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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 全冊(cè)教案 新人教A版選修2-2 目 錄 I 第1章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1 1.1.1變化率問(wèn)題 1 導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念 4 1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念 6 1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 9 1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 13 1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 16 1.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 19 1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2課時(shí)） 22 1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（2課時(shí)） 27 1.3.3函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)（2課時(shí)） 31 1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（2課時(shí)） 34 1.5.3定積分的概念 38 第2章 推理與證明 42 合情推理 42 類比推理 45 演繹推理 48 推理案例賞識(shí) 50 直接證明--綜合法與分析法 52 間接證明--反證法 54 數(shù)學(xué)歸納法 56 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 67 3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 67 3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念 67 3.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義 70 3.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 73 3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及幾何意義 73 3.2.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 77 第1章　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.1變化率問(wèn)題 教學(xué)目標(biāo)： 1．理解平均變化率的概念； 2．了解平均變化率的幾何意義； 3．會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率 教學(xué)重點(diǎn)：平均變化率的概念、函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率； 教學(xué)難點(diǎn)：平均變化率的概念． 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)、過(guò)程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)，隨著對(duì)函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問(wèn)題的處理直接相關(guān)： 一、已知物體運(yùn)動(dòng)的路程作為時(shí)間的函數(shù),求物體在任意時(shí)刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長(zhǎng)度、面積、體積和重心等。 導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐?wèn)題最一般、最有效的工具。 導(dǎo)數(shù)研究的問(wèn)題即變化率問(wèn)題：研究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度． 二．新課講授 （一）問(wèn)題提出 問(wèn)題1 氣球膨脹率 我們都吹過(guò)氣球回憶一下吹氣球的過(guò)程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢? n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是 n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù),那么 分析: ， h t o 1 當(dāng)V從0增加到1時(shí),氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 2 當(dāng)V從1增加到2時(shí),氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了． 思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少? 問(wèn)題2 高臺(tái)跳水 在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時(shí)間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用運(yùn)動(dòng)員在某些時(shí)間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)? 思考計(jì)算：和的平均速度 在這段時(shí)間里，； 在這段時(shí)間里， 探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題： ⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？ ⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？ 探究過(guò)程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，， 所以， 雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說(shuō)明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)． （二）平均變化率概念: 1．上述問(wèn)題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率 2．若設(shè), (這里看作是對(duì)于x1的一個(gè)“增量”可用x1+代替x2,同樣) 3． 則平均變化率為 思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象 平均變化率表示什么? f(x2) y=f(x) y △y =f(x2)-f(x1) f(x1) 直線AB的斜率 △x= x2-x1 x2 x1 x O 三．典例分析 例1．已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點(diǎn)及臨近一點(diǎn),則 ． 解：， ∴ 例2． 求在附近的平均變化率。 解：，所以 所以在附近的平均變化率為 四．課堂練習(xí) 1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，則在時(shí)間中相應(yīng)的平均速度為 ． 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),求在4s附近的平均變化率. 3.過(guò)曲線y=f(x)=x3上兩點(diǎn)P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當(dāng)Δx=0.1時(shí)割線的斜率. 五．回顧總結(jié) 1．平均變化率的概念 2．函數(shù)在某點(diǎn)處附近的平均變化率 六．布置作業(yè) 導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的概念 教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：理解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握簡(jiǎn)單函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)表示和求解方法； 理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 理解導(dǎo)函數(shù)的概念和意義； 2、過(guò)程與方法：先理解概念背景，培養(yǎng)解決問(wèn)題的能力；再掌握定義和幾何意義，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力；最后求切線方程，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力 3、情感態(tài)度及價(jià)值觀；讓學(xué)生感受事物之間的聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)的美。 