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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2．1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 第二課時(shí)教案精講 新人教A版必修1
利用函數(shù)單調(diào)性比較大小問題
[例1] 比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?
(1)1.73.5,1.73
(2)2.3－0.28,0.67－3.1
[自主解答] (1)∵指數(shù)函數(shù)y＝1.7x是增函數(shù)，而3.5>3故而1.73.5>1.73.
(2)∵y＝2.3x為增函數(shù)，
∴2.3－0.28<2.30＝1.
又∵y＝0.67x為減函數(shù)，
∴0.67－3.1>0.670＝1.
∴0.67－3.1>1>2.3－0.28，
即0.67－3.1>2.3－0.28.
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在進(jìn)行指數(shù)式的大小比較時(shí)：
(1)指數(shù)不同，底數(shù)相同，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解決；
(2)底數(shù)不同，指數(shù)也不同；采用中介值法，取a0＝1作為中介來比較．
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1．比較下列各題中兩個(gè)值的大?。?
(1)1.82.2,1.83；
(2)0.7－0.3,0.7－0.4；
(3)1.90.4,0.92.4.
解：(1)∵1.82.2,1.83可看作函數(shù)y＝1.8x的兩個(gè)函數(shù)值，
∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上為增函數(shù)，
∴1.82.2<1.83.
(2)∵y＝0.7x在R上為減函數(shù)，
又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.
(3)∵1.90.4>1.90＝1,0.92.4<0.90＝1，
∴1.90.4>0.92.4.
求解指數(shù)不等式
[例2] 如果a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范圍．
[自主解答]?、佼?dāng)a>1時(shí)，∵a－5x>ax＋7，
∴－5x>x＋7，解得x<－.
②當(dāng)0
ax＋7，
∴－5x－.
綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，x的取值范圍是：x<－；
當(dāng)0－.
若將“a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)”改為“(a2＋a＋2)－5x>(a2＋a＋2)x＋7”，如何求解？
解：∵a2＋a＋2＝(a＋)2＋>1，
∴y＝(a2＋a＋2)x在R上是增函數(shù)．
∴－5x>x＋7，即x<－，
∴x的取值范圍是x<－.
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解指數(shù)不等式問題，需注意三點(diǎn)：
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0b的不等式，注意將b化為以a為底的指數(shù)冪的形式，再借助y＝ax的單調(diào)性求解；
(3)形如ax>bx的形式，利用圖象求解.
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2．解下列不等式：
(1)2x>8；(2)()x>；(3)0.32－x2>1.
解：(1)∵2x>8＝23且y＝2x為增函數(shù)，
∴x>3.
(2)()x>＝2＝()且y＝()x為減函數(shù)，
∴x<－.
(3)0.32－x2>1＝0.30且y＝0.3x為減函數(shù)，
∴2－x2<0，x>或x<－.
指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題
[例3] 某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360 kg，如果該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2%，糧食總產(chǎn)量平均每年增長4%，那么x年后若人均一年占有y kg糧食，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
[自主解答] 設(shè)該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人口數(shù)量為M，則該鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在一年的糧食總產(chǎn)量為360M kg.
1年后，該鄉(xiāng)鎮(zhèn)糧食總產(chǎn)量為360M(1＋4%)kg，人口數(shù)量為M(1＋1.2%)，
則人均一年占有糧食為kg，
2年后，人均一年占有糧食為kg，
x年后，人均一年占有糧食為y＝kg，即所求函數(shù)解析式為y＝360()x(x∈N*)．
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某量原值為a，通過若干次變化，每次比上一次的增長率或減少率為r，則x次后該量的值變?yōu)閍(1＋r)x或a(1－r)x.
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3．1980年我國人均收入255美元，到xx年人民生活達(dá)到小康水平，人均收入為817美元，則年平均增長率是多少(精確到1%)？若以不低于此增長率的速度遞增，則到2020年人均收入至少為多少美元(精確到1美元)?
解：設(shè)年平均增長率是x，由題意得y＝255(1＋x)n，因?yàn)榈絰x年人均收入為817美元，
即n＝2 000－1 980＝20時(shí)，y＝817，
所以817＝255(1＋x)20.
