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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列知能訓(xùn)練 理
1.?dāng)?shù)列1,,,,,…的一個通項公式是( )
A.a(chǎn)n= B.a(chǎn)n=
C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=
2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=n2+2n-1,則( )
A.a(chǎn)n=2n+1(n∈N*)
B.a(chǎn)n=2n-1(n∈N*)
C.a(chǎn)n=
D.a(chǎn)n=
3.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,且當(dāng)n≥2時,a1a2…an=n2,則a3+a5=( )
A. B. C. D.
4.(xx年福建)閱讀如圖X511所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,如果輸入某個正整數(shù)n后,輸出的S∈(10,20),那么n=( )
圖X511
A.3 B.4 C.5 D.6
5.(xx年新課標(biāo)Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an+1=,a8=2,則a1=________.
6.已知數(shù)列{an}滿足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,則axx=________,axx=________.
7.(xx年浙江樂清一模)已知遞增數(shù)列{an}的通項公式為an=n2+kn+2,則實數(shù)k的取值范圍為________.
8.(xx年廣東江門一模)將集合{2s+2t|0≤s
0),則b43=________.
3
5 6
9 10 12
… … … …
圖X512
9.已知在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前10項和S10=55.
(1)求an和bn;
(2)現(xiàn)分別從{an}和{bn}的前3項中各隨機抽取一項寫出相應(yīng)的基本事件,并求這兩項的值相等的概率.
10.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(n+1)n(n∈N*),則當(dāng)n為多大時,an最大?
第2講 等差數(shù)列
1.(xx年福建)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=2,S3=12,則a6=( )
A.8 B.10
C.12 D.14
2.(xx年安徽)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S8=4a3,a7=-2,則a9=( )
A.-6 B.-4
C.-2 D.2
3.(xx年天津)設(shè){an}是首項為a1,公差為-1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1=( )
A.2 B.-2
C. D.-
4.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1+a7+a13的值是一個確定的常數(shù),則下列各式:
①a21;②a7;③S13;④S14;⑤S8-S5.
其結(jié)果為確定常數(shù)的是( )
A.②③⑤ B.①②⑤
C.②③④ D.③④⑤
5.(xx年新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
6.(xx年遼寧)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列,則( )
A.d<0 B.d>0
C.a(chǎn)1d<0 D.a(chǎn)1d>0
7.(xx年廣東)已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1=1,a3=a-4,則an=________.
8.(xx年廣東)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=________.
9.(xx年四川)在等差數(shù)列{an}中,a1+a3=8,且a4為a2和a9的等比中項,求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和.
10.(xx年新課標(biāo)Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
第3講 等比數(shù)列
1.在等比數(shù)列{an}中,a2=3,a7a10=36,則a15=( )
A.12 B.-12
C.6 D.-6
2.(xx年江西)等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項為( )
A.-24 B.0
C.12 D.24
3.設(shè)在公差d≠0的等差數(shù)列{an}中,a1,a3,a9成等比數(shù)列,則=( )
A. B.
C. D.
4.(xx年重慶)對任意的等比數(shù)列{an},下列說法一定正確的是( )
A.a(chǎn)1,a3,a9成等比數(shù)列
B.a(chǎn)2,a3,a6成等比數(shù)列
C.a(chǎn)2,a4,a8成等比例列
D.a(chǎn)3,a6,a9成等比數(shù)列
5.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和,若8a2+a5=0,則=( )
A.11 B.5
C.-8 D.-11
6.(xx年新課標(biāo)Ⅰ)設(shè)首項為1,公比為的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則( )
A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2
C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an
7.(xx年重慶)已知{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d≠0,Sn為其前n項和.若a1,a2,a5成等比數(shù)列,則S8=________.
8.(xx年江西)某住宅小區(qū)計劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于__________.
9.(xx年四川)在等比數(shù)列{an}中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項,求數(shù)列{an}的首項、公比及前n項和.
10.(xx年北京)已知{an}是等差數(shù)列,滿足a1=3,a4=12,數(shù)列{bn}滿足b1=4,b4=20,且是等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和.
