2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第12講 空間中的夾角和距離教案 新人教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第12講 空間中的夾角和距離教案 新人教版 一.課標(biāo)要求: 1.掌握兩條直線所成的角和距離的概念及等角定理;(對(duì)于異面直線的距離,只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離)。 2.掌握點(diǎn)、直線到平面的距離,直線和平面所成的角; 3.掌握平行平面間的距離,會(huì)求二面角及其平面角; 二.命題走向 高考立體幾何試題一般共有4道(選擇、填空題3道, 解答題1道), 共計(jì)總分27分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)在20個(gè)以內(nèi)。隨著新的課程改革的進(jìn)一步實(shí)施,立體幾何考題正朝著“多一點(diǎn)思考,少一點(diǎn)計(jì)算”的發(fā)展,從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是??汲P碌臒衢T話題。 預(yù)測(cè)07年高考試題: (1)單獨(dú)求夾角和距離的題目多為選擇題、填空題,分值大約5分左右;解答題中的分步設(shè)問中一定有求夾角、距離的問題,分值為6分左右; (2)選擇、填空題考核立幾中的計(jì)算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提。 三.要點(diǎn)精講 1.距離 空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容,其內(nèi)容主要包括:點(diǎn)點(diǎn)距,點(diǎn)線距,點(diǎn)面距,線線距,線面距,面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離.因此,掌握點(diǎn)、線、面之間距離的概念,理解距離的垂直性和最近性,理解距離都指相應(yīng)線段的長度,懂得幾種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,所有這些都是十分重要的。 求距離的重點(diǎn)在點(diǎn)到平面的距離,直線到平面的距離和兩個(gè)平面的距離可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離,一個(gè)點(diǎn)到平面的距離也可以轉(zhuǎn)化成另外一個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離。 (1)兩條異面直線的距離 兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度,叫做兩條異面直線的距離;求法:如果知道兩條異面直線的公垂線,那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長度。 (2)點(diǎn)到平面的距離 平面外一點(diǎn)P 在該平面上的射影為P′,則線段PP′的長度就是點(diǎn)到平面的距離;求法:“一找二證三求”,三步都必須要清楚地寫出來。等體積法。 (3)直線與平面的距離:一條直線和一個(gè)平面平行,這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離,叫做這條直線和平面的距離; (4)平行平面間的距離:兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度,叫做兩個(gè)平行平面的距離。 求距離的一般方法和步驟:應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法,把所求的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之,其一般步驟是:①找出或作出表示有關(guān)距離的線段;②證明它符合定義;③歸到解某個(gè)三角形.若表示距離的線段不容易找出或作出,可用體積等積法計(jì)算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式,如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ,它們的公垂線AA′的長度為d ,在a 上有線段A′E =m ,b 上有線段AF =n ,那么EF =(“”符號(hào)由實(shí)際情況選定) 2.夾角 空間中的各種角包括異面直線所成的角,直線與平面所成的角和二面角,要理解各種角的概念定義和取值范圍,其范圍依次為0,90、[0,90]和[0,180]。 (1)兩條異面直線所成的角 求法:先通過其中一條直線或者兩條直線的平移,找出這兩條異面直線所成的角,然后通過解三角形去求得;通過兩條異面直線的方向量所成的角來求得,但是注意到異面直線所成角得范圍是,向量所成的角范圍是,如果求出的是鈍角,要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。 (2)直線和平面所成的角 求法:“一找二證三求”,三步都必須要清楚地寫出來。除特殊位置外,主要是指平面的斜線與平面所成的角,根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。 (3)二面角的度量是通過其平面角來實(shí)現(xiàn)的 解決二面角的問題往往是從作出其平面角的圖形入手,所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有:(Ⅰ)定義法;(Ⅱ)利用三垂線定理或逆定理;(Ⅲ)自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面,截二面角得兩條射線所成的角,俗稱垂面法.