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2019-2020年高中數(shù)學第一輪總復習 第十二章概率與統(tǒng)計12.3 統(tǒng)計教案 （理） 新人教A版 鞏固夯實基礎 一、自主梳理 1.抽樣 當總體中的個體較少時，一般可用簡單隨機抽樣；當總體中的個體較多時，一般可用系統(tǒng)抽樣；當總體由差異明顯的幾部分組成時，一般可用分層抽樣，而簡單隨機抽樣作為一種最簡單的抽樣方法，又在其中處于一種非常重要的地位.實施簡單隨機抽樣，主要有兩種方法:抽簽法和隨機數(shù)表法. 系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個體數(shù)較多的情況，因為這時采用簡單隨機抽樣就顯得不方便，系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣之間存在著密切聯(lián)系，即在將總體中的個體均勻分后的每一段進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣；與簡單隨機抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣也屬于等概率抽樣. 分層抽樣在內容上與系統(tǒng)抽樣是平行的，在每一層進行抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，分層抽樣也是等概率抽樣. 2.樣本與總體 用樣本估計總體是研究統(tǒng)計問題的一種思想方法.當總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及其相應的頻率來表示，其幾何表示就是相應的條形圖，當總體中的個體取不同值較多,甚至無限時，其頻率分布的研究要用到初中學過的整理樣本數(shù)據(jù)的知識. 用樣本估計總體，除在整體上用樣本的頻率分布去估計總體的分布以外，還可以從特征數(shù)上進行估計，即用樣本的平均數(shù)去估計總體的平均數(shù)，用關于樣本的方差(標準差)去估計總體的方差(標準差). 3.正態(tài)分布 正態(tài)分布在實際生產、生活中有著廣泛的應用，很多變量，如測量的誤差、產品的尺寸等服從或近似服從正態(tài)分布，利用正態(tài)分布的有關性質可以對產品進行假設檢驗. 4.線性回歸直線 設x、y是具有相關關系的兩個變量，且相應于n組觀察值的n個點大致分布在一條直線的附近，我們把整體上這n個點最接近的一條直線叫線性回歸直線. 鏈接提示 在三種抽樣中,簡單隨機抽樣是最簡單、最基本的抽樣方法,其他兩種抽樣方法是建立在它的基礎上的.三種抽樣方法的共同點是:它們都是等概率抽樣,體現(xiàn)了抽樣的公平性.三種抽樣方法各有其特點和適用范圍,在抽樣實踐中要根據(jù)具體情況選用相應的抽樣方法. 二、點擊雙基 1.一個總體中共有10個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一容量為3的樣本，則某特定個體入樣的概率是（ ） A. B. C. D. 解析:簡單隨機抽樣中每一個體的入樣概率為. 答案:C 2.某校為了了解學生的課外閱讀情況，隨機調查了50名學生，得到他們在某一天各自課外閱讀所用時間的數(shù)據(jù)，結果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學生這一天平均每人的課外閱讀時間為（ ） A.0.6 h B.0.9 h C.1.0 h D.1.5 h 解析:一天平均每人的課外閱讀時間應為一天的總閱讀時間與學生數(shù)的比，即 =0.9 h. 答案:B 3.一個年級有12個班,每個班有50名同學,隨機編號為1—50號,為了了解他們在課外的興趣愛好,要求每班的33號學生留下來參加閱卷調查,這里運用的抽樣方法是( ) A.分層抽樣法 B.抽簽法 C.隨機數(shù)表法 D.系統(tǒng)抽樣法 答案:D 4.如果隨機變量ξ—N(μ,σ2),且Eξ=3,Dξ=1,則P（-1＜ξ≤1＝等于（ ） A.2Φ(1)-1 B.Φ(4)-Φ(2) C.Φ(2)-Φ(4) D.Φ(-4)-Φ(-2) 解析:對正態(tài)分布，μ=Eξ=3,σ2=Dξ=1,故P（-1＜ξ≤1＝=Φ(1-3)-Φ(-1-3) =Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2). 答案:B 5.一個容量為20的樣本數(shù)據(jù),分組后組距為10,區(qū)間與頻率分布如下:（10,20）,2;（20,30）,3;（30,40],4;（40,50],5;（50,60],4;（60,70],2.則樣本在（-∞,50]上的頻率為( ) A. B. C. D. 解析：（-∞,50）上的頻數(shù)為14, ∴頻率為=. 答案:D 誘思實例點撥 【例1】 某批零件共160個，其中，一級品48個，二級品64個，三級品32個，等外品16個.