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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 概率與統(tǒng)計(jì)(第8課)總體分布估計(jì)教案 湘教版選修2 教學(xué)目的： 1了解當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，可用頻率分布表或頻率分布條形圖估計(jì)總體分布，并會(huì)用這兩種方式估計(jì)總體分布； ⒉了解當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值較多，甚至無(wú)限時(shí)，可用頻率分布表或頻率分布直方圖估計(jì)總體分布，并會(huì)用這兩種方式估計(jì)總體分布 教學(xué)重點(diǎn)：用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布 教學(xué)難點(diǎn)：頻率分布表和頻率分布直方圖的繪制 授課類(lèi)型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析： 統(tǒng)計(jì)學(xué)中有兩個(gè)核心問(wèn)題，一是如何從整體中抽取樣本？二是如何用樣本估計(jì)總體？經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)了解了一些常用的抽樣方法．本節(jié)課，我們?cè)诔踔袑W(xué)過(guò)樣本的頻率分布的基礎(chǔ)上，研究總體的分布及其估計(jì) 教學(xué)過(guò)程： 一、復(fù)習(xí)引入： 1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N．如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱(chēng)這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣⑴用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為；在整個(gè)抽樣過(guò)程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為； ⑵簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是，逐個(gè)抽取，且各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等； ⑶簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀(guān)性與公平性，是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)．（4）.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：它是不放回抽樣；它是逐個(gè)地進(jìn)行抽??；它是一種等概率抽樣 2.抽簽法：先將總體中的所有個(gè)體（共有N個(gè)）編號(hào)（號(hào)碼可從1到N），并把號(hào)碼寫(xiě)在形狀、大小相同的號(hào)簽上（號(hào)簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽簽時(shí)每次從中抽一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本 適用范圍：總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí) 優(yōu)點(diǎn)：抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不太多時(shí)適宜采用抽簽法． 　 3.隨機(jī)數(shù)表法： 隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，選定開(kāi)始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號(hào)碼 4.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到需要的樣本，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣．系統(tǒng)抽樣的步驟：①采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，有時(shí)可直接采用個(gè)體所帶有的號(hào)碼，如考生的準(zhǔn)考證號(hào)、街道上各戶(hù)的門(mén)牌號(hào)，等等②為將整個(gè)的編號(hào)分段（即分成幾個(gè)部分），要確定分段的間隔k當(dāng)（N為總體中的個(gè)體的個(gè)數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)，k=;當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，通過(guò)從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)能被n整除，這時(shí)k=.③在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào) ④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔k，得到第2個(gè)編號(hào)+k,第3個(gè)編號(hào)+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本） ①系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況，它與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后的每一部分進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣； ②與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀(guān)的、公平的． ③總體中的個(gè)體數(shù)恰好能被樣本容量整除時(shí)，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣先從總體中剔除少量個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除在進(jìn)行系統(tǒng)抽樣 5.