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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 第四課時 正弦定理、余弦定理教案（二） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 熟練掌握正、余弦定理應(yīng)用，進(jìn)一步熟悉三角函數(shù)公式和三角形中的有關(guān)性質(zhì)，綜合運用正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)求解三角形問題；通過正、余弦定理在解三角形問題時溝通了三角函數(shù)與三角形有關(guān)性質(zhì)的功能，反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系及一定條件下的相互轉(zhuǎn)化. 教學(xué)重點： 正、余弦定理的綜合運用. 教學(xué)難點： 1.正、余弦定理與三角形性質(zhì)的結(jié)合； 2.三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 上一節(jié)課，我們一起研究了正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在證明三角恒等式及判斷三角形形狀時的應(yīng)用，這一節(jié)，我們將綜合正、余弦定理、三角函數(shù)公式及三角形有關(guān)性質(zhì)來求解三角形問題.首先，我們一起回顧正、余弦定理的內(nèi)容. Ⅱ.講授新課 ［例1］在△ABC中，三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長. 分析：由于題設(shè)條件中給出了三角形的兩角之間的關(guān)系，故需利用正弦定理建立邊角關(guān)系.其中sin2α利用正弦二倍角展開后出現(xiàn)了cosα，可繼續(xù)利用余弦定理建立關(guān)于邊長的方程，從而達(dá)到求邊長的目的. 解：設(shè)三角形的三邊長分別為x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又設(shè)最小角為α，則 ＝＝，∴cosα＝ ① 又由余弦定理可得 x2＝（x＋1）2＋（x＋2）2－2（x＋1）（x＋2）cosα ② 將①代入②整理得x2－3x－4＝0 解之得x1＝4，x2＝－1（舍） 所以此三角形三邊長為4，5，6. 評述：（1）此題所求為邊長，故需利用正、余弦定理向邊轉(zhuǎn)化，從而建立關(guān)于邊長的 方程； （2）在求解過程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)三角公式的工具性作用，以引起學(xué)生對三角公式的重視. ［例2］如圖，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分線AD＝2 cm，求此三角形面積. 分析：由于題設(shè)條件中已知兩邊長，故而聯(lián)想面積公式S△ABC＝ABACsinA，需求出sinA，而△ABC面積可以轉(zhuǎn)化為S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝ACADsin，S△ADB＝ABADsin，因此通過S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立關(guān)于含有sinA，sin的方程，而sinA＝2sincos，sin2＋cos2＝1，故sinA可求，從而三角形面積可求. 解：在△ABC中，S△ABC＝S△ADB＋S△ADC， ∴ABACsinA＝ACADsin＋ABADsin ∴43sinA＝32sin，∴6sinA＝7sin ∴12sincos＝7sin ∵sin≠0，∴cos＝，又0＜A＜π，∴0＜＜ ∴sin＝＝， ∴sinA＝2sincos＝， ∴S△ABC＝43sinA＝（cm2）. 評述：面積等式的建立是求sinA的突破口，而sinA的求解則離不開對三角公式的熟悉.由此啟發(fā)學(xué)生在重視三角形性質(zhì)運用的同時，要熟練應(yīng)用三角函數(shù)的公式.另外，在應(yīng)用同角的平方關(guān)系sin2α＋cos2α＝1時，應(yīng)對角所在范圍討論后再進(jìn)行正負(fù)的取舍. ［例3］已知三角形的一個角為60，面積為10cm2，周長為20 cm，求此三角形的各邊長. 分析：此題所給的題設(shè)條件除一個角外，面積、周長都不是構(gòu)成三角形的基本元素，但是都與三角形的邊長有關(guān)系，故可以設(shè)出邊長，利用所給條件建立方程，這樣由于邊長為三個未知數(shù)，所以需尋求三個方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60角的余弦，其二可用面積公式S△ABC＝absinC表示面積，其三是周長條件應(yīng)用. 解：設(shè)三角形的三邊長分別為a、b、c，B＝60，則依題意得 ∴ 由①式得b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④ 將②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0 再將③代入得a＋c＝13 由，解得或 ∴b1＝7，b2＝7 所以，此三角形三邊長分別為5 cm，7 cm，8 cm. 評述：（1）在方程建立的過程中，應(yīng)注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面積公式的應(yīng)用； （2）由條件得到的是一個三元二次方程組，要注意要求學(xué)生體會其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運算能力. ［例4］在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D為BC中點，且AD＝4，求BC邊長. 分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為x后，建立關(guān)于x的方程.而正弦定理涉及到兩個角，故不可用.此時應(yīng)注意余弦定理在建立方程時所發(fā)揮的作用.因為D為BC中點，所以BD、DC可表示為，然后利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程. 