此外,當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí),可用射影面積法解之,cos q =,其中S 為斜面面積,S′為射影面積,q 為斜面與射影面所成的二面角。 3.等角定理 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,并且方向相同,那么這兩個(gè)角相等。 推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等。 四.典例解析 題型1:直線間的距離問題 例1.已知正方體的棱長為1,求直線DA與AC的距離。 解法1:如圖1連結(jié)AC,則AC∥面ACD, 連結(jié)DA、DC、DO,過O作OE⊥DO于E 因?yàn)锳C⊥面BBDD,所以AC⊥OE。 又OD⊥OE,所以O(shè)E⊥面ACD。 因此OE為直線DA與AC的距離。 在Rt△OOD中,,可求得 點(diǎn)評(píng):此題是異面直線的距離問題:可作出異面直線的公垂線。 圖2 解法2:如圖2連接AC、DC、BC、ABA,得到分別包含DA和AC的兩個(gè)平面ACD和平面ABC, 又因?yàn)锳C∥AC,AD∥BC,所以面ACD∥面ABC。 故DA與AC的距離就是平面ACD和平面ABC的距離,連BD分別交兩平面于兩點(diǎn),易證是兩平行平面距離。 不難算出,所以,所以異面直線BD與之間的距離為。 點(diǎn)評(píng):若考慮到異面直線的公垂線不易做出,可分別過兩異面直線作兩平面互相平行,則異面直線的距離就是兩平面的距離。 題型2:線線夾角 例2.如圖1,在三棱錐S—ABC中,,,,,求異面直線SC與AB所成角的余弦值。 圖1 解法1:用公式 當(dāng)直線平面,AB與所成的角為,l是內(nèi)的一條直線,l與AB在內(nèi)的射影所成的角為,則異面直線l與AB所成的角滿足。以此為據(jù)求解。 由題意,知平面ABC,,由三垂線定理,知,所以平面SAC。 因?yàn)?,由勾股定理,? 。 在中,,在中,。 設(shè)SC與AB所成角為,則, 解法2:平移 過點(diǎn)C作CD//BA,過點(diǎn)A作BC的平行線交CD于D,連結(jié)SD,則是異面直線SC與AB所成的角,如圖2。又四邊形ABCD是平行四邊形。 由勾股定理,得:。 圖2 在中,由余弦定理,得:。 點(diǎn)評(píng):若不垂直,可經(jīng)過如下幾個(gè)步驟求解:(1)恰當(dāng)選點(diǎn),作兩條異面直線的平行線,構(gòu)造平面角;(2)證明這個(gè)角(或其補(bǔ)角)就是異面直線所成角;(3)解三角形(常用余弦定理),求出所構(gòu)造角的度數(shù)。 題型3:點(diǎn)線距離 例3.(xx京皖春,15)正方形ABCD的邊長是2,E、F分別是AB和CD的中點(diǎn),將正方形沿EF折成直二面角(如圖所示).M為矩形AEFD內(nèi)一點(diǎn),如果∠MBE=∠MBC,MB和平面BCF所成角的正切值為,那么點(diǎn)M到直線EF的距離為 。 解析:過M作MO⊥EF,交EF于O,則MO⊥平面BCFE. 如圖所示,作ON⊥BC,設(shè)OM=x, 圖 又tanMBO=,∴BO=2x 又S△MBE=BEMBsinMBE=BEME S△MBC=BCMBsinMBC=BCMN ∴ME=MN,而ME=,MN=,解得x=。 點(diǎn)評(píng):該題較典型的反映了解決空間幾何問題的解題策略:化空間問題為平面問題來處理。 題型4:點(diǎn)面距離 例4.(xx福建理,18)如圖,四面體ABCD中,O、E分別BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2。 (Ⅰ)求證:AO⊥平面BCD; (Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大小; (Ⅲ)求點(diǎn)E到平面的距離。 (1)證明:連結(jié)OC。 ∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD。 ∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD。 在△AOC中,由已知可得AO=1,CO=。 而AC=2,∴AO2+CO2=AC2, ∴∠AOC=90,即AO⊥OC。 ∴AB平面BCD。 (Ⅱ)解:取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB,OE∥DC。 ∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角。 在△OME中, 是直角△AOC斜邊AC上的中線,∴ ∴ ∴異面直線AB與CD所成角的大小為 (Ⅲ)解:設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h. , ∴S△ACD =AOS△CDE. 在△ACD中,CA=CD=2,AD=, ∴S△ACD= 而AO=1, S△CDE= ∴h= ∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為。 點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí),考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 題型5:線面距離 例5.斜三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是邊長為4cm的正三角形,側(cè)棱AA1與底面兩邊AB、AC均成600的角,AA1=7。 (1)求證:AA1⊥BC; (2)求斜三棱柱ABC—A1B1C1的全面積; (3)求斜三棱柱ABC—A1B1C1的體積; (4)求AA1到側(cè)面BB1C1C的距離。 解析:設(shè)A1在平面ABC上的射影為0。 ∵ ∠A1AB=∠A1AC,∴ O在∠BAC的平行線AM上。 ∵ △ABC為正三角形,∴ AM⊥BC。 又AM為A1A在平面ABC上的射影,∴ A1A⊥BC (2) ∵ B1B∥A1A,∴ B1B⊥BC,即側(cè)面BB1C1C為矩形。 ∴ 又,∴ S全= (3)∵ cos∠A1AB=cos∠A1AOcos∠OAB,∴ cos∠A1AO= ∴ sin∠A1AO=,∴ A1O=A1Asin∠A1AO= ∴ (4)把線A1A到側(cè)面BB1C1C的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A或A1到平面BB1C1C的距離 為了找到A1在側(cè)面BB1C1C上的射影,首先要找到側(cè)面BB1C1C的垂面 設(shè)平面AA1M交側(cè)面BB1C1C于MM1 ∵ BC⊥AM,BC⊥A1A ∴ BC⊥平面AA1M1M ∴ 平面AA1M1M⊥側(cè)面BCC1B1 在平行四邊形AA1M1M中 過A1作A1H⊥M1M,H為垂足 則A1H⊥側(cè)面BB1C1C ∴ 線段A1H長度就是A1A到側(cè)面BB1C1C的距離 ∴ 點(diǎn)評(píng):線面距離往往轉(zhuǎn)化成點(diǎn)面距離來處理,最后可能轉(zhuǎn)化為空間幾何體的體積求得,體積法不用得到垂線。 題型6:線面夾角 例6.(xx浙江理,17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)。 (Ⅰ)求證:PB⊥DM; (Ⅱ)求CD與平面ADMN所成的角的正弦值。 解析:(I)因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),,所以。 因?yàn)槠矫?,所以? 從而平面. 因?yàn)槠矫妫? (II)取的中點(diǎn),連結(jié)、,則, 所以與平面所成的角和與平面所成的角相等。 因?yàn)槠矫?,所以是與平面所成的角。 在中,。 點(diǎn)評(píng):本題主要考查幾何體的概念、線面夾角、兩平面垂直等。能力方面主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。 題型7:面面距離 例7.在長方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2,如圖: (1)求證:平面A1BC1∥平面ACD1; (2)求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離; (3)求點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離。 (1)證明:由于BC1∥AD1,則BC1∥平面ACD1, 同理,A1B∥平面ACD1,則平面A1BC1∥平面ACD1。 (2)解:設(shè)兩平行平面A1BC1與ACD1間的距離為d,則d等于D1到平面A1BC1的距離。易求A1C1=5,A1B=2,BC1=,則cosA1BC1=,則sinA1BC1=,則S=。 由于,則Sd=BB1,代入求得d=,即兩平行平面間的距離為。 (3)解:由于線段B1D1被平面A1BC1所平分,則B1、D1到平面A1BC1的距離相等,則由(2)知點(diǎn)B1到平面A1BC1的距離等于。 點(diǎn)評(píng):立體幾何圖形必須借助面的襯托,點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來。在具體的問題中,證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個(gè)輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在,通過對(duì)這個(gè)平面的截得,延展或構(gòu)造,綱舉目張,問題就迎刃而解了。 題型8:面面角 例8.(xx四川理,19)如圖,在長方體中,分別是的中點(diǎn),分別是的中點(diǎn),。 (Ⅰ)求證:面; (Ⅱ)求二面角的大小。 (Ⅲ)求三棱錐的體積。 解析:(Ⅰ)證明:取的中點(diǎn),連結(jié) ∵分別為的中點(diǎn), ∵,∴面,面 ∴面面 ∴面 (Ⅱ)設(shè)為的中點(diǎn) ∵為的中點(diǎn) ∴ ∴面 作,交于,連結(jié),則由三垂線定理得。 從而為二面角的平面角。 在中,,從而。 在中,,故二面角的正切值為。 (Ⅲ), 作,交于,由面得, ∴面, ∴在中,, ∴。 點(diǎn)評(píng):求角和距離的基本步驟是作、證、算。此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過程,推理是運(yùn)算的基礎(chǔ),運(yùn)算只是推理過程的延續(xù)。如求二面角,只有根據(jù)推理過程找到二面角后,進(jìn)行簡單的運(yùn)算,才能求出。因此,求角與距離的關(guān)鍵還是直線與平面的位置關(guān)系的論證。 五.思維總結(jié) 空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系,空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等.解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決. 1.空間的角,是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念,由它們的定義,可得其取值范圍,如兩異面直線所成的角θ∈(0,),直線與平面所成的角θ∈,二面角的大小,可用它們的平面角來度量,其平面角θ∈(0,π)。 對(duì)于空間角的計(jì)算,總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角,并把它置于一個(gè)平面圖形,而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來解決,而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實(shí)現(xiàn)的,因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用.