分層抽樣: 當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層 6.不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個(gè)體后不再將它放回總體，稱(chēng)這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個(gè)體后再將它放回總體，稱(chēng)這樣的抽樣為放回抽樣． 隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣 7. 分布列: ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 分布列的兩個(gè)性質(zhì)： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…； ⑵P1+P2+…=1 二、講解新課： ⒈頻率分布表或頻率分布條形圖 歷史上有人通過(guò)作拋擲硬幣的大量重復(fù)試驗(yàn)，得到了如下試驗(yàn)結(jié)果： 試驗(yàn)結(jié)果 頻數(shù) 頻率 正面向上(0) 36124 0.5011 反面向上(1) 35964 0.4989 拋擲硬幣試驗(yàn)的結(jié)果的全體構(gòu)成一個(gè)總體，則上表就是從總體中抽取容量為72088的相當(dāng)大的樣本的頻率分布表．盡管這里的樣本容量很大，但由于不同取值僅有2個(gè)（用0和1表示），所以其頻率分布可以用上表和右面的條形圖表示．其中條形圖是用高來(lái)表示取各值的頻率． 試驗(yàn)結(jié)果 概率 正面向上(記為0) 0．5 反面向上(記為1) 0．5 說(shuō)明：⑴頻率分布表在數(shù)量表示上比較確切，而頻率分布條形圖比較直觀(guān)，兩者相互補(bǔ)充，使我們對(duì)數(shù)據(jù)的頻率分布情況了解得更加清楚．⑵①各長(zhǎng)條的寬度要相同；②相鄰長(zhǎng)條之間的間隔要適當(dāng)． 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，兩種試驗(yàn)結(jié)果的頻率值就成為相應(yīng)的概率，得到右表，除了抽樣造成的誤差，精確地反映了總體取值的概率分布規(guī)律．這種整體取值的概率分布規(guī)律通常稱(chēng)為總體分布. 說(shuō)明：頻率分布與總體分布的關(guān)系： ⑴通過(guò)樣本的頻數(shù)分布、頻率分布可以估計(jì)總體的概率分布. ⑵研究總體概率分布往往可以研究其樣本的頻數(shù)分布、頻率分布. 2.總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律 在實(shí)踐中，往往是從總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布一般地，樣本容量越大，這種估計(jì)就越精確 3.總體密度曲線(xiàn):樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率．設(shè)想樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無(wú)限接近于一條光滑曲線(xiàn),這條曲線(xiàn)叫做總體密度曲線(xiàn)． 它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率．根據(jù)這條曲線(xiàn)，可求出總體在區(qū)間(a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線(xiàn)，直線(xiàn)x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積． 三、講解范例： 例1．為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5歲~18歲的男生的體重情況,結(jié)果如下(單位:kg) 56.5 69.5 65 61.5 64.5 66.5 64 64.5 76 58.5 72 73.5 56 67 70 57.5 65.5 68 71 75 62 68.5 62.5 66 59.5 63.5 64.5 67.5 73 68 55 72 66.5 74 63 60 55.5 70 64.5 58 64 70.5 57 62.5 65 69 71.5 73 62 58 76 71 66 63.5 56 59.5 63.5 65 70 74.5 68.5 64 55.5 72.5 66.5 68 76 57.5 60 71.5 57 69.5 74 64.5 59 61.5 67 68 63.5 58 59 65.5 62.5 69.5 72 64.5 75.5 68.5 64 62 65.5 58.5 67.5 70.5 65 66 66.5 70 63 59.5 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫(huà)出樣本的頻率分布直方圖,并對(duì)相應(yīng)的總體分布作出估計(jì) 解:按照下列步驟獲得樣本的頻率分布. (1)求最大值與最小值的差.在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，它們的差(又稱(chēng)為極差)是76—55=21)所得的差告訴我們，這組數(shù)據(jù)的變動(dòng)范圍有多大. (2)確定組距與組數(shù).如果將組距定為2，那么由212=10.5，組數(shù)為11，這個(gè)組數(shù)適合的.于是組距為2，組數(shù)為11. （3）決定分點(diǎn).根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，第1小組的起點(diǎn)可取為54.5，第1小組的終點(diǎn)可取為56.5，為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)既是起點(diǎn)，又是終點(diǎn)從而造成重復(fù)計(jì)算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開(kāi)”的.