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2019-2020年高二數(shù)學(xué)下11.4《點到直線的距離》教案滬教版 一． 教學(xué)內(nèi)容分析 “點到直線的距離”是“坐標(biāo)平面上的直線”一章的最后一節(jié)內(nèi)容.作為直線方程和向量方法的應(yīng)用，教材中，點P（x0,y0）到直線l:Ax+By+C=0的距離公式的推導(dǎo)經(jīng)過了以下過程：（1）作出距離PQ，（2）利用向量的數(shù)量積，根據(jù)，利用Q點在直線l上，求出PQ，得到公式. 在推導(dǎo)過程中，有兩個要點：一是應(yīng)用數(shù)量積的幾何意義計算兩點之間的距離；二是應(yīng)用“若點在直線上，則點的坐標(biāo)滿足直線方程”進行整體代換.應(yīng)用向量的方法，運算比較簡捷，在此體現(xiàn)了向量方法的優(yōu)勢. 然而，解析幾何的核心思想，是通過用方程表示曲線，通過研究方程的解的情況反映曲線的幾何性質(zhì)，所以面對“如何求點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離”這個問題，一個基本的解題思路是：寫出直線 PQ的方程，求出直線 PQ與直線l的交點Q的坐標(biāo)，最后求出|PQ|的長度.其中，解方程組，求 Q點坐標(biāo)是關(guān)鍵，有行列式知識做鋪墊，這個問題應(yīng)該可以迎刃而解. 教材放棄這個方法，體現(xiàn)了教材編寫者突出向量應(yīng)用的思路.但向量法顯得技巧性強，需要較高的數(shù)學(xué)思維能力.在選擇向量的過程中，有些問題如“為什么選擇向量？用向量可以算出結(jié)果嗎？”等，在教學(xué)時往往一時難以清楚回答.另外，在有行列式知識背景的前提下，解方程已經(jīng)變得機械而且簡單，所以放棄方程，與學(xué)生的認知基礎(chǔ)有一定的差距.但是，作為教材，也不可能就同一個問題羅列兩種解法，這是一種兩難的選擇. 這也給教師的教學(xué)設(shè)計造成了困惑，是突出方程思想，還是突出向量思想？如何處理？如何選擇？才能既符合學(xué)生認知特點，又能體現(xiàn)新教材的特點. 二． 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計 1． 通過學(xué)習(xí)，學(xué)會推導(dǎo)點到直線的距離公式并掌握點到直線的距離公式. 2． 通過對點到直線之間公式推導(dǎo)方法的分析、比較與體驗，領(lǐng)悟公式推導(dǎo)過程中的數(shù)學(xué)思想和思維方法，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力. 3． 通過對點到直線之間的距離、平行線之間距離的探究，培養(yǎng)理性思維能力.經(jīng)歷問題解決過程，體驗合作精神. 三． 教學(xué)重點及難點 1． 教學(xué)重點： 點到直線距離公式及其推導(dǎo)過程. 2． 教學(xué)難點： 在推導(dǎo)點到直線距離公式過程中，學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟問題解決過程中的數(shù)學(xué)思想方法. 四． 教學(xué)流程設(shè)計 復(fù)習(xí)引入 向量的方法 如何推導(dǎo)點到直線的距離 方程的方法 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 應(yīng)用：推導(dǎo)兩條平行線之間的距離 五． 教學(xué)過程設(shè)計 1． 引入 這是直線一章的最后一節(jié)，簡要回顧本章知識，主要涉及三個問題： 1)如何用解析法表示直線？ 主要介紹如何用方程表示直線，其中包括直線方程的幾種形式，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系等知識. 2)如何判斷點P(x,y)與直線l:ax+by+c=0的位置關(guān)系？ 點P(x,y)與直線l:ax+by+c=0的位置關(guān)系包括兩類情況：一是點在直線上，一是點不在直線上.主要通過點P(x0,y0)的坐標(biāo)是否滿足直線l的方程判斷.點不在直線上這類位置關(guān)系中，若進一步提出如何刻畫點與直線的相對位置，自然會想到如何求點到直線的距離這類問題. 3)如何判斷直線與直線的位置關(guān)系？ 兩條直線的位置關(guān)系包括三種情況：相交、平行與重合.在直線與直線相交關(guān)系中可以進一步研究兩條直線的夾角問題，包括特殊情況：垂直關(guān)系；在兩條直線平行時會聯(lián)想到如何求平行線間的距離，進而轉(zhuǎn)化為求點到直線間的距離問題. 所以，進一步討論點到直線的距離是理性思維的結(jié)果，是完善知識體系得需要. 引入中，從學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，通過知識的邏輯結(jié)構(gòu)說明為什么學(xué)習(xí)點到直線的距離，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，強調(diào)理性精神. 2． 點到直線距離公式的推導(dǎo) P Q l x y O 1）明確并提出問題 已知直線l：ax+by+c=0，直線外一點P(x0,y0).