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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.3《三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教案（3） 湘教版必修2 教學(xué)目的： 1理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義； 2會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間； 3掌握正弦函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的周期及求法 教學(xué)重點(diǎn)：正、余弦函數(shù)的性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)：正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用 授課類型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1．y=sinx，x∈R和y=cosx，x∈R的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線． 2．用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖（描點(diǎn)法）： 正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0， 2π]的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是： (0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0) 余弦函數(shù)y x o 1 -1 y=cosx x[0,2p]的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是 (0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1) 3．定義域： 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R［或(－∞，＋∞)］， 分別記作： y＝sinx，x∈R y＝cosx，x∈R 4．值域 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［－1，1］ 其中正弦函數(shù)y=sinx,x∈R ①當(dāng)且僅當(dāng)x＝＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1 ②當(dāng)且僅當(dāng)x＝－＋2kπ，k∈Z時(shí)，取得最小值－1 而余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R ①當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時(shí)，取得最大值1 ②當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k＋1)π，k∈Z時(shí)，取得最小值－1 5．周期性 一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期 對于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期 1周期函數(shù)x定義域M，則必有x+TM, 且若T>0則定義域無上界；T<0則定義域無下界； 2“每一個(gè)值”只要有一個(gè)反例，則f (x)就不為周期函數(shù)（如f (x0+t)f (x0)） 3T往往是多值的（如y=sinx 2p,4p,…,-2p,-4p,…都是周期）周期T中最小的正數(shù)叫做f (x)的最小正周期（有些周期函數(shù)沒有最小正周期） 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π 6．奇偶性 y＝sinx為奇函數(shù)，y＝cosx為偶函數(shù) 正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)O對稱,余弦曲線關(guān)于y軸對稱 7．單調(diào)性 正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1 余弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；在每一個(gè)閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1 二、講解范例： 例1 求下列函數(shù)的周期： (1)y＝3cosx，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R； (3)y＝2sin(x－)，x∈R 解：(1)∵y＝cosx的周期是2π ∴只有x增到x＋2π時(shí)，函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn) ∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π (2)令Z＝2x，那么x∈R必須并且只需Z∈R，且函數(shù)y＝sinZ，Z∈R的周期是2π 即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)． 只有當(dāng)x至少增加到x＋π，函數(shù)值才能重復(fù)出現(xiàn) ∴y＝sin2x的周期是π (3)令Z＝x－，那么x∈R必須并且只需Z∈R，且函數(shù)y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(x－)＋2π＝ (x＋4π)－，所以只有自變量x至少要增加到x＋4π，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即T＝4π是能使等式2sin［ (x＋T)－］＝2sin(x－)成立的最小正數(shù) 從而y＝2sin(x－)，x∈R的周期是4π 從上述可看出，這些函數(shù)的周期僅與自變量x的系數(shù)有關(guān) 一般地，函數(shù)y＝Asin(ωx＋)，x∈R及函數(shù)y＝Acos(ωx＋)，x∈R(其中A、ω、為常數(shù)，且A≠0，ω＞0)的周期T＝ 根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫出函數(shù)的周期，如對于上述例子： (1)T＝2π，(2)T＝＝π，(3)T＝2π＝4π 例2不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0 (1)sin(－)－sin(－)； (2)cos(－)－cos(－)． 解：(1)∵－＜－＜－＜． 且函數(shù)y＝sinx，x∈［－，］是增函數(shù) ∴sin(－)＜sin(－) 即sin(－)－sin(－)＞0 (2)cos(－)＝cos＝cos cos(－)＝cos＝cos ∵0＜＜＜π 且函數(shù)y＝cosx，x∈［0，π］是減函數(shù) ∴cos＜cos 即cos－cos＜0 ∴cos(－)－cos(－)＜0 例3 求函數(shù)y＝的值域 解：由已知：cosx＝｜｜＝｜c(diǎn)osx｜≤1()2≤13y2＋2y－8≤0 ∴－2≤y≤ ∴ymax＝，ymin＝－2 例4f(x)＝sinx圖象的對稱軸是 解：由圖象可知： 對稱軸方程是：x＝kπ＋(k∈Z) 例5 (1)函數(shù)y＝sin(x＋)在什么區(qū)間上是增函數(shù)? (2)函數(shù)y＝3sin(－2x)在什么區(qū)間是減函數(shù)? 解：(1)函數(shù)y＝sinx在下列區(qū)間上是增函數(shù)： 2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z) ∴函數(shù)y＝sin(x＋)為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)2kπ－＜x＋＜2kπ＋ 即2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)為所求 (2)∵y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－) 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋ 得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)為所求 或：令u＝－2x，則u是x的減函數(shù) 又∵y＝sinｕ在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上為增函數(shù)， ∴原函數(shù)y＝3sin(－2x)在區(qū)間［2kπ－，2kπ＋］上遞減 設(shè)2kπ－≤－2x≤2kπ＋ 解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z) ∴原函數(shù)y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上單調(diào)遞減 三、課堂練習(xí)： 1函數(shù)y＝cos2（x－）＋sin2（x＋）－1是( ) A奇函數(shù)而不是偶函數(shù) B偶函數(shù)而不是奇函數(shù) C奇函數(shù)且是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù) 2函數(shù)y＝sin（2x＋）圖象的一條對稱軸方程是( ) Ax＝－ Bx＝－ Cx＝ Dx＝ 3設(shè)條件甲為“y＝Asin(ωx＋φ)是偶函數(shù)”，條件乙為“φ＝”，則甲是乙的( ) A充分非必要條件 B必要非充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 4函數(shù)y＝sin4x＋cos4x的最小正周期為 ． 5函數(shù)y＝sin2xtanx的值域?yàn)? 6函數(shù)y＝x－sinx，x∈［0，π］的最大值為( ) A0 B －1 Cπ D 7求函數(shù)y＝2sin22x＋4sin2xcos2x＋3cos22x的最小正周期 8求函數(shù)f（x）＝sin6x＋cos6x的最小正周期，并求f（x）的最大值和最小值 9已知f（x）＝，問x在［0，π］上取什么值時(shí)，f（x）取到最大值和最小值 參考答案： 1A 2A 3B 4 5［0，2 6C 7 8Ｔ＝ 函數(shù)最大值為1 函數(shù)最小值為 9x＝時(shí)，f(x)取到最小值； x＝時(shí)，f(x)取到最大值3 四、小結(jié) 在求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要注意復(fù)合函數(shù)的有關(guān)知識，忽略復(fù)合函數(shù)的條件，是同學(xué)們解題中常發(fā)生的錯(cuò)誤 五、課后作業(yè)： 六、板書設(shè)計(jì)（略） 七、課后記：