通過空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力. (1)求異面直線所成的角,一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”,作另一條直線的平行線;或過空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線,這樣就作出了兩異面直線所成的角θ,構(gòu)造一個(gè)含θ的三角形,解三角形即可。方法二是補(bǔ)形法:將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體,這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ。 (2)求直線與平面所成的角,一般先確定直線與平面的交點(diǎn)(斜足),然后在直線上取一點(diǎn)(除斜足外)作平面的垂線,再連接垂足和斜足(即得直接在平面內(nèi)的射影),最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形,求出直線與平面所成的角。 (3)求二面角,一般有直接法和間接法兩種。所謂直接法求二面角,就是作出二面角的平面角來解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有:①根據(jù)定義作二面角的平面角;②垂面法作二面角的平面角;③利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角;無棱二面角先作出棱后同上進(jìn)行。間接法主要是投影法:即在一個(gè)平面α上的圖形面積為S,它在另一個(gè)平面β上的投影面積為S′,這兩個(gè)平面的夾角為θ,則S′=Scosθ。 如求異面直線所成的角常用平移法(轉(zhuǎn)化為相交直線);求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角;而求二面角a-l-b的平面角(記作q)通常有以下幾種方法: (1) 根據(jù)定義; (2) 過棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面g,設(shè)g∩a=OA,g∩b=OB,則∠AOB=q(圖1); (3) 利用三垂線定理或逆定理,過一個(gè)半平面a內(nèi)一點(diǎn)A,分別作另一個(gè)平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C),連結(jié)AC,則∠ACB=q 或∠ACB=p-q(圖2); (4) 設(shè)A為平面a外任一點(diǎn),AB⊥a,垂足為B,AC⊥b,垂足為C,則∠BAC=q或∠BAC=p-q(圖3); (5) 利用面積射影定理,設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S,F(xiàn)在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S,則cosq=. 圖 1 圖 2 圖 3 2.空間的距離問題,主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間(限于給出公垂線段的)、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離. 求距離的一般方法和步驟是:一作——作出表示距離的線段;二證——證明它就是所要求的距離;三算——計(jì)算其值.此外,我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離. 求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點(diǎn): ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離,一般情況下,力求明確所求角或距離的位置. ②作線面角的方法除平移外,補(bǔ)形也是常用的方法之一;求線面角的關(guān)鍵是尋找兩“足”(斜足與垂足),而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理. ③求二面角高考中每年必考,復(fù)習(xí)時(shí)必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種: 根據(jù)定義或圖形特征作;根據(jù)三垂線定理(或其逆定理)作,難點(diǎn)在于找到面的垂線.解決辦法,先找面面垂直,利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線;作棱的垂面。作二面角的平面角應(yīng)把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“cosθ=”求二面角否則要適當(dāng)扣分。 ④求點(diǎn)到平面的距離常用方法是直接法與間接法,利用直接法求距離需找到點(diǎn)在面內(nèi)的射影,此時(shí)常考慮面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉(zhuǎn)移法. ⑤求角與距離的關(guān)鍵是將空間的角與距離靈活轉(zhuǎn)化為平面上的角與距離,然后將所求量置于一個(gè)三角形中,通過解三角形最終求得所需的角與距離 求距離的關(guān)鍵是化歸。即空間距離與角向平面距離與角化歸,各種具體方法如下: (1)求空間中兩點(diǎn)間的距離,一般轉(zhuǎn)化為解直角三角形或斜三角形。 (2)求點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到平面的距離,一般轉(zhuǎn)化為求直角三角形斜邊上的高;或利用三棱錐的底面與頂點(diǎn)的輪換性轉(zhuǎn)化為三棱錐的高,即用體積法。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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