第4講 數(shù)列的求和
1.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,首項a1=3,前3項和為21,則a3+a4+a5=( )
A.33 B.72 C.84 D.189
2.(xx年新課標(biāo)Ⅱ)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=( )
A. B.- C. D.-
3.(xx年新課標(biāo)Ⅱ)等差數(shù)列{an}的公差為2,若a2,a4,a8成等比數(shù)列,則{an}的前n項和Sn=( )
A.n(n+1) B.n(n-1)
C. D.
4.(xx年大綱)在等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項和等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列的前100項和為( )
A. B. C. D.
6.若數(shù)列{an}的通項公式是an=(-1)n(3n-2),則a1+a2+…+a10=( )
A.15 B.12
C.-12 D.-15
7.(xx年廣東揭陽一模)已知等差數(shù)列{an}滿足a1>0,5a8=8a13,則當(dāng)前n項和Sn取最大值時,n=( )
A.20 B.21 C.22 D.23
8.如圖X541,它滿足:①第n行首尾兩數(shù)均為n;②圖中的遞推關(guān)系類似楊輝三角.則第n(n≥2)行的第2個數(shù)是______________.
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
……
圖X541
9.(xx年新課標(biāo)Ⅰ)已知{an}是遞增的等差數(shù)列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和.
10.(xx年廣東佛山一模)數(shù)列{an},{bn}的每一項都是正數(shù),a1=8,b1=16,且an,bn,an+1成等差數(shù)列,bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,n=1,2,3,….
(1)求a2,b2的值;
(2)求數(shù)列,的通項公式;
(3)證明:對一切正整數(shù)n,+++…+<成立.
第5講 利用幾類經(jīng)典的遞推關(guān)系式求通項公式
1.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,則m=( )
A.9 B.10
C.11 D.12
2.古希臘著名的畢達哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”,而把1,4,9,16,…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”.如圖X551,可以發(fā)現(xiàn),任何一個大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰的“三角形數(shù)”之和.下列等式中,符合這一規(guī)律的表達式是( )
圖X551
①13=3+10;②25=9+16;③36=15+21;④49=18+31;⑤64=28+36.
A.①④ B.②⑤
C.③⑤ D.②③
3.?dāng)?shù)列{an}的首項為3,{bn}為等差數(shù)列,且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2,b10=12,則a8=( )
A.0 B.3
C.8 D.11
4.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若8a2+a5=0,則下列式子中數(shù)值不能確定的是( )
A. B.
C. D.
5.(xx年新課標(biāo)Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和為Sn=an+,則數(shù)列{an}的通項公式是an=________________________________________________________________________.
6.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=,則an=________.
7.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+n,則數(shù)列{an}的通項公式是an=________________.
8.已知在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=3an+3n,則an=________.
9.(xx年新課標(biāo)Ⅱ)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.
(1)證明:是等比數(shù)列,并求{an}的通項公式;
(2)證明:++…+<.
10.(xx年安徽)數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*.
(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)設(shè)bn=3n,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
第6講 合情推理和演繹推理
1.觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx.由歸納推理,得若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(-x)=( )
A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)
2.(xx年廣東茂名一模)已知211=2,2213=34,23135=456,241357=5678,…,依此類推,第n個等式為________________ ________________________________________________________________________________________________________________________.
3.(xx年陜西)觀察下列等式:
12=1
12-22=-3
12-22+32=6
12-22+32-42=-10
照此規(guī)律,第n個等式為_____________________________________________________.
4.如圖X561,在平面上,用一條直線截正方形的一個角,則截下的一個直角三角形按如圖X561(1)所標(biāo)邊長,由勾股定理,得c2=a2+b2.設(shè)想把正方形換成正方體,把截線換成如圖X561(2)所示的截面,這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OABC,若用s1,s2,s3表示三個側(cè)面面積,s4表示截面面積,則可以類比得到的結(jié)論是__________________.
(1) (2)
圖X561
5.已知cos=,coscos=,coscoscos=,…,根據(jù)以上等式,可猜想出的一般結(jié)論是__________________________________________________.