教學(xué)重點(diǎn)： 1、導(dǎo)數(shù)的求解方法和過(guò)程；2、導(dǎo)數(shù)符號(hào)的靈活運(yùn)用 教學(xué)難點(diǎn)： 1、導(dǎo)數(shù)概念的理解；2、導(dǎo)函數(shù)的理解、認(rèn)識(shí)和運(yùn)用 教學(xué)過(guò)程： 一、情境引入 在前面我們解決的問(wèn)題： 1、求函數(shù)在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率。 ，故斜率為4 2、直線運(yùn)動(dòng)的汽車速度V與時(shí)間t的關(guān)系是，求時(shí)的瞬時(shí)速度。 ，故斜率為4 二、知識(shí)點(diǎn)講解 上述兩個(gè)函數(shù)和中，當(dāng)()無(wú)限趨近于0時(shí)，()都無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)。 歸納：一般的，定義在區(qū)間（，）上的函數(shù)，，當(dāng)無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)固定的常數(shù)A，則稱在處可導(dǎo)，并稱A為在處的導(dǎo)數(shù)，記作或， 上述兩個(gè)問(wèn)題中：（1），（2） 三、幾何意義： 我們上述過(guò)程可以看出 在處的導(dǎo)數(shù)就是在處的切線斜率。 四、例題選講 例1、求下列函數(shù)在相應(yīng)位置的導(dǎo)數(shù) （1）， （2）， （3）， 例2、函數(shù)滿足，則當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí)， （1） （2） 變式:設(shè)f(x)在x=x0處可導(dǎo)， （3）無(wú)限趨近于1，則=___________ （4）無(wú)限趨近于1，則=________________ （5）當(dāng)△x無(wú)限趨近于0，所對(duì)應(yīng)的常數(shù)與的關(guān)系。 總結(jié)：導(dǎo)數(shù)等于縱坐標(biāo)的增量與橫坐標(biāo)的增量之比的極限值。 例3、若，求和 注意分析兩者之間的區(qū)別。 例4：已知函數(shù)，求在處的切線。 導(dǎo)函數(shù)的概念涉及：的對(duì)于區(qū)間（,）上任意點(diǎn)處都可導(dǎo)，則在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也隨x的變化而變化，因而也是自變量x的函數(shù)，該函數(shù)被稱為的導(dǎo)函數(shù)，記作。 五、小結(jié)與作業(yè) 1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念 教學(xué)目標(biāo)： 1．了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念； 2．理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵； 3．會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念； 教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念． 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 （一）平均變化率 （二）探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題： ⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？ ⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？ 探究過(guò)程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，， h t o 所以， 雖然運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里的平均速度為，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說(shuō)明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)． 二．新課講授 1．瞬時(shí)速度 我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么，如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如，時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？考察附近的情況： 思考：當(dāng)趨近于0時(shí)，平均速度有什么樣的變化趨勢(shì)？ 結(jié)論：當(dāng)趨近于0時(shí)，即無(wú)論從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時(shí)，平均速度都趨近于一個(gè)確定的值． 從物理的角度看，時(shí)間間隔無(wú)限變小時(shí)，平均速度就無(wú)限趨近于史的瞬時(shí)速度，因此，運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度是 為了表述方便，我們用 表示“當(dāng)，趨近于0時(shí)，平均速度趨近于定值” 小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。 2 導(dǎo)數(shù)的概念 從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是: 我們稱它為函數(shù)在出的導(dǎo)數(shù)，記作或，即 說(shuō)明：（1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率 （2），當(dāng)時(shí)，，所以 三．典例分析 例1．（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù). 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2 　　再求再求 解：法一（略） 法二： （2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 解： 例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第時(shí)，原油的溫度（單位：）為，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義． 解：在第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是和 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義， 所以 同理可得: 在第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為和5，說(shuō)明在附近，原油溫度大約以的速率下降，在第附近，原油溫度大約以的速率上升． 注：一般地，反映了原油溫度在時(shí)刻附近的變化情況． 四．課堂練習(xí) 1．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為，求質(zhì)點(diǎn)在的瞬時(shí)速度為． 2．求曲線y=f(x)=x3在時(shí)的導(dǎo)數(shù)． 3．例2中，計(jì)算第時(shí)和第時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義． 五．回顧總結(jié) 1．瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念 2．導(dǎo)數(shù)的概念 六．布置作業(yè)  1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義 教學(xué)目標(biāo)： 1．了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系； 2．理解曲線的切線的概念； 3．通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題； 教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義； 教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 （一）平均變化率、割線的斜率 （二）瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù) 我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的變化情況，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么呢？ 二．新課講授 （一）曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，割線的變化趨勢(shì)是什么？ 