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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第64課時(shí) 棱柱與棱錐教案 教學(xué)目標(biāo)：了解棱柱、棱錐的概念，掌握棱柱、正棱錐的性質(zhì)，繪畫直棱柱、正棱錐的直觀圖. 教學(xué)重點(diǎn)： 掌握棱柱、正棱錐的性質(zhì)及性質(zhì)的運(yùn)用 （一） 主要知識(shí)及主要方法： 有兩個(gè)面互相平行，其余各面的公共邊互相平行的多面體叫做棱柱.側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱. 棱柱的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是平行四邊形；長(zhǎng)方體的對(duì)角線的平方等于由一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的平方和. 一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫做棱錐.底面是正多邊形并且頂點(diǎn)在底面上的射影是正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐. 棱錐中與底面平行的截面與底面平行，并且它們面積的比等于對(duì)應(yīng)高的平方比. 在正棱錐中，側(cè)棱、高及側(cè)棱在底面上的射影構(gòu)成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影構(gòu)成直角三角形. 三棱錐的頂點(diǎn)在底面三角形上射影位置常見的有： ① 側(cè)棱長(zhǎng)相等外心；②側(cè)棱與底面所成的角相等外心； ② 側(cè)面與底面所成的角相等內(nèi)心；④頂點(diǎn)到底面三邊的距離相等內(nèi)心； ⑤三側(cè)棱兩兩垂直垂心；⑥相對(duì)棱兩兩垂直垂心. 求體積常見方法有：①直接法（公式法）；②轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積；③分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；④補(bǔ)形法：通過補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積；⑤四面體體積變換法；⑥利用四面體的體積性質(zhì)：（?。┑酌娣e相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅱ）高相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方. （二）典例分析： 問題1．（全國(guó)Ⅱ文）下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： ①底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐． ②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐． ③底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐． ④側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐． 其中，真命題的編號(hào)是 （寫出所有真命題的編號(hào)） （江西文）如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下個(gè)命題中，假命題是 等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等 等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ) 等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓 等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上 （全國(guó)）下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題： ① 若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ② 若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱； ③ 若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱； ④ 若四棱柱的四條對(duì)角線兩兩相等，則該四棱柱為直四棱柱. 其中，真命題的編號(hào)是 （寫出所有真命題的編號(hào)）. （江西文）如右圖，已知正三棱柱 的底面邊長(zhǎng)為，高為，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱 的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長(zhǎng)為 問題2．三棱柱中，， 、、的長(zhǎng)均為，點(diǎn)在底面 上的射影在上. 求與側(cè)面所成的角； 若點(diǎn)恰是的中點(diǎn)，求此三棱柱的側(cè)面積； 求此三棱柱的體積. 問題3．已知正四面體的棱長(zhǎng)為，用一個(gè) 平行于底面的平面截此四面體，所得的截面面積為， 求截面與底面之間的距離. 問題4．如圖所示，三棱錐中，， ，， 求三棱錐的體積.(要求用四種不同的方法) （三）課后作業(yè)： 一個(gè)正三棱錐與一個(gè)正四棱錐，它們的棱長(zhǎng)都相等，把這個(gè)正三棱錐的一個(gè)側(cè)面重合在正四棱錐的一個(gè)側(cè)面上，這個(gè)組合體可能是 正四棱錐 正五棱錐 斜三棱柱 正三棱柱 如果三棱錐的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角相等，且 頂點(diǎn)在底面的射影為，在內(nèi)，那么是的 垂心 重心 外心 內(nèi)心 如圖，在直三棱柱中，， ，、為側(cè)棱上的兩點(diǎn)，且， 則多面體的體積等于 過棱錐高的三等分點(diǎn)作兩個(gè)平行于底面的截面，它們將棱錐的側(cè)面分成三部分的面積的比（自上而下）為 在三棱錐中，，則側(cè)棱與側(cè)面所成的角的大小是 三棱錐一條側(cè)棱長(zhǎng)是，和這條棱相對(duì)的棱長(zhǎng)是，其余四條棱長(zhǎng)都是，求棱錐的體積. 平行六面體 的底面是矩形， 側(cè)棱長(zhǎng)為 ，點(diǎn)在底面上的射影 是的中點(diǎn)，與底面成角， 二面角為 ，求該平行六面體 的表面積和體積. (屆高三合肥市三檢)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，過正三棱柱底面上的一條棱作一平面與底面成的平面角，則該平面與平面所截得的線段長(zhǎng)等于 （屆高三寶雞中學(xué)第四次月考）在直四棱柱中，， ，，，垂足為. 求證：；求異面直線與所成的角. （四）走向高考： （安徽）在正方體上任意選擇個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何形體的個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何形體是 （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）. ①矩形；②不是矩形的平行四邊形；③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；⑤每個(gè)面都是直角三角形的四面體. (北京春） 兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，， 把它們重疊在一起組成一個(gè)新長(zhǎng)方體，在這些新長(zhǎng)方體中，最長(zhǎng)的對(duì)角線的長(zhǎng)度是 （上海）有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面 三角形的三邊長(zhǎng)分別為、、 ().用它們 拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情況中，全面積 最小的是一個(gè)四棱柱，則的取值范圍是 （上海春）正四棱錐底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則其體積為 （全國(guó)Ⅰ）一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，則該三角形的斜邊長(zhǎng)為 （江蘇）正三棱錐高為，側(cè)棱與底面所成角為，則點(diǎn)到側(cè)面的距離是