6.(xx年廣東汕頭一模)觀察下列一組等式:+2=4,2=4,+3=,3=,+4=,4=,…,根據(jù)這些等式反映的結(jié)果,可以得出一個關(guān)于自然數(shù)n的等式,這個等式可表示為_______________________________________________________.
7.(xx年福建龍巖模擬)代數(shù)式1+(“…”表示無限重復(fù))是一個固定值,可以令原式=t,由1+=t,解得其值為t=,用類似方法可得=______________.
8.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下5個式子的值都等于同一個常數(shù).
①sin213+cos217-sin13cos17;
②sin215+cos215-sin15cos15;
③sin218+cos212-sin18cos12;
④sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos48;
⑤sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos55.
(1)試從上述5個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);
(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
9.(xx年廣東廣州一模)在等差數(shù)列{an}中,a1+a2=5,a3=7,記數(shù)列的前n項和為Sn.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù)m,n,且1-的過程:
要證-1>-,
只需證+>+1,
即證(+)2>(+1)2,
即證>,即證35>11,顯然成立.
∴-1>-.其證法是( )
A.分析法 B.綜合法
C.間接證法 D.分析法與綜合法并用
5.(xx年山東)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設(shè)是( )
A.方程x2+ax+b=0沒有實根
B.方程x2+ax+b=0至多有一個實根
C.方程x2+ax+b=0至多有兩個實根
D.方程x2+ax+b=0恰好有兩個實根
6.α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α及β之外的兩條不同的直線,給出四個論斷:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中的三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題____________________.
7.下表中的對數(shù)值有且僅有一個是錯誤的:
x
3
5
8
9
15
lgx
2a-b
a+c
3-3a-3c
4a-2b
3a-b+c+1
請將錯誤的一個改正為________________.
8.(xx年福建)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個關(guān)系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個正確,則100a+10b+c=__________.
9.(xx年湖北)已知等比數(shù)列{an}滿足|a2-a3|=10,a1a2a3=125.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù)m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,請說明理由.
10.(xx年浙江)已知等差數(shù)列{an}的公差d>0,設(shè){an}的前n項和為Sn,a1=1,S2S3=36.
(1)求d及Sn;
(2)求m,k(m,k∈N*)的值,使得am+am+1+am+2+…+am+k=65成立.
第8講 數(shù)學(xué)歸納法
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n13…(2n+1)(n∈N*),從“n=k”到“n=k+1”左端需乘的代數(shù)式是( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:12+22+…+n2+…+22+12=,第二步證明由“k到k+1”時,左邊應(yīng)加( )
A.k2 B.(k+1)2
C.k2+(k+1)2+k2 D.(k+1)2+k2
3.對一切正整數(shù)n,n2與2n的大小關(guān)系為 ( )
A.對一切n∈N*,恒有n2<2n
B.對一切n∈N*,恒有n2≤2n
C.當(dāng)n=1或n≥5時,n2<2n,n=2,3,4時,n2≥2n
D.以上都不對
4.f(n)和g(n)都是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),滿足:①f(1)=g(1);②對n∈N*,f(n)-f(n-1)=g(n)-g(n-1).那么猜想對n∈N*時,有( )
A.f(n)>g(n)
B.f(n)對于一切n∈N*成立,則正整數(shù)m的最大值為__________.
8.已知f(n)=+++…+,則下列說法正確的是________.
①f(n)中共有n項,當(dāng)n=2時,f(2)=+;
②f(n)中共有n+1項,當(dāng)n=2時,f(2)=++;
③f(n)中共有n2-n項,當(dāng)n=2時,f(2)=+;
④f(n)中共有n2-n+1項,當(dāng)n=2時,f(2)=++.
9.(xx年廣東深圳一模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足4(n+1)(Sn+1)=(n+2)2an(n∈N*).
(1)求a1,a2的值;
(2)求an;
(3)設(shè)bn=,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求證:Tn<.
10.(xx年重慶)設(shè)a1=1,an+1=+b(n∈N*).
(1)若b=1,求a2,a3及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若b=-1,問:是否存在實數(shù)c使得a2n4,故n的值為4.
5. 解析:由已知,得an=1-,a8=2,
∴a7=1-=,a6=1-=-1,a5=1-=2.