圖3.1-2 我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線. 問(wèn)題：⑴割線的斜率與切線PT的斜率有什么關(guān)系？ ⑵切線PT的斜率為多少？ 容易知道，割線的斜率是,當(dāng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn)P時(shí)，無(wú)限趨近于切線PT的斜率，即 說(shuō)明：（1）設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率. 這個(gè)概念: ①提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法; ②切線斜率的本質(zhì)—函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù). （2）曲線在某點(diǎn)處的切線:1)與該點(diǎn)的位置有關(guān);2)要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與求解.如有極限,則在此點(diǎn)有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點(diǎn)處無(wú)切線;3)曲線的切線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),可以有多個(gè),甚至可以無(wú)窮多個(gè). （二）導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn)處的切線的斜率， 即 說(shuō)明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟: ①求出P點(diǎn)的坐標(biāo); ②求出函數(shù)在點(diǎn)處的變化率 ，得到曲線在點(diǎn)的切線的斜率； ③利用點(diǎn)斜式求切線方程. （二）導(dǎo)函數(shù)： 由函數(shù)f(x)在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到,當(dāng)時(shí), 是一個(gè)確定的數(shù)，那么,當(dāng)x變化時(shí),便是x的一個(gè)函數(shù),我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作：或， 即: 注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)． （三）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù) 之間的區(qū)別與聯(lián)系。 1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。 2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的， 就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 3）函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 三．典例分析 例1:（1）求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程. （2）求函數(shù)y=3x2在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù). 解：（1）, 所以，所求切線的斜率為2，因此，所求的切線方程為即 （2）因?yàn)? 所以，所求切線的斜率為6，因此，所求的切線方程為即 （2）求函數(shù)f(x)=在附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)． 解： 例2．（課本例2）如圖3.1-3，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù) ，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲線在、、附近的變化情況． 解：我們用曲線在、、處的切線，刻畫曲線在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況． （1） 當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線平行于軸，所以，在附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降． （2） 當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減． （3） 當(dāng)時(shí)，曲線在處的切線的斜率，所以，在附近曲線下降，即函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 從圖3.1-3可以看出，直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度，這說(shuō)明曲線在附近比在附近下降的緩慢． 例3．（課本例3）如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度(單位：)隨時(shí)間（單位：）變化的圖象．根據(jù)圖像，估計(jì)時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率（精確到）． 解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線在此點(diǎn)處的切線的斜率． 如圖3.1-4，畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時(shí)刻藥物濃度瞬時(shí)變化率的近似值． 作處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如，，則它的斜率為： 所以 下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值： 0.2 0.4 0.6 0.8 藥物濃度瞬時(shí)變化率 0.4 0 -0.7 -1.4 四．課堂練習(xí) 1．求曲線y=f(x)=x3在點(diǎn)處的切線； 2．求曲線在點(diǎn)處的切線． 五．回顧總結(jié) 1．曲線的切線及切線的斜率； 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 六．布置作業(yè)  1.2.1幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目標(biāo)： 1．使學(xué)生應(yīng)用由定義求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟推導(dǎo)四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式； 2．掌握并能運(yùn)用這四個(gè)公式正確求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 教學(xué)重點(diǎn)：四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)： 四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 我們知道，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度．那么，對(duì)于函數(shù)，如何求它的導(dǎo)數(shù)呢？ 由導(dǎo)數(shù)定義本身，給出了求導(dǎo)數(shù)的最基本的方法，但由于導(dǎo)數(shù)是用極限來(lái)定義的，所以求導(dǎo)數(shù)總是歸結(jié)到求極限這在運(yùn)算上很麻煩，有時(shí)甚至很困難，為了能夠較快地求出某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這一單元我們將研究比較簡(jiǎn)捷的求導(dǎo)數(shù)的方法，下面我們求幾個(gè)常用的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 二．新課講授 1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，因?yàn)? 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù)圖像（圖3.2-1）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為0．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體的瞬時(shí)速度始終為0，即物體一直處于靜止?fàn)顟B(tài)． 2．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因?yàn)? 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù)圖像（圖3.2-2）上每一點(diǎn)處的切線的斜率都為1．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做瞬時(shí)速度為1的勻速運(yùn)動(dòng)． 3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因?yàn)? 