從中抽取一個容量為20的樣本.請說明分別用簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時總體中的每個個體被取到的概率均相同. 剖析:要說明每個個體被取到的概率相同,只需計算出用三種抽樣方法抽取個體時,每個個體被取到的概率. 解:（1）簡單隨機抽樣法：可采取抽簽法，將160個零件按1—160編號，相應地制作1—160號的160個簽，從中隨機抽20個.顯然每個個體被抽到的概率為=. (2)系統(tǒng)抽樣法：將160個零件從1至160編上號，按編號順序分成20組，每組8個.然后在第1組用抽簽法隨機抽取一個號碼,如它是第k號（1≤k≤8）,則在其余組中分別抽取第k+8n(n=1,2,3,…,19)號，此時每個個體被抽到的概率為. （3）分層抽樣法：按比例=，分別在一級品、二級品、三級品、等外品中抽取48=6個，64=8個，32=4個，16=2個，每個個體被抽到的概率分別為，，，，即都是. 綜上,可知無論采取哪種抽樣，總體的每個個體被抽到的概率都是. 講評:三種抽樣方法的共同點就是每個個體被抽到的概率相同,這樣樣本的抽取體現(xiàn)了公平性和客觀性. 【例2】 將溫度調節(jié)器放置在貯存著某種液體的容器內,調節(jié)器設定在d℃,液體的溫度ξ(單位:℃)是一個隨機變量,且ξ—N(d,0.52). (1)若d=90,求ξ<89的概率; (2)若要保持液體的溫度至少為80 ℃的概率不低于0.99,問d至少是多少?〔其中若η—N(0,1),則Φ(2)=P(η<2)=0.977 2,Φ(-2.327)=P(η<-2.327)=0.01〕 剖析:(1)要求P(ξ<89)=F(89), ∵ξ—N(d,0.5)不是標準正態(tài)分布,而給出的是Φ(2)、Φ(-2.327),故需轉化為標準正態(tài)分布的數(shù)值.(2)轉化為標準正態(tài)分布下的數(shù)值求概率p,再利用p≥0.99,解d. 解:(1)P(ξ<89)=F(89)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8. (2)由已知d滿足0.99≤P(ξ≥80), 即1-P(ξ<80)≥1-0.01, ∴P(ξ<80)≤0.01. ∴Φ()≤0.01=Φ(-2.327). ∴≤-2.327. ∴d≤81.163 5. 故d至少為81.163 5. 講評:(1)若ξ—N(0,1),則η=—N(0,1). (2)標準正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)是偶函數(shù),x<0時,f(x)為增函數(shù);x>0時,f(x)為減函數(shù). 鏈接提示 在實際生活中,常用統(tǒng)計中假設檢驗的思想檢驗產品是否合格,方法是:(1)提出統(tǒng)計假設:某種指標服從正態(tài)分布N(μ,σ2);(2)確定一次試驗中的取值a;(3)作出統(tǒng)計推斷:若a∈(μ-3σ,μ+3σ),則接受假設;若a(μ-3σ,μ+3σ),則拒絕假設. 如:某磚瓦廠生產的磚的“抗斷強度”ξ服從正態(tài)分布N(30,0.8),質檢人員從該廠某一天生產的1 000塊磚中隨機抽查一塊,測得它的抗斷強度為27.5 kg/cm2,你認為該廠這天生產的這批磚是否合格?為什么? 思路分析:由于在一次試驗中ξ落在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內的概率為0.997,故ξ幾乎必然落在上述區(qū)間內.于是把μ=30,σ=0.8代入,算出區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)=(27.6,32.4),而27.5(27.6,32.4). ∴據(jù)此認為這批磚不合格. 【例3】 某城市從南郊某地乘公共汽車前往北區(qū)火車站有兩條路線可走,第一條路線穿過市區(qū),路線較短,但交通擁擠,所需時間(單位為:min)服從正態(tài)分布N(50,102);第二條路線沿環(huán)城公路走,路程較長,但交通阻塞少,所需時間服從正態(tài)分布N(60,42). (1)若只有70 min可用,問應走哪條路線? (2)若只有65 min可用,又應走哪條路線? 剖析:最佳路線是在允許的時間內有較大概率及時趕到火車站的那條路線. 解:設ξ為行車時間. (1)走第一條路線及時趕到火車站的概率為 P(0<ξ≤70)=Φ()-Φ() ≈Φ()=Φ(2)=0.977 2, 走第二條路線及時趕到火車站的概率為 P(0<ξ≤70)≈Φ()=Φ(2.5)=0.993 8, 因此在這種情況下應走第二條路線. (2)走第一條路線及時趕到火車站的概率為 P(0<ξ≤65)≈Φ()=Φ(1.5)=0.933 2, 走第二條路線及時趕到的概率為 P(0<ξ≤65)≈Φ()=Φ(1.25)=0.894 4, 因此在這種情況下應走第一條路線. 講評:考查一般正態(tài)總體在(x1,x2)內取值的概率,并對實際情況作出回答.