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2019-2020年高中數(shù)學 3.1 變化的快慢與變化率教案 北師大選修1-1 教學過程： 一、 引入： 1、 情境設置：（圖片）巍峨的珠穆朗瑪峰、攀登珠峰的隊員兩幅陡峭程度不同的圖片 2、 問題：當陡峭程度不同時，登山隊員的感受是不一樣的，如何用數(shù)學來反映山勢的 陡峭程度，給我們的登山運動員一些有益的技術參考呢？ 3、 引入：讓我們用函數(shù)變化的觀點來研討這個問題。 二、 例舉分析： （一）登山問題 例：如圖，是一座山的剖面示意圖:A是登山者的出發(fā)點,H是山頂,登山路線用y=f(x)表示 y H F D D1 C B A O x B A( O y x 問題：當自變量x表示登山者的水平位置，函數(shù)值y表示登山者所在高度時，陡峭程度應怎樣表示？ 分析：1、選取平直山路AB放大研究 若 自變量x的改變量： 函數(shù)值y的改變量： 直線AB的斜率： 說明：當?shù)巧秸咭苿拥乃骄嚯x變化量一定（為定值）時，垂直距離變化量（）越大，則這段山路越陡峭； 2、選取彎曲山路CD放大研究 方法：可將其分成若干小段進行分析：如CD1的陡峭程度可用直線CD1的斜率表示。（圖略） 結論：函數(shù)值變化量（）與自變量變化量的比值反映了山坡的陡峭程度。各段的不同反映了山坡的陡峭程度不同，也就是登山高度在這段山路上的平均變化量不同。當越大，說明山坡高度的平均變化量越大，所以山坡就越陡；當越小，說明山坡高度的平均變化量小，所以山坡就越緩。 所以，——高度的平均變化成為度量山的陡峭程度的量，叫做函數(shù)f(x)的平均變化率。 三、 函數(shù)的平均變化率與應用。 （一） 定義：已知函數(shù)在點及其附近有定義， 令； 。 則當時，比值 叫做函數(shù)在到之間的平均變化率。 （二）函數(shù)平均變化率的應用 例1． （1）求在到之間的平均變化率。 解：當自變量從變到時，函數(shù)的平均變化率為 。 當取定值，取不同數(shù)值時，該函數(shù)的平均變化率也不一樣。可以由圖看出變化。 （2）求在到之間的平均變化率。 解：當自變量從變到時，函數(shù)的平均變化率為 例2. 某市2004年4月20日最高氣溫為33.4℃，而此前的兩天，4月19日和4月18日最高氣溫分別為24.4℃和18.6℃，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8℃，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進行比較，我們發(fā)現(xiàn)兩者溫差為 15.1℃，甚至超過了14.8℃．而人們卻不會發(fā)出上述感嘆。這是什么原因呢？原來前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”。 2022 30 34 2 10 20 30 A(1, 3.5) B(32, 18.6) 0 C(34, 33.4) T(℃) t(天) 2 10 問題：當自變量t表示由3月18日開始計算的天數(shù)，T表示氣溫，記函數(shù)表示溫度隨時間變化的函數(shù)，那么氣溫變化的快慢情況應當怎樣表示？ 分析：如圖：1、選擇該市2004年3月18日最高氣溫3.5℃與4月18日最高氣溫18.6℃進行比較，，由此可知； 2、選擇該市2004年4月18日最高氣溫18.60C與4月20日33.40C進行比較， ，由此可知 結論：函數(shù)值的平均變化率反映了溫度變化的劇烈程度。 各段的不同反映了溫度變化的劇烈程度不同，也就是氣溫在這段時間內的平均變化量不同。當越大，說明氣溫的平均變化量越大，所以升溫就越快；當越小，說明氣溫的平均變化量小，所以升溫就越緩。 （三）課堂練習： 甲乙二人跑步路程與時間關系以及百米賽跑路程和時間的關系分別如圖 （1）（2）所示， 試問：（1）甲乙二人哪一個跑得快？ （2）甲乙二人百米賽跑，快到終點時，誰跑得比較快 甲3 乙 O (1) 路程 t y O 甲 乙 t0 t 100m (2) (1) 四、 瞬時變化率以及應用: 例3：已知函數(shù)，分別計算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。 解：函數(shù)的平均變化率計算公式為： 變化區(qū)間 自變量改變量 平均變化率 （1，1.1） 0.1 2.1 （1，1.01） 0.01 2.01 (1,1.001) 0.001 2.001 (1,1.0001) 0.0001 2.0001 … … … 　　結論：當時間間隔越來越?。ㄚ呌冢埃r，平均變化率趨于常數(shù)２ 　例4：一個小球自由下落，它在下落3秒時的速度是多少？ 　　　解：自由落體的運動公式是（其中g是重力加速度）. 當 時間增量很小時，從3秒到（3＋）秒這段時間內，小球下落的快慢變化不大.　 因此，可以用這段時間內的平均速度近似地反映小球在下落3秒時的速度. 從3秒到（3＋）秒這段時間內位移的增量： 從而，. 結論：越小，越接近29.4米/秒 當無限趨近于0時，無限趨近于29.4米/秒. （一） 定義： 設函數(shù)在附近有定義，當自變量在附近改變時， 函數(shù)值相應地改變 如果當時，平均變化率趨近于一個常數(shù)， 則數(shù)稱為函數(shù)在點處的瞬時變化率。 （二） 函數(shù)瞬時變化率的應用： 例5：設一個物體的運動方程是：，其中是初速度，時間單位為ｓ，求：ｔ＝２ｓ時的瞬時速度（函數(shù)s(t)的瞬時變化率）。 五、 課堂小結： 函數(shù)的瞬時變化率 函數(shù)的平均變化率 趨近于０ 六、布置作業(yè)：