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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第十一課時 三角函數(shù)的周期性教案 蘇教版必修4 教學(xué)目標(biāo)： 掌握函數(shù)的周期性，會求簡單函數(shù)的最小正周期，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期及求法；滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點. 教學(xué)重點： 正、余弦函數(shù)的周期 教學(xué)難點： 函數(shù)的周期性 教學(xué)過程： 由單位圓中的三角函數(shù)線可知，正、余弦函數(shù)值的變化呈現(xiàn)出周期現(xiàn)象，每當(dāng)角增加（或減少）2π，所得角的終邊與原來角的終邊相同，故兩角的正、余弦函數(shù)值也分別相同.即有： sin（2π＋x）＝sinx，cos（2π＋x）＝cosx， 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)所具有的這種性質(zhì)稱為周期性. 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個函數(shù)的周期. 對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期. 根據(jù)上述定義，可知： 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π. 以后如果不加特別說明，函數(shù)的周期一般都是指最小正周期 正切函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T＝π 課本P26例1、例2 一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋)及y＝Acos(ωx＋)（其中A、ω、為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝，函數(shù)y＝Atan (ωx＋)的周期T＝ 周期函數(shù)應(yīng)注意以下幾點： 1.式子f(x＋T)＝f(x)對定義域中的每一個值都成立.即定義域內(nèi)任何x，式子都成立.而不能是“一個x”或“某些個x”，另一方面，判斷一個函數(shù)不是周期函數(shù)，只需舉一個反例就行了. 例如：由于sin(＋)＝sin，即sin(x＋)＝sinx.該式中x取時等式成立，能否斷定是sinx的周期呢?不能，因?qū)τ谄渌恍﹛值該式不一定成立.如x＝時，sin(x＋)≠sinx. ［例］函數(shù)y＝cosx(x≠0)是周期函數(shù)嗎? 解：不是，舉反例，當(dāng)T＝2π時，令x＝－2π，則有cos(x＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x＝0，不屬于題設(shè)的定義域，則x不能取－2π，故y＝cosx(x≠0)不是周期函數(shù). 2.式子f(x＋T)＝f(T)是對“x”而言. 例如，由cos( ＋2kπ)＝cos (k∈Z)，是否可以說cos的周期為2kπ呢?不能!因為cos( ＋2kπ)＝cos，即cos＝cos (k∈Z)，所以cos的周期是6kπ，而不是2kπ(k∈Z). 3.一個函數(shù)是周期函數(shù)，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常數(shù))，顯然任何一個正數(shù)T都是f(x)的周期，由于正數(shù)中不存在最小的數(shù)，所以周期函數(shù)f(x)＝a無最小正周期. 4.設(shè)T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定義規(guī)定了T為一個實常數(shù)，而不是一個變數(shù)；同時也規(guī)定了T的取值范圍，只要求不為零，不要誤認(rèn)為T一定是π的倍數(shù). 有許多周期函數(shù)的周期中是不含“π”的，如下面幾例： ［例1］函數(shù)y＝sinπx的周期是T＝＝2. ［例2］函數(shù)y＝tan2πx的周期是T＝＝. ［例3］若對于函數(shù)y＝f(x)定義域內(nèi)的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，則由周期函數(shù)的定義可知，函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝1是其周期. ［例4］設(shè)f(x)定義在R上，并且對任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4). 求證：f(x)是周期函數(shù)，并找出它的一個周期. 證明：∵f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4) ① ∴f(x＋3)＝f(x＋4)－f(x＋5) ② ①＋②得：f(x＋2)＝－f(x＋5) ③ 由③得：f(x＋5)＝－f(x＋8) ④ ∴f(x＋2)＝f(x＋8) 即f(x)＝f(x＋6) ∴f(x)為周期函數(shù)，一個周期為6. 5.周期函數(shù)必須是函數(shù)，但一定要克服思維定勢，認(rèn)為周期性是三角函數(shù)所獨有的，實質(zhì)上我們學(xué)過的非周期函數(shù)f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)將其定義域內(nèi)限制在一個半開半閉區(qū)間上，經(jīng)左右平移，可以延拓變?yōu)橹芷诤瘮?shù)，例如將非周期函數(shù)y＝x2(x∈R)在其定義域R內(nèi)限制在(－1，1］，然后將y＝x2(－1＜x≤1)的圖象左、右平移，可以延拓為最小正周期為2的周期函數(shù)f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如圖： ［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定義在R上的一個周期為2的函數(shù)g(x)，使x∈(－1，1］時，g(x)＝f(x). 解：由g(x)的周期性可畫出g(x)的圖象.如圖： 對于任意的x∈R，x一定在周期為2的區(qū)間(2n－1，2n＋1］內(nèi)，則x－2n∈(－1，1］. ∴g(x)＝g(x－2n)＝f(x－2n)＝｜x－2n｜， 即g(x)＝ 評述：(1)要判定f(x)是周期函數(shù)，自變量x必須取遍定義域內(nèi)的每一個值. (2)周期函數(shù)是高考中的熱點，只有深層次的理解周期函數(shù)的意義，才能臻化入境，運用自如. 課堂練習(xí)： 課本P27 練習(xí)1～4 課時小結(jié)： 要初步掌握三角函數(shù)的周期性. 課后作業(yè)： 課本P45 習(xí)題 1