解：設(shè)BC邊為x，則由D為BC中點，可得BD＝DC＝， 在△ADB中，cosADB＝＝ 在△ADC中，cosADC＝＝ 又∠ADB＋∠ADC＝180 ∴cosADB＝cos（180－∠ADC）＝－cosADC. ∴＝－ 解得，x＝2 所以，BC邊長為2. 評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型. 另外，對于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解sinA，思路如下： 由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得＝＝，設(shè)BD＝5k，DC＝3k，則由互補(bǔ)角∠ADC、∠ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦定理求出cosA，再由同角平方關(guān)系求出sinA. 為鞏固本節(jié)所學(xué)的解題方法，下面我們進(jìn)行課堂練習(xí). Ⅲ.課堂練習(xí) 1.半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為0.25，求此三角形三邊長的乘積. 解：設(shè)△ABC三邊為a，b，c. 則S△ABC＝acsinB ∴＝＝ 又＝2R，其中R為三角形外接圓半徑 ∴＝ ∴abc＝4RS△ABC＝410.25＝1 所以三角形三邊長的乘積為1. 評述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：＝＝＝2R，其中R為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式S△ABC＝acsinB發(fā)生聯(lián)系，對abc進(jìn)行整體求解. 2.在△ABC中，已知角B＝45，D是BC邊上一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB. 解：在△ADC中， cosC＝＝＝， 又0＜C＜180，∴sinC＝ 在△ABC中，＝ ∴AB＝AC＝7＝. 評述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運用. 3.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，求cosC的值. 解：∵cosA＝＜＝cos45，0＜A＜π ∴45＜A＜90，∴sinA＝ ∵sinB＝＜＝sin30，0＜B＜π ∴0＜B＜30或150＜B＜180 若B＞150，則B＋A＞180與題意不符. ∴0＜B＜30 cosB＝ ∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB＝－ ＝ 又C＝180－（A＋B）. ∴cosC＝cos［180－（A＋B）］＝－cos（A＋B）＝－. 評述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時，應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范圍時，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較. Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力. Ⅴ.課后作業(yè) 1．在三角形中，三邊長為連續(xù)自然數(shù)，且最大角是鈍角，那么這個三角形的三邊長分別為 . 答案：2，3，4 2．已知方程a（1－x2）＋2bx＋c（1＋x2）＝0沒有實數(shù)根，如果a、b、c是△ABC的三條邊的長，求證△ABC是鈍角三角形. 備課資料 1.正、余弦定理的綜合運用 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得 sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA. 這是只含有三角形三個角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡捷明快，下面舉例說 明之. ［例1］在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度數(shù). 解：由定理得 sin2B＝sin2A＋sin2C－2sinAsinCcosB ∴－2sinAsinCcosB＝sinAsinC ∵sinAsinC≠0，∴cosB＝－ ∴B＝150 ［例2］求sin210＋cos240＋sin10cos40的值. 解：原式＝sin210＋sin250＋sin10sin50 在sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA中， 令B＝10，C＝50，則A＝120. sin2120＝sin210＋sin250－2sin10sin50cos120 ＝sin210＋sin250＋sin10sin50＝（）2＝. ［例3］在△ABC中，已知2cosBsinC＝sinA，試判定△ABC的形狀. 解：在原等式兩邊同乘以sinA得2cosBsinAsinC＝sin2A， 由定理得sin2A＋sin2C－sin2B＝sin2A， ∴sin2C＝sin2B ∴B＝C 故△ABC是等腰三角形. 2.一題多證 ［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC，求證：△ABC為等腰三角形. 證法一：欲證△ABC為等腰三角形.可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù).由正弦定理得a＝ ∴2bcosC＝，即2cosCsinB＝sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC. ∴sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin（B－C）＝0，∴B－C＝nπ（n∈Z）. ∵B、C是三角形的內(nèi)角， ∴B＝C，即三角形為等腰三角形. 證法二：根據(jù)射影定理，有a＝bcosC＋ccosB， 又∵a＝2bcosC ∴2bcosC＝bcosC＋ccosB ∴bcosC＝ccosB，即 ＝. 又∵＝. ∴＝，即tanB＝tanC ∵B、C在△ABC中，∴B＝C ∴△ABC為等腰三角形. 