這樣，所得到的分組是 ［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）. （4）列頻率分布表,如表① 頻率分布表 分組 頻數(shù)累計(jì) 頻數(shù) 頻率 ［54.5，56.5） 2 0.02 ［56.5，58.5） 6 0.06 ［58.5，60.5） 10 0.10 ［60.5，62.5） 10 0.10 ［62.5，64.5） 14 0.14 ［64.5，66.5） 16 0.16 ［66.5，68.5） 13 0.13 ［68.5，70.5） 11 0.11 ［70.5，72.5） 8 0.08 ［72.5，74.5） 7 0.07 ［74.5，76.5） 3 0.03 合計(jì) 100 1.00 （5）繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方圖如圖所示 由于圖中各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，這個(gè)圖形的面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小.在反映樣本的頻率分布方面，頻率分布表比較確切，頻率分布直方圖比較直觀(guān)，它們起著相互補(bǔ)充的作用. 在得到了樣本的頻率后，就可以對(duì)相應(yīng)的總體情況作出估計(jì).例如可以估計(jì)，體重在（64.5，66.5）kg的學(xué)生最多，約占學(xué)生總數(shù)的16%；體重小于58.5kg的學(xué)生較少，約占8%；等等 例2．對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下： 壽命（ｈ） 100～200 200～300 300～400 400～500 500～600 個(gè)數(shù) 20 30 80 40 30 出頻率分布表； （２）畫(huà)出頻率分布直方圖和累計(jì)頻率分布圖； （３）估計(jì)電子元件壽命在100ｈ～400ｈ以?xún)?nèi)的概率； 壽命 300 200 100 500 400 600 頻率分布直方圖 （４）估計(jì)電子元件壽命在400ｈ以上的概率； （５）估計(jì)總體的數(shù)學(xué)期望值 解：（１） 壽命 頻數(shù) 頻率 累計(jì)頻率 100～200 20 0.1 0.10 200～300 30 0.15 0.25 300～400 80 0.40 0.65 400～500 40 0.20 0.85 500～600 30 0.15 1 合計(jì) 200 1 （２）頻率分布直方圖如右和累計(jì)頻率分布圖如下 累計(jì)頻率 壽命 300 200 100 500 400 600 1 0.20 0.40 0.10 0.80 0.60 0 （３）頻率分布圖可以看出，壽命在100ｈ～400ｈ的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計(jì)電子元件壽命在100ｈ～400ｈ的概率為0.65 （４）由頻率分布表可知，壽命在400ｈ以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為 0.20+0.15＝0.35，故我們估計(jì)電子元件壽命在400ｈ以上的概率為0.35 （５）樣本的期望值為 所以，我們估計(jì)總體生產(chǎn)的電子元件壽命的期望值（總體均值）為365ｈ 四、課堂練習(xí)： 1 . 為檢測(cè)某種產(chǎn)品的質(zhì)量，抽取了一個(gè)容量為30的樣本，檢測(cè)結(jié)果為一級(jí)品5件，二級(jí)品8件，三級(jí)品13件，次品14件． ⑴列出樣本頻率分布表； ⑵畫(huà)出表示樣本頻率分布的條形圖； ⑶根據(jù)上述結(jié)果，估計(jì)此種商品為二級(jí)品或三級(jí)品的概率約是多少？ 解：⑴樣本的頻率分布表為 產(chǎn)品 頻數(shù) 頻率 一級(jí)品 5 0.17 二級(jí)品 8 0.27 三級(jí)品 13 0.43 次品 4 0.13 ⑵樣本頻率分布的條形圖如右： ⑶此種產(chǎn)品為二極品或三極品的概率為0.27+0.43=0.7 2. 如下表： 分 組 頻數(shù) 頻 率 分 組 頻數(shù) 頻 率 [10.75，10.85) 3 [11.25，11.35) 20 [10.85，10.95) 9 [11.35， 11.45) 7 [10.95，11.05) 13 [11.45， 11.55) 4 [11.05，11.15) 16 [11.55， 11.65) 2 [11.15，11.25) 26 合 計(jì) 100 ⑴完成上面的頻率分布表． ⑵根據(jù)上表，畫(huà)出頻率分布直方圖． ⑶根據(jù)上表，估計(jì)數(shù)據(jù)落在[10.95，11.35)范圍內(nèi)的概率約為多少? 答案：⑴⑵略． ⑶數(shù)據(jù)落在[10.95，11.35)范圍的頻率為0.13+0.16+0.26+0.20=0.75 　∴　落在[10.95，11.35)內(nèi)的概率約為0．75 五、小結(jié) ：用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，可以分成兩種情況討論： ⒈當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少（并不是總體中的個(gè)數(shù)很少）時(shí)，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及其相應(yīng)的頻率來(lái)表示，其幾何表示就是相應(yīng)的條形圖； ⒉當(dāng)總體中的個(gè)體取不同值較多、甚至無(wú)限時(shí)，對(duì)其頻率分布的研究要用到初中學(xué)過(guò)的整理樣本數(shù)據(jù)的知識(shí)． 它們的不同之處在于：前者的頻率分布表中列出的是幾個(gè)不同數(shù)值的頻率，相應(yīng)的條形圖是用其高度來(lái)表示取各個(gè)值的頻率；后者的頻率分布表列出的是在各個(gè)不同區(qū)間內(nèi)取值的頻率，相應(yīng)的直方圖是用圖形面積的大小來(lái)表示在各個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的頻率 六、課后作業(yè)： 七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略） 八、課后記：