同理,a4=,a3=-1,a2=2,a1=.
6.1 0 解析:axx=a4503-3=1,axx=a21007=a1007=a4252-1=0.
7.(-3,+∞) 解析:由{an}為遞增數(shù)列,得an+1-an=(n+1)2+k(n+1)+2-n2-kn-2=2n+1+k>0恒成立,
即k>-(2n+1)恒成立,即k>[-(2n+1)]max=-3.
8.20 解析:3=20+21;5=20+22,6=21+22;9=20+23,10=21+23,12=22+23;17=20+24,18=21+24,20=22+24,….故b43=20.
9.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q,則S10=10a1+45d=55?d=1?an=a1+(n-1)d=n,
b4=b1q3=8?q=2?bn=b1qn-1=2n-1,
則an=n,bn=2n-1.
(2)a1=1,a2=2,a3=3,b1=1,b2=2,b3=4,
從{an},{bn}的前3項中各隨機抽取一項寫出相應(yīng)的基本事件有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),共9個,
符合題意的有(1,1),(2,2),共2個,
故抽取的兩項的值相等的概率為.
10.解:∵an+1-an=(n+2)n+1-(n+1)n
=n,而n>0,
∴當(dāng)n<9時,an+1-an>0,即an+1>an;
當(dāng)n=9時,an+1-an=0,即a10=a9;
當(dāng)n>9時,an+1-an<0,即an+1a11>a12>….
∴當(dāng)n=9或n=10時,數(shù)列{an}有最大項,最大項為a9或a10.
第2講 等差數(shù)列
1.C 解析:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,a1=2,S3=(a1+a3)+a2=3a2=12,a2=4,d=2,則a6=a1+5d=12.
2.A 解析:S8=8a1+d=4a3=4(a1+2d),4a1=-20d,a1=-5d.又∵a7=a1+6d=d=-2,∴a1=10,a9=a1+8d=10+8(-2)=-6.
3.D 解析:S1,S2,S4成等比數(shù)列,∴S=S1S4,即(2a1-1)2=a1(4a1-6).解得a1=-.
4.A 解析:由a1+a7+a13是一個確定的常數(shù),得3a7是確定的常數(shù),故②正確;S13==13a7是確定的常數(shù),故③正確;S8-S5=a6+a7+a8=3a7是確定的常數(shù),故⑤正確.
5.C 解析:Sm-Sm-1=am=2,Sm+1-Sm=am+1=3,兩式相減,得am+1-am=d=1.
解得m=5.
6.C 解析:由已知,得2<2,即<1,2<1.又an-an-1=d,故2<1,從而a1d<0.
7.2n-1 解析:由a3=a-4,得1+2d=(1+d)2-4,即d2=4.因為{an}是遞增的等差數(shù)列,所以d=2,故an=2n-1.
8.20 解析:a3+a8=a1+2d+a1+7d=2a1+9d=10,3a5+a7=
3(a1+4d)+(a1+6d)=4a1+18d=2(2a1+9d)=210=20.
9.解:設(shè)該數(shù)列公差為d,前n項和為Sn.
由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).
所以a1+d=4,d(d-3a1)=0.
解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3.
所以,數(shù)列{an}的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.
所以,數(shù)列的前n項和Sn=4n或Sn=.
10.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d≠0,
由題意a1,a11,a13成等比數(shù)列,∴a=a1a13.
∴(a1+10d)2=a1(a1+12d),化為d(2a1+25d)=0.
∵d≠0,∴225+25d=0.解得d=-2.
∴an=25+(n-1)(-2)=-2n+27.
(2)由(1),得a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+31.可知此數(shù)列是以25為首項,-6為公差的等差數(shù)列.
∴Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2=
=
=-3n2+28n.
第3講 等比數(shù)列
1.A 解析:由等比數(shù)列的性質(zhì),得a2a15=a7a10=36,則a15=12.故選A.
2.A 解析:方法一:=2=q,有=2,3x+3=2x,即
x=-3,則等比數(shù)列-3,-6,-12,…的第四項為-24.
