=anf(n)型，則用累乘法；若是an+1=pan+q (p≠q且均不為0)，則用待定系數(shù)法。 變式：已知數(shù)列{an}中，a1=, Sn=n2an, 其中Sn是數(shù)列{an}的前n項和，求an。 （ ） 例4 已知函數(shù)f(x)=log2x-logx2(0an+1則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；若數(shù)列{an}中an=c (c是常數(shù))則數(shù)列{an}是常數(shù)列；若數(shù)列{an}中有時an≤an+1有時an≥an+1則數(shù)列{an}是擺動數(shù)列。 變式：若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且對任意的自然數(shù)n, an=n2+λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是多少？（λ=-1）。 2019-2020年高中數(shù)學(xué)《數(shù)列的概念》教案9 北師大版必修5 一、 選擇題 1． 數(shù)列2，9，23，44，72，x，149,……中的x等于 （ ) A．82 B.83 C.100 D.107 2． 數(shù)列是這個數(shù)列的 ( ) A．第6項 B.第7項 C.第19項 D.第11項 3．設(shè)數(shù)列從首項到第多少項的和最大 （ ） A．10 B.11 C.10或11 D.12 4.若數(shù)列{an}的前8 項的值各異，且對任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍數(shù)列{an}的前8項值的數(shù)列是 （ ） A． B. C. D. 5.在中，對所有的正整數(shù)都成立，且，則等于（ ） A．1 B.2/3 C.2/5 D.-1 6.已知中，的值是（ ） A．15/16 B.15/8 C.3/4 D.3/8 7.設(shè)函數(shù)f（n）滿足且f(1)=2,則f(20)= ( ) A．95 B.97 C.105 D.192 8.有窮數(shù)列1，23，26，29， …23n+6的項數(shù)是 （ ） A．3n+7 B.3n+6 C.n+3 D.n+2 二．填空題 9． ①的一個通項公式是 。 ② 數(shù)列1，2，1，2，1，2…的一個通項公式是 。 10．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+an+2,則a97= 。 11．已知數(shù)列{an}的通項公式為則在數(shù)列{an}的前30 項中最大項為 。 12．?dāng)?shù)列{an}的前 n項和Sn=2n2+3n+1則數(shù)列a1,a2+a3,a4+a5+a6,…的第八項是 。 三．解答題 14．寫出下列數(shù)列的一個通項公式： （1）2，6，12，20，30，…; (2) (3) 1,2,4,7,11; (4)1,1,2,2,3,3,… 15. 已知數(shù)列{an}的前項和是。 16．已知數(shù)列{an}的通項公式為，（1）數(shù)列中有多少項是負(fù)的？ （2）n為何值時，有最小值？并求出最小值。 17．已知函數(shù)f(x)= 滿足， （1）求的通項公式；（2）證明是遞減數(shù)列。 復(fù)習(xí)題答案 選擇題：D、B、C、B、A、C、B、C 填空題：9 或 10、1 11、 12、1048 解答題：13、 14、 15 16（1）2項 （2） n=2或n=3,最小值是2。 17．（1） （2）遞減數(shù)列