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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第九課時 等比數(shù)列的前n項和教案（一） 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo)： 會用等比數(shù)列求和公式進行求和，靈活應(yīng)用公式與性質(zhì)解決一些相關(guān)問題；培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng). 教學(xué)重點： 1.等比數(shù)列的前n項和公式. 2.等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo). 教學(xué)難點： 靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問題. 教學(xué)過程： Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 前面我們一起學(xué)習(xí)有關(guān)等比數(shù)列的定義、通項公式及性質(zhì). (1)定義式：＝q(n≥2，q≠0) (2)通項公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0) (3)性質(zhì)：①a，G，b成等比數(shù)列G2＝ab ②在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq Ⅱ.講授新課 前面我們一起探討了等差數(shù)列的求和問題，等比數(shù)列的前n項和如何求?下面我們先來看引言. 引言中提到的問題是這樣的：求數(shù)列1，2，4，…，263的各項和.可看出，這一數(shù)列為一以a1＝1，q＝2的等比數(shù)列.這一問題相當(dāng)于求此數(shù)列的前64項的和. 1.前n項和公式 一般地，設(shè)有等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n項和是Sn＝a1＋a2＋…＋an. 剛才問題即為求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263 ① 我們發(fā)現(xiàn)，若在①式兩邊同乘以2，則得 2S64＝2＋4＋…＋263＋264 ② 由②－①可得：S64＝264－1 同理，可知，若Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an 又∵在等比數(shù)列中，an＝a1qn－1，∴a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1, qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn 不妨將上兩式相減可得(1－q)Sn＝a1－a1qn （1）當(dāng)q＝1，Sn＝na1 （2）當(dāng)q≠1時，Sn＝ ① 或Sn＝ ② 若已知a1，q，n，則選用公式①；當(dāng)已知a1，q，an時，則選用公式②. 2.例題講解 ［例1］求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項到第10項的和. 分析：等比數(shù)列的第5項到第10項可組成一新等比數(shù)列. 解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2 ∴an＝2n－1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512. 從第5項到第10項共有6項，它們的和為：＝1008. 答案：從第5項到第10項的和為1008. 解法二：從第5項到第10項的和為：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4 由a1＝1，q＝2得Sn＝＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023 S4＝24－1＝15，S10－S4＝1008. 答：從第5項到第10項的和為1008. ［例2］一條信息，若一人得知后用一小時將信息傳給兩個人，這兩個人又用一小時各傳給未知此信息的另外兩人，如此繼續(xù)下去，一天時間可傳遍多少人? 分析：得知信息的人數(shù)可組成一以1為首項，公比為2的等比數(shù)列. 解：根據(jù)題意可知，獲知此信息的人數(shù)依次為1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比數(shù)列. 一天內(nèi)獲知此信息的總?cè)藬?shù)為即為此數(shù)列的前24項之和S24＝＝224－1 答：一天時間可傳遍224－1人. 評述：應(yīng)先將所遇問題數(shù)學(xué)化，然后用有關(guān)知識加以解決. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P54練習(xí)1，2，3，4 Ⅳ.課時小結(jié) 等比數(shù)列求和公式：Sn＝或Sn＝ (q≠1)及推導(dǎo)方法：錯位相減法.是本節(jié)課應(yīng)重點掌握的內(nèi)容，課后應(yīng)進一步熟練公式掌握其基本應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P58習(xí)題 1，2，7 等比數(shù)列的前n項和(一) 1．若數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝an－1(a≠0)，則這個數(shù)列的特征是 （ ） A.等比數(shù)列 B.等差數(shù)列 C.等比或等差數(shù)列 D.非等差數(shù)列 2．等比數(shù)列{an}中，若S6＝91，S2＝7，則S4為 （ ） A.28 B.32 C.35 D.49 3．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an＝，若Sn＝9，則n等于 （ ） A.9 B.10 C.99 D.100 4．使數(shù)列10，10，10，…，10，…，前n項之積大于105，則自然數(shù)n值為（ ） A.6 B.9 C.11 D.12 5．已知兩數(shù)的等差中項是10，等比中項是8，則以這兩數(shù)為根的一元二次方程是 （ ） A.x2＋10x＋8＝0 B.x2－10x＋64＝0 C.x2＋20x＋64＝0 D.x2－20x＋64＝0 6．在等比數(shù)列中，若S10＝10，S20＝30，則S30＝ . 7．在正實數(shù)組成的等比數(shù)列中，若a4a5a6＝3，則log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝ . 8．在等比數(shù)列中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝3，a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝9，則a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝ . 9．已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則＝ . 10．?dāng)?shù)列1，2，3，…的前n項和為 . 11．已知等比數(shù)列中{an}：1，2，4，8，……，它的第n項為an，求a3n. 12．已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1 （1）設(shè)bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)，求證{bn}是等比數(shù)列； （2）設(shè)cn＝ (n＝1，2，…)，求證{cn}是等差數(shù)列； （3）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式. 等比數(shù)列的前n項和(一)答案 1．C 2．A 3．C 4．C 5．D 6．70 7． 8．27 9． 10．（n2＋n＋2）－ 11．a(chǎn)3n＝23n－1 12．已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1＝4an＋2(n＝1，2，…)，a1＝1 （1）設(shè)bn＝an+1－2an(n＝1，2，…)，求證{bn}是等比數(shù)列； （2）設(shè)cn＝ (n＝1，2，…)，求證{cn}是等差數(shù)列； （3）求數(shù)列{an}的通項公式及前n項和公式. 解：（1）∵Sn+1＝4an＋2 ① ∴Sn+2＝4an+1＋2 ② ②－①得：Sn+2－Sn+1＝4an+1－4an(n＝1，2，…)，即an+2＝4an+1－4an an+2－2an+1＝2(an+1－2an) ∵bn＝an+1－2an(n＝1，2，…) ∴bn+1＝2bn 由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列. 由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5 ∴b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝32n－1 (2)∵cn＝ (n＝1，2，…)， ∴cn+1－cn＝－＝＝ 將bn＝32n－1代入，得cn+1－cn＝ ( n＝1，2，…) 由此可知：數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，c1＝＝ 故cn＝＋（n－1）＝n－ (3)∵cn＝n－＝（3n－1） ∴an＝2ncn＝(3n－1)2n－2(n＝1，2，…) 當(dāng)n≥2時，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)2n－1＋2. 由于S1＝a1＝1也適合于此式, ∴前n項公式為：Sn＝(3n－4)2n－1＋2