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 表示函數(shù)圖像（圖3.2-3）上點(diǎn)處的切線的斜率都為，說(shuō)明隨著的變化，切線的斜率也在變化．另一方面，從導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)在一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率來(lái)看，表明：當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)減少得越來(lái)越慢；當(dāng)時(shí)，隨著的增加，函數(shù)增加得越來(lái)越快．若表示路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則可以解釋為某物體做變速運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)刻的瞬時(shí)速度為． 4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 因?yàn)? 所以 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) （2）推廣：若，則 三．課堂練習(xí) 1．課本P13探究1 2．課本P13探究2 4．求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 四．回顧總結(jié) 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 五．布置作業(yè) 　　 1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 教學(xué)目標(biāo)： 1．熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式； 2．掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則； 3．能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． 教學(xué)重點(diǎn)：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 教學(xué)難點(diǎn)： 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) 四種常見函數(shù)、、、的導(dǎo)數(shù)公式及應(yīng)用 二．新課講授 （一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) （二）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 1． 2． 3． （2）推論： （常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)） 三．典例分析 例1．假設(shè)某國(guó)家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價(jià)（單位：元）與時(shí)間（單位：年）有如下函數(shù)關(guān)系，其中為時(shí)的物價(jià)．假定某種商品的，那么在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？ 解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有 所以（元/年） 因此，在第10個(gè)年頭，這種商品的價(jià)格約為0.08元/年的速度上漲． 例2．根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． （1） （2）y ＝； （3）y ＝x sin x ln x； （4）y ＝； （5）y ＝． （6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex （7） y ＝ 【點(diǎn)評(píng)】 ① 求導(dǎo)數(shù)是在定義域內(nèi)實(shí)行的．② 求較復(fù)雜的函數(shù)積、商的導(dǎo)數(shù)，必須細(xì)心、耐心． 例3日常生活中的飲水通常是經(jīng)過(guò)凈化的．隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知將1噸水凈化到純凈度為時(shí)所需費(fèi)用（單位：元）為 求凈化到下列純凈度時(shí)，所需凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率：（1） （2） 解：凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． （1） 因?yàn)?，所以，純凈度為時(shí)，費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是52.84元/噸． （2） 因?yàn)?，所以，純凈度為時(shí)，費(fèi)用的瞬時(shí)變化率是1321元/噸． 函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點(diǎn)附近變化的快慢．由上述計(jì)算可知，．它表示純凈度為左右時(shí)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率，大約是純凈度為左右時(shí)凈化費(fèi)用的瞬時(shí)變化率的25倍．這說(shuō)明，水的純凈度越高，需要的凈化費(fèi)用就越多，而且凈化費(fèi)用增加的速度也越快． 四．課堂練習(xí) 1．課本P92練習(xí) 2．已知曲線C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)的切線方程； （y ＝－12 x ＋8） 五．回顧總結(jié) （1）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 （2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 六．布置作業(yè) 　　 1.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 教學(xué)目標(biāo) 理解并掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則． 教學(xué)重點(diǎn) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)之積． 教學(xué)難點(diǎn) 正確分解復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，做到不漏，不重，熟練，正確． 一．創(chuàng)設(shè)情景 （一）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表 函數(shù) 導(dǎo)數(shù) （二）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則 1． 2． 3． （2）推論： （常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)） 二．新課講授 復(fù)合函數(shù)的概念 一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)和，如果通過(guò)變量，可以表示成的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，記作。 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為，即對(duì)的導(dǎo)數(shù)等于對(duì)的導(dǎo)數(shù)與對(duì)的導(dǎo)數(shù)的乘積． 若，則 三．典例分析 例1求y ＝sin（tan x2）的導(dǎo)數(shù)． 【點(diǎn)評(píng)】 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，關(guān)鍵在于搞清楚復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，明確復(fù)合次數(shù)，由外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo)，直到關(guān)于自變量求導(dǎo)，同時(shí)應(yīng)注意不能遺漏求導(dǎo)環(huán)節(jié)并及時(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)果． 例2求y ＝的導(dǎo)數(shù)． 【點(diǎn)評(píng)】本題練習(xí)商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．求導(dǎo)數(shù)后要予以化簡(jiǎn)整理． 例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的導(dǎo)數(shù)． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x ＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【點(diǎn)評(píng)】 解法一是先化簡(jiǎn)變形，簡(jiǎn)化求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，要注意變形準(zhǔn)確．