其中a、b、c、x0、y0為常數(shù).如何表示點P到直線l的距離d? 在解決該問題前可以作如下鋪墊： 可以先回顧“什么是點到直線的距離？”從幾何角度作出距離，并指出點到直線距離其實是點到直線上任意一點距離的最小值.再指出點P到直線的距離是一個確定的值，它可以用x0、y0、a、b、c表示. 2） 推導(dǎo)點到直線的距離公式 通過對問題的分析，歸結(jié)為“如何計算線段|PQ|的長度？”.因為推導(dǎo)公式的方法有許多種，所以可以充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，通過有效組織，引導(dǎo)學(xué)生積極思維，尋找問題的解決方法. 主要可能有以下幾類方法. （1）計算Q點坐標(biāo). 有下列兩種方法： （i） 利用數(shù)量積，計算Q點坐標(biāo).具體思路：設(shè)Q（x１,y１），由與直線的一個方向向量垂直及兩個條件聯(lián)立方程組，解得x１,y１即可. （ii） 聯(lián)立方程組，計算兩條直線交點Q的坐標(biāo).具體思路：寫出直線PQ的方程，聯(lián)立PQ與l的方程，求解Q點坐標(biāo)(x1,y1). （2）利用向量的數(shù)量積. 因為數(shù)量積可以求向量投影的長度，，所以，其中M是直線l上某一點.特別的，，可以歸結(jié)為教材提供的方法. （3）其他方法 學(xué)生還可能想到：利用三角比，利用三角形面積，勾股定理等平面幾何知識，利用函數(shù)思想求點P到直線上任意一點距離的最小值等. 雖然方法有許多種，但是因為解析幾何的核心思想是利用方程研究曲線，所以聯(lián)立方程組是基本方法；又因為向量在解析幾何是一個重要的知識和方法，對學(xué)生將來進一步學(xué)習(xí)空間解析幾何有幫助，所以可以選擇聯(lián)立方程組計算點Q坐標(biāo)與利用數(shù)量積計算|PQ|長度這兩種方法具體講解. 以下為兩種方法解題過程： l 聯(lián)立方程組，利用行列式知識求解： ， 的方程可以寫成：， 所以解方程組：， 得；；. 所以 所以. l 利用向量的數(shù)量積直接求出|PQ|的長度： 由直線方程，知l的法向量為=（a,b），設(shè)M(x/，y/)是直線l上的一點， 得， 因為，所以. 又點M在直線l上，所以ax/+by/+c=0，即ax/+by/= -c.得. 對上述兩種方法進行回顧總結(jié)，并給出結(jié)論：點P(x0,y0)到直線l:ax+by+c=0的距離. 在上述兩種解題方法中，都需要強調(diào)一種整體代換的思想. 3． 公式的應(yīng)用 回到本節(jié)課開頭的問題：如何推導(dǎo)兩條平行線之間的距離公式. 若直線l1:ax+by+c1=0,l2:ax+by+c2=0,其中a,b,c1,c2為常數(shù)且c1≠c2.如何求直線l1與l2之間的距離？ 這個問題可由學(xué)生獨立完成，教師引導(dǎo)并主要介紹兩個方法：: （１）將平行線之間的距離轉(zhuǎn)化為求點到直線間的距離，利用剛剛推導(dǎo)的點到直線距離公式. 在直線l上取點，則，又，所以，所以 （２）利用向量數(shù)量積，直接計算 設(shè)，得，由 ， 又，所以. 4． 小結(jié)與作業(yè) 1)小結(jié) 這節(jié)課主要研究三個問題：(1) 為什么要學(xué)習(xí)點到直線之間的距離？（2）點到直線之間的距離如何推導(dǎo)；（3）如何求平行線之間的距離. 主要知識有點到直線之間距離公式及其推導(dǎo)方法與過程，平行線之間的距離公式及其推導(dǎo)方法與過程.強調(diào)了方程的方法與向量的思想. 2)作業(yè)： 練習(xí)11.4，1、2、3；習(xí)題11.4，1、3、4、5、6 六． 教學(xué)設(shè)計說明 1． 從知識的角度講，本節(jié)課并沒有新的概念，完全是利用已經(jīng)掌握的知識解決問題，獲得新的結(jié)論、新的知識.所以這節(jié)課一定意義上是問題解決式教學(xué). 2． 因為問題解決的方法比較多，每種方法都面面俱到，這是不可能的，也是不現(xiàn)實的.如何選擇成了教學(xué)的關(guān)鍵，這里我們從解析幾何的核心思想與向量方法的重要程度考慮，選擇這兩種方法作為重點講解的方法，同時也是對所學(xué)行列式知識與向量知識的一個很好的應(yīng)用.在兩種方法的講解過程中，要重點引導(dǎo)學(xué)生體會整體代換的思想. 3． 在教學(xué)的組織形式上，考慮到方法的多樣性和學(xué)生思維的積極性與創(chuàng)造性，可以考慮充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，由學(xué)生討論并尋找問題解決方法.在尋找方法過程中，可以要求學(xué)生只談想法，不必算出結(jié)果，但要講清方法的來龍去脈以及解題計劃，是如何想到這個方法的？用這個方法可以算到結(jié)果嗎？在應(yīng)用所給方法過程中可能會遇到什么問題.具體解題過程，可以根據(jù)這些解題設(shè)想由學(xué)生課后完成. 4． 平行線之間距離公式的推導(dǎo)是對點到直線距離公式學(xué)習(xí)效果的鞏固，既應(yīng)用了公式，又可以利用向量的數(shù)量積.但考慮到教學(xué)時間和學(xué)生接受程度，平行線之間的距離公式可以作為思考題，留作學(xué)生課后思考，為下一節(jié)課作準(zhǔn)備.