所以x≈0.06.
到2020年，即n＝2 020－1 980＝40.
此時(shí)y＝255(1＋0.06)40≈2 623.
即年平均增長率是6%，若以不低于此增長率的速度遞增，則到2020年人均收入至少是2 623美元．
解題高手
妙解題
同樣的結(jié)果，不一樣的過程，節(jié)省解題時(shí)間，也是得分！
已知a>0且a≠1，討論函數(shù)f(x)＝a－x2＋3x＋2的單調(diào)性．
[巧思] 求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通過考查f(u)和φ(x)的單調(diào)性，求出y＝f(φ(x))的單調(diào)性．一般情況下，兩個(gè)函數(shù)都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)中一增一減，則其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)，但一定要注意復(fù)合函數(shù)的定義域．這是一道與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)討論單調(diào)性的題目，指數(shù)－x2＋3x＋2＝－(x－)2＋，當(dāng)x≥時(shí)是減函數(shù)；當(dāng)x<時(shí)是增函數(shù)，而f(x)的單調(diào)性又與a 的取值范圍有關(guān)，應(yīng)分類討論．
[妙解] 設(shè)u＝－x2＋3x＋2＝－(x－)2＋，
則當(dāng)x≥時(shí)，u是減函數(shù)，
當(dāng)x<時(shí)，u是增函數(shù)．
又因?yàn)楫?dāng)a>1時(shí)，y＝au是增函數(shù)，
當(dāng)01時(shí)，原函數(shù)f(x)＝a－x2＋3x＋2在[，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，)上是增函數(shù)．
當(dāng)0()，又∵>，∴()>().
答案：D
2．已知函數(shù)f(x)＝()x在[－1,0]上的最大值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
解析：∵函數(shù)y＝()x在[－1,0]上為單調(diào)減函數(shù)，
∴y最大＝()－1＝3.
答案：D
3．若()2a＋1<()3－2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
解析：∵函數(shù)y＝()x為單調(diào)減函數(shù)，
且()2a＋1<()3－2a，則有2a＋1>3－2a，
4a>2，∴a>.
答案：A
4．方程4x－2x＋1－3＝0的解是________．
解析：原方程可化為(2x)2－2(2x)－3＝0，解得2x＝3或2x＝－1，
∵2x>0，∴2x＝3，
∴x＝log23.故答案為log23.
答案：log23
5．已知函數(shù)f(x)＝a－，若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________.
解析：∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，
∴f(0)＝a－＝0.
∴a＝.
答案：
6．已知2x≤()x－3，求函數(shù)y＝()x的值域．
解：∵2x≤()x－3，即2x≤26－2x，
∴x≤6－2x，∴x≤2.
∴y＝()x≥()2＝，
∴函數(shù)值域是[，＋∞)．
一、選擇題
1．已知集合M＝{－1,1}，N＝{x|<2x＋1<4，x∈Z}，則M∩N等于( )
A．{－1,1} B．{－1}
C．{0} D．{－1,0}
解析：∵<2x＋1<4,2－1<2x＋1<22，且y＝2x是增函數(shù)．
∴－11)在[－1,1]上有最大值14，則實(shí)數(shù)a的值為________．
解析：令t＝ax∈[，a]，則原函數(shù)可化為：y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，易知在[，a]上是單調(diào)增函數(shù)．則a2＋2a－1＝14，解之得a＝3或a＝－5(舍去)．
∴實(shí)數(shù)a的值為3.
答案：3
三、解答題
9．已知函數(shù)f(x)＝ax在x∈[－2,2]上恒有f(x)<2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝ax在[－2,2]上為增函數(shù)，
∴f(x)max＝f(2)．
又∵x∈[－2,2]時(shí)，f(x)<2恒成立，
∴即
解得1
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指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
第二課時(shí)教案精講
新人教A版必修1
2019
2020
年高
數(shù)學(xué)
1.2
指數(shù)函數(shù)
及其
性質(zhì)
第二
課時(shí)
教案
新人
必修
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