解法二是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，應(yīng)注意不漏步． 例4曲線y ＝x（x ＋1）（2－x）有兩條平行于直線y ＝x的切線，求此二切線之間的距離． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－或x ＝1． 于是切點(diǎn)為P（1，2），Q（－，－）， 過(guò)點(diǎn)P的切線方程為，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 顯然兩切線間的距離等于點(diǎn)Q 到此切線的距離，故所求距離為＝． 四．課堂練習(xí) 1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) y =sinx3+sin33x；（2）;(3) 2.求的導(dǎo)數(shù) 五．回顧總結(jié) 六．布置作業(yè) 1.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（2課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)： 1．了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系； 2．能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對(duì)多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次； 教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學(xué)難點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的贈(zèng)與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的．通過(guò)研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對(duì)數(shù)量的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解．下面，我們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用． 二．新課講授 1．問(wèn)題：圖3.3-1（1），它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像． 運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過(guò)觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)： （1） 運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，． （2） 從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨時(shí)間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，． 2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系． 如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在 點(diǎn)處的切線的斜率． 在處，，切線是“左下右上”式的， 這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞增； 在處，，切線是“左上右下”式的， 這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說(shuō)明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù)； （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間； （4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． 三．典例分析 例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)，或時(shí)，； 當(dāng)，或時(shí)， 試畫出函數(shù)圖像的大致形狀． 解：當(dāng)時(shí)，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)，或時(shí)，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 當(dāng)，或時(shí)，，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)”． 綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示． 例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因?yàn)椋裕? 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示． （2）因?yàn)椋裕? 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示． （3）因?yàn)?，所以? 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示． （4）因?yàn)椋? ． 當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù) ； 當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù) ； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生練 例3 如圖3.3-6，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像． 分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來(lái)越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況． 解： 思考：例3表明，通過(guò)函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大， 那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快， 這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”； 反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些． 如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”， 在或內(nèi)的圖像“平緩”． 例4 求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 證明：因?yàn)? 當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 說(shuō)明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟： （1）求導(dǎo)函數(shù)； （2）判斷在內(nèi)的符號(hào)； （3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)． 例5 已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，解之得： 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為． 說(shuō)明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來(lái)求解，注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略，否則漏解． 四．課堂練習(xí) 1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．課本 練習(xí) 五．回顧總結(jié) （1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 （2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間 （3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性 六．布置作業(yè) 1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)（2課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)： 1.理解極大值、極小值的概念； 2.能夠運(yùn)用判別極大值、極小值的方法來(lái)求函數(shù)的極值； 3.掌握求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟； 教學(xué)重點(diǎn)：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)極大、極小值概念的理解及求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟. 