證法三：∵cosC＝及cosC＝， ∴＝，化簡后得b2＝c2. ∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形. 3.參考例題 ［例1］在△ABC中，若＝，試判斷△ABC的形狀. 解：由已知＝及正弦定理得＝ ∴sin2A=sin2B ∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝， 故△ABC為等腰三角形或直角三角形. ［例2］已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C依次成等差數(shù)列，又三邊a、b、c依次成等比數(shù)列，求證：該三角形為正三角形. 證法一：∵A、B、C成等差數(shù)列，則2B＝A＋C， 又A＋B＋C＝180，∴3B＝180，∴B＝60， 再由a、b、c成等比數(shù)列，可得b2＝ac， 因此用余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，∴ac＝a2＋c2－2ac， 即（a－c）2＝0，∴a＝c，A＝C 又B＝60，∴△ABC為正三角形. 證法二：∵A、B、C成等差數(shù)列，則2B＝A＋C， 又A＋B＋C＝180，∴3B＝180，∴B＝60， 再由a、b、c成等比數(shù)列，設(shè)公比為q， 于是b＝aq，c＝aq2， ∵cosB＝，即＝ 整理得q4－2q2＋1＝0，解得q2＝1，q＝1 ∵q＝1，∴三邊長相等 故三角形為正三角形. ［例3］在△ABC中，若a2tanB=b2tanA，試判斷△ABC的形狀. 解法一：∵a2tanB=b2tanA， ∴＝＝ ① 由正弦定理得＝ ② 由余弦定理得 cosB＝, ③ cosA＝, ④ 把②③④式代入①式得 ＝＝， 整理得（a2－b2）（c2－a2－b2）＝0， ∴a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 解法二：由已知及正弦定理可得 （ksinA）2＝（ksinB）2， ∴2sinAcosA＝2sinBcosB ∴sin2A＝sin2B ∴2A＝2B或2A＝π－2B 即A＝B或A＋B＝ ∴△ABC是等腰或直角三角形. 4.參考練習(xí)題 1.在△ABC中，若sinA＝，試判斷△ABC的形狀. 解：∵sinA＝，∴cosB＋cosC＝， 應(yīng)用正、余弦定理得＋＝， ∴b（a2c2－b2）＋c（a2－b2c2）＝2bc（b＋c）， ∴a2（b＋c）－（b＋c）（b2－2bc＋c2）＝2bc（b＋c） 即a2＝b2＋c2 故△ABC為直角三角形. 2.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，求證：＝. 證明：由a2＝b2＋c2－2bccosA. b2＝a2＋c2－2accosB 兩式相減得a2－b2＝c（acosB－bcosA）， ∴＝. 又＝，＝， ∴＝＝. 3.在△ABC中，若（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc，并且sinA＝2sinBcosC，試判斷△ABC的形狀. 解：由已知條件（a＋b＋c）（b＋c－a）＝bc及余弦定理得 cosA＝＝＝ ∴A＝60 又由已知條件sinA＝2sinBcosC得sin（B＋C）＝sin（B＋C）＋sin（B－C） ∴sin（C－B）＝0，∴B＝C 于是有A＝B＝C＝60， 故△ABC為等邊三角形. 正弦定理、余弦定理 1．在△ABC中，已知A＝1050，B＝300，b＝2，則c等于 （ ） A.2 B.2 C.4 D.4 2．一個三角形的三邊之長分別是3、5、7，則最大角為 （ ） A.arccos B.150 C.arccos D.120 3．在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個解的是 （ ） A.b＝10，A＝45，C＝70 B.a＝60，c＝48，B＝60 C.a＝7，b＝5，A＝80 D.a＝14，b＝16，A＝45 4．在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，則角A等于 （ ） A. B. C. D. 5．在△ABC中，若acosA＝bcosB，則△ABC的形狀是 （ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6．在△ABC中，已知c＝10，C＝60，a＝，則∠A＝ . 7．在△ABC中，已知三邊滿足（a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，則∠C等于 . 8．在△ABC中，若 ＝，則△ABC是 . 9．在△ABC中，已知B＝135，C＝15，a＝5，那么此三角形的最大邊的長是 . 10．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45，求A，C及c. 11．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角. 12．已知△ABC中，a＝2，c＝1，求角C的取值范圍. 正弦定理、余弦定理答案 1．C 2．D 3．D 4．B 5．D 6．45 7．60 8．等腰或直角三角形 9．5 10．在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45，求A，C及c. 解：∵＝，∴sinA＝＝＝ ∵b＜a且b＞asinB ∴A有兩解：A＝60或120. （1）當(dāng)A＝60時，C＝180－（A+B）＝75 c＝＝＝ (2)當(dāng)A＝120時，C＝180－（A+B）＝15 c＝＝＝. 11．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(＋1)∶(－1)∶，求最大角. 解：∵＝＝＝k ∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(+1)∶(－1)∶ 設(shè)a＝(＋1)k，b＝(－1)k，c＝k (k＞0) 則最大角為C.cosC＝ ＝＝－ ∴C＝120. 12．已知△ABC中，a＝2，c＝1，求角C的取值范圍. 解：由三角形三邊關(guān)系得 b＜a＋c＝3 b＞a－c＝1 ∴1＜b＜3 由c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2－4bcos2C＋3＝0 由Δ≥0，得cos2C≥ ∴0＜C≤.