2019-2020年高二數(shù)學(xué) 高二數(shù)學(xué) 空間的平行直線和異面直線同步教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 高二數(shù)學(xué) 空間的平行直線和異面直線同步教案 新人教A版 一、本講進度 第九章 直線、平面、簡單幾何體 9.2 空間的平行直線和異面直線 二、主要內(nèi)容 1、 空間兩條直線的位置關(guān)系; 2、 公理4及等角定理; 3、 異面直線位置關(guān)系的判斷,求兩條異面直線所成的角。 三、學(xué)習指導(dǎo) 1、在數(shù)學(xué)中,常常需要對研究對象進行分類討論。分類時必須使每一對象都屬于某一類,且僅屬于這一類,既不重復(fù)又不遺漏。其中,“二分法”是一種重要的分類方法。所謂“二分法”就是把所研究的對象分成互不相容的兩類,每個對象都屬于其中一類且僅屬于這一類。在運用二分法時,首先要確定一個分類標準,不同的分類標準可以得出不同的分類方法。如按“是否共面”的標準,空間直線;按“是否有公共點”的標準,空間直線。熟悉“二分法”,不僅可以深刻理解所研究的對象之間的關(guān)系,而且也是應(yīng)用反證法的基礎(chǔ)。 反證法是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要方法,同學(xué)們在高一數(shù)學(xué)中已經(jīng)接觸過。在立體幾何證明中,它是重要的常用的方法之一。 2、異面直線是相對于共面直線而言的,從集合的角度看,是共面直線構(gòu)成的集合的補集,因此,異面直線的特征是既不相交也不平行。其本質(zhì)屬性是這兩條直線不可能共面于任何一個平面。或者說,你不管怎樣找,總不可能找到一個平面同時經(jīng)過這兩條直線,注意:畫在兩個平面內(nèi)的直線不一定是異面直線。如下圖: a∥b a∩b=P 異面直線的判斷方法:(1)反證法;(2)判定定理:若aα,A∈α,Bα,Aα,則AB和a是異面直線,或?qū)懗桑篴α,b∩α=A,Aa,則a,b是異面直線。 3、為了精確地描述兩條異面直線不平行的特征,引進了異面直線所成角的概念。異面直線所成角的定義是建立在等角定理基礎(chǔ)上的,求異面直線所成角的大小,主要是利用定義法,具體的途徑有:①中位線法,②補形法。異面直線所成角的定義體現(xiàn)了立體向平面轉(zhuǎn)化的思想。 求異面直線所成的角一般分四步:(1)作圖;(2)證明;(3)計算;(4)結(jié)論。這也是立體幾何計算一般都要經(jīng)歷的四個步驟。 異面直線所成角的范圍是(0,]。 4、根據(jù)等角定理可知,若a∥b,a與c所成角為θ,則b與c所成角為θ。特例:a∥b,a⊥cb⊥c,形式與平面幾何有類似的地方,但圖形完全不同。 四、典型例題 例1、如圖,已知a,b,c不共面,它們相交于點P,A∈a,D∈a,B∈b,C∈c,求證BD和AC是異面直線。 分析: 法一:直接利用判定定理 ∵ AC平面PAC,D∈平面PAC,DAC,B平面PAC ∴ AC與BD是異面直線 法二:用反證法 假設(shè)AC與BD共面于β ∵ A、D、C三點不共線 ① ∴ β與平面ACD重合 ∴ aβ ∴ P∈β ∵ P、B、C三點不共線 ∴ β與平面PBC重合 ② 由①②知平面PAC與平面PBC重合 ∴ a,b,c共面,與已知矛盾 ∴ AC與BD異面 說明:在法一中,選平面PAC為基本面,也可以選平面PBD為基本面,總之,要習慣把直線放在平面內(nèi)。 例2、空間四邊形PABC,連對角線AC、PB,D、E分別是△PAB和△PBC的重心,求證:DEAC。 分析:養(yǎng)成用軌跡的思想看待圖形的習慣,即把點放在線上,把線放在面內(nèi)。 如把點D放在AB邊的中線AM上,再把PM、DE放在平面PEM內(nèi),延長PE交BC于N,連MN,則N為BC中點,平面PEM即為平面PMN。 △ PMN中 ∵ ∴ DEMN △ ABC中 ∵ MNAC ∴ DEAC 例3、空間四邊形DABC中,P、Q為邊CD上兩個不同的點,M、N為AB上兩個不同的點,連PM、QN,如圖,問圖中共有多少對異面直線? 分析:為使計算異面直線條數(shù)的過程中不出現(xiàn)重、漏的現(xiàn)象,可采用逐步添加的方法。首先考慮空間四邊形DABC的四條邊DA、AB、BC、CD連同對角線AC、BD,這六條線段可形成三對異面直線DA與BC,AB與CD,AC與BD。 其次添加線段PM,則除去與PM相交的CD、AB,又可新形成4對異面直線,即PM與DA、BC、AC、BD。 因QN與PM位置等同,當添上QN時,也同樣新增4對異面直線。 最后注意到,PM與QN也是異面直線。 ∴ 圖中共有3+4+4+1=12(對)異面直線 評注:對于復(fù)雜圖形,通常用分解等手段轉(zhuǎn)化為基本圖形。同時學(xué)會從運動的角度觀察圖形,如本題的逐步添加法。 例4、長方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,AA1=c,求異面直線BD1和B1C所成角的余弦值。 分析:顯然,通過平移在長方體的表面及內(nèi)部不可能構(gòu)造出一個BD1和B1C所成的角,但同時又為了使構(gòu)造出的角便于計算,故可考慮補上一個與已知長方體相同的長方體DCEF—D1C1E1F1。具體作法是:延長A1D1,使A1D1=D1F1,延長B1C1至E1,使B1C1=C1E1,連E1F1,分別過E1、F1,作E1EC1C,F(xiàn)1FD1D,連EF,則長方體C1D1F1E—CDFE為所作長方體。 ∵ BCD1F1 ∴ BD1CF1 ∴ ∠B1CF1就是異面直線BD1與B1C所成的角。 ∵ BD2=a2+b2 ∴ Rt△BDD1中,BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 ∴ CF12=BD12=a2+b2+c2 ∵ B1C2=b2+c2,B1F12=a2+4b2 ∴ △B1CF1中 cos∠B1CF1= (1) 當c>b時, cos∠B1CF1>0 ∴ ∠B1CF1為銳角,∠B1CF1就是異面直線BD1和B1C所成的角 (2) 當c- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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