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 觀察圖3.3-8，我們發(fā)現(xiàn)，時(shí)，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員距水面高度最大．那么，函數(shù)在此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點(diǎn)附近的圖像有什么特點(diǎn)？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有什么變化規(guī)律？ 放大附近函數(shù)的圖像，如圖3.3-9．可以看出；在，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，；這就說(shuō)明，在附近，函數(shù)值先增（，）后減（，）．這樣，當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過(guò)時(shí)，先正后負(fù)，且連續(xù)變化，于是有． 對(duì)于一般的函數(shù)，是否也有這樣的性質(zhì)呢？ 附：對(duì)極大、極小值概念的理解，可以結(jié)合圖象進(jìn)行說(shuō)明.并且要說(shuō)明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的. 從圖象觀察得出，判別極大、極小值的方法.判斷極值點(diǎn)的關(guān)鍵是這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào) 二．新課講授 1．問(wèn)題：圖3.3-1（1），它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像，圖3.3-1（2）表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖像． 運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)，以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別？ 通過(guò)觀察圖像，我們可以發(fā)現(xiàn)： （3） 運(yùn)動(dòng)員從起點(diǎn)到最高點(diǎn)，離水面的高度隨時(shí)間的增加而增加，即是增函數(shù)．相應(yīng)地，． （4） 從最高點(diǎn)到入水，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度隨時(shí)間的增加而減少，即是減函數(shù)．相應(yīng)地，． 2．函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像，探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系． 如圖3.3-3，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．在處，，切線是“左下右上”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞增；在處，，切線是“左上右下”式的，這時(shí)，函數(shù)在附近單調(diào)遞減． 結(jié)論：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 說(shuō)明：（1）特別的，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)． 3．求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟： （1）確定函數(shù)的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù)； （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間； （4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間． 三．典例分析 例1．已知導(dǎo)函數(shù)的下列信息： 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)，或時(shí)，； 當(dāng)，或時(shí)， 試畫出函數(shù)圖像的大致形狀． 解：當(dāng)時(shí)，，可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增； 當(dāng)，或時(shí)，；可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 當(dāng)，或時(shí)，，這兩點(diǎn)比較特殊，我們把它稱為“臨界點(diǎn)”． 綜上，函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示． 例2．判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間． （1）； （2） （3）； （4） 解：（1）因?yàn)?，所以? 因此，在R上單調(diào)遞增，如圖3.3-5（1）所示． （2）因?yàn)?，所以? 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（2）所示． （5） 因?yàn)?，所以? 因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，如圖3.3-5（3）所示． （6） 因?yàn)?，所? ． 當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù) ； 當(dāng)，即 時(shí)，函數(shù) ； 函數(shù)的圖像如圖3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生練 例6 如圖3.3-6，水以常速（即單位時(shí)間內(nèi)注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，請(qǐng)分別找出與各容器對(duì)應(yīng)的水的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系圖像． 分析：以容器（2）為例，由于容器上細(xì)下粗，所以水以常速注入時(shí)，開始階段高度增加得慢，以后高度增加得越來(lái)越快．反映在圖像上，（A）符合上述變化情況．同理可知其它三種容器的情況． 解： 思考：例3表明，通過(guò)函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，還可以看出其變化的快慢．結(jié)合圖像，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎？ 一般的，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化的快，這時(shí)，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些．如圖3.3-7所示，函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”，在或內(nèi)的圖像“平緩”． 例7 求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 證明：因?yàn)? 當(dāng)即時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)． 說(shuō)明：證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟： （1）求導(dǎo)函數(shù)； （2）判斷在內(nèi)的符號(hào)； （3）做出結(jié)論：為增函數(shù)，為減函數(shù)． 例8 已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：，因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，解之得： 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為． 說(shuō)明：已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型，常利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”來(lái)求解，注意此時(shí)公式中的等號(hào)不能省略，否則漏解． 四．課堂練習(xí) 1．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．課本P101練習(xí) 五．回顧總結(jié) （1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 （2）求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間 （3）證明可導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性 六．布置作業(yè) 1.3.3函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)（2課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)： ⒈使學(xué)生理解函數(shù)的最大值和最小值的概念，掌握可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上所有點(diǎn)（包括端點(diǎn)）處的函數(shù)中的最大（或最?。┲当赜械某浞謼l件； ⒉使學(xué)生掌握用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值的方法和步驟 教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值和最小值的方法． 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)的極大值和極小值的區(qū)別與聯(lián)系． 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 我們知道，極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)．也就是說(shuō)，如果是函數(shù)的極大（小）值點(diǎn)，那么在點(diǎn)附近找不到比更大（?。┑闹担?，在解決實(shí)際問(wèn)題或研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們更關(guān)心函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上，哪個(gè)至最大，哪個(gè)值最小．如果是函數(shù)的最大（?。┲?，那么不?。ù螅┯诤瘮?shù)在相應(yīng)區(qū)間上的所有函數(shù)值． 二．新課講授 觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間上的函數(shù)的圖象．圖中與是極小值，是極大值．函數(shù)在上的最大值是，最小值是． 1．結(jié)論：一般地，在閉區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么函數(shù)在上必有最大值與最小值． 說(shuō)明：⑴如果在某一區(qū)間上函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上連續(xù)．（可以不給學(xué)生講） ⑵給定函數(shù)的區(qū)間必須是閉區(qū)間，在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值．如函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值； ⑶在閉區(qū)間上的每一點(diǎn)必須連續(xù)，即函數(shù)圖像沒有間斷， ⑷函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（可以不給學(xué)生講） 2．“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系 ⑴最值”是整體概念，是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對(duì)性；而“極值”是個(gè)局部概念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對(duì)性． ⑵從個(gè)數(shù)上看，一個(gè)函數(shù)在其定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一； ⑶函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè) ⑷極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值． 3．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟: 由上面函數(shù)的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了． 一般地，求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下： ⑴求在內(nèi)的極值； ⑵將的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，得出函數(shù)在上的最值 三．典例分析 例1．（課本例5）求在的最大值與最小值 解： 由例4可知，在上，當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為，又由于， 因此，函數(shù)在的最大值是4，最小值是． 上述結(jié)論可以從函數(shù)在上的圖象得到直觀驗(yàn)證． 四．課堂練習(xí) 1．下列說(shuō)法正確的是( ) A.函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值 B.函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值 C.函數(shù)的最值一定是極值 D.在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值 2．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,則f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3．函數(shù)y=，在［－1，1］上的最小值為( ) A.0 B.－2 C.－1 D. 4．求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值． 5．課本 練習(xí) 五．回顧總結(jié) 1．函數(shù)在閉區(qū)間上的最值點(diǎn)必在下列各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)； 2．函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件； 3．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最值；開區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值，若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值 4．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值方法． 六．布置作業(yè) 1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（2課時(shí)） 教學(xué)目標(biāo)： 1． 使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用 提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題． 教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題． 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題．通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題． 二．新課講授 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題；4、效率最值問(wèn)題。 解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具． 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路： 建立數(shù)學(xué)模型 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題的答案 三．典例分析 例1．汽油的使用效率何時(shí)最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽車速度的函數(shù)．根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個(gè)問(wèn)題： （1） 是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含義是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值．如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）．這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問(wèn)題． 通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究， 人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過(guò)程中，汽油平均消耗率 （即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的 平均速度（單位：km/h）之間有 如圖所示的函數(shù)關(guān)系． 從圖中不能直接解決汽油使用效率最高的問(wèn)題．因此，我們首先需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問(wèn)題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問(wèn)題． 解：因?yàn)? 這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求的最小值．從圖象上看，表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率．進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，其斜率最小．在此切點(diǎn)處速度約為90． 因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時(shí)，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時(shí)的車速約為90．從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L． 例2．磁盤的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題 計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。 問(wèn)題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域． （1） 是不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？ （2） 為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？ 解：由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲(chǔ)量 （1） 它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大． （2） 為求的最大值，計(jì)算． 令，解得 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 因此時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為 例3．飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響 （1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？ （2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？ 【背景知識(shí)】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問(wèn)題：（１）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？ 　　 （２）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最?。? 解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 令 解得 （舍去） 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高； 當(dāng)半徑時(shí)， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低． （1） 半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值． （2） 半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大． 換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？ 有圖像知：當(dāng)時(shí)，，即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)才為正值． 當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最?。? 說(shuō)明： 四．課堂練習(xí) 1．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．（高為1.2 m，最大容積） 5．課本 練習(xí) 五．回顧總結(jié) 建立數(shù)學(xué)模型 1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路： 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題的答案 2．解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：通過(guò)搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得到解決．在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有利的工具。 六．布置作業(yè)  1.5.3定積分的概念 授課人：陳聯(lián)沁 班級(jí)：高二(13) 時(shí)間：2007-12-10 教學(xué)目標(biāo)： 1.通過(guò)求曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程，了解定積分的背景； 2.借助于幾何直觀定積分的基本思想，了解定積分的概念，能用定積分定義求簡(jiǎn)單的定積分； 3.理解掌握定積分的幾何意義． 教學(xué)重點(diǎn)：定積分的概念、用定義求簡(jiǎn)單的定積分、定積分的幾何意義． 教學(xué)難點(diǎn)：定積分的概念、定積分的幾何意義． 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景 復(fù)習(xí)： 1． 回憶前面曲邊梯形的面積，汽車行駛的路程等問(wèn)題的解決方法，解決步驟： 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取極限（逼近） 2．對(duì)這四個(gè)步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn)． 二．新課講授 1．定積分的概念 一般地，設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn) 將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為（），在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式： 如果無(wú)限接近于（亦即）時(shí)，上述和式無(wú)限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：， 其中積分號(hào)，－積分上限，－積分下限，－被積函數(shù)，－積分變量，－積分區(qū)間，－被積式。 說(shuō)明：（1）定積分是一個(gè)常數(shù)，即無(wú)限趨近的常數(shù)（時(shí)）記為，而不是． （2）用定義求定積分的一般方法是：①分割：等分區(qū)間；②近似代替：取點(diǎn)；③求和：；④取極限： （3）曲邊圖形面積：；變速運(yùn)動(dòng)路程；變力做功 2．定積分的幾何意義 從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線和曲線所圍成的曲邊梯形(如圖中的陰影部分)的面積，這就是定積分的幾何意義。 說(shuō)明：一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、函數(shù)的圖形以及直線之間各部分面積的代數(shù)和，在軸上方的面積取正號(hào)，在軸下方的面積去負(fù)號(hào)。 分析：一般的，設(shè)被積函數(shù)，若在上可取負(fù)值。 考察和式 不妨設(shè) 于是和式即為 陰影的面積—陰影的面積（即軸上方面積減軸下方的面積） 思考：根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積分表示圖中陰影部分的面積S嗎？ 3．定積分的性質(zhì) 根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)： 性質(zhì)1； 性質(zhì)2（定積分的線性性質(zhì)）； 性質(zhì)3（定積分的線性性質(zhì)）； 性質(zhì)4（定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性） (1) ； (2) ； 說(shuō)明：①推廣： ②推廣: ③性質(zhì)解釋： 性質(zhì)4 性質(zhì)1 三．典例分析 例1．利用定積分的定義，計(jì)算的值。 分析：令； （１）分割 把區(qū)間n等分，則第i個(gè)區(qū)間為：，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為：； （２）近似代替、求和 取，則（３）取極限 . 例2．計(jì)算定積分 1 2 y x O 分析：所求定積分是所圍成的梯形面積，即為如圖陰影部分面積，面積為。 即： 思考：若改為計(jì)算定積分呢？ 改變了積分上、下限，被積函數(shù)在上 出現(xiàn)了負(fù)值如何解決呢？（后面解決的問(wèn)題） 例３．計(jì)算定積分 分析：利用定積分性質(zhì)有， 利用定積分的定義分別求出，，就能得到的值。 四．課堂練習(xí) 計(jì)算下列定積分 1． 2． 3．課本練習(xí)：計(jì)算的值，并從幾何上解釋這個(gè)值表示什么？ 五．回顧總結(jié)