方法二:(3x+3)2=x(6x+6),9x2+18x+9=6x2+6x,3x2+12x+9=0,x=-3或x=-1(舍).則等比數(shù)列-3,-6,-12,…的第四項為-24.
3.C
4.D 解析:因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列,a=a3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.
5.D 解析:設(shè){an}的公比為q,則8a2+a5=8a2+a2q3=0,解得q=-2.∴==-11.
6.D 解析:由題意,得Sn===3-2an.
7.64 解析:a1,a2,a5成等比數(shù)列,有a=a1a5,即(a1+d)2=a1(a1+4d),d=2a1=2,S8=8a1+d=8+56=64.
8.6 解析:Sn==2n+1-2,S5=62,S6=126.所以至少需要6天.
9.解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q.
由已知,得a2-a1=a1(q-1)=2,則a1≠0.
∵22a2=3a1+a3,∴4a1q=3a1+a1q2.
∴a1(4q-3-q2)=0,即q2-4q+3=0.
解得q=3或q=1.
由于a1(q-1)=2,則q=1不合題意,應(yīng)舍去.
故公比q=3,首項a1=1.
∴數(shù)列{an}的前n項和Sn=.
10.解:(1)由{an}是等差數(shù)列,得d===3.
∴an=3+(n-1)3=3n.
設(shè)q是等比數(shù)列{bn-an}的公比,
有q3===8,∴q=2.
∴bn-an=(b1-a1)2n-1=2n-1.
從而bn=an+2n-1=3n+2n-1.
(2)數(shù)列{bn}的前n項和為
Sn=(3+6+9+…+3n)+(1+2+22+…+2n-1)
=+2n-1.
第4講 數(shù)列的求和
1.C
2.C 解析:S3=a2+10a1=a1+a2+a3,a3=9a1,q2=9.a5=a1q4=81a1=9,a1=.
3.A 解析:由已知,得a=a2a8,(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),a1=2.∴Sn=na1+d=2n+n(n-1)=n2+n.
4.C 解析:由已知,得q==.∴a1==23=.∴l(xiāng)ga1=lg.∵{an}為等比數(shù)列,∴l(xiāng)gan-lgan-1=lg=lg(n≥2),∴{lgan}為等差數(shù)列.
∴所求和為8lg+lg=8(4lg2-3lg5)+28(lg5-lg2)=4lg2+4lg5=4.故選C.
5.A 解析:由a5=5,S5=15,得a1=1,d=1.∴an=1+(n-1)=n.故==-.∴+…+=-+-+…+-=1-=.故選A.
6.A
7.B 解析:由5a8=8a13,得5(a1+7d)=8(a1+12d).
∴d=-a1.由an=a1+(n-1)d=a1+(n-1)≥0?n≤=21.
∴數(shù)列{an}的前21項都是正數(shù),以后各項都是負數(shù).
故Sn取最大值時,n的值為21.故選B.
8. 解析:設(shè)第n(n≥2)行的第2個數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an},則有a3-a2=2,a4-a3=3,a5-a4=4,…,an-an-1=n-1,相加,得an-a2=2+3+…+(n-1)=(n-2)=,an=2+=.
9.解:(1)方程x2-5x+6=0的根為2,3,
又因為{an}是遞增的等差數(shù)列,則a2=2,a4=3.
設(shè)數(shù)列的公差為d,a4-a2=2d=1,
∴d=,a1=.
∴{an}的通項公式為an=+(n-1)=+1.
(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為Sn,
由(1)知,=,則Sn=+++…+,
Sn=+++…+,
兩式相減,得Sn=+-=+-=1-.
∴數(shù)列的前n項和為Sn=2-.
10.解:(1)由2b1=a1+a2,得a2=2b1-a1=24.
由a=b1b2,得b2==36.
(2)∵an,bn,an+1成等差數(shù)列,∴2bn=an+an+1.?、?
∵bn,an+1,bn+1成等比數(shù)列,∴a=bnbn+1.
∵數(shù)列{an},{bn}的每一項都是正數(shù),∴an+1=.②
于是當(dāng)n≥2時,an=.?、?
將②,③代入①式,得2=+,
因此數(shù)列{}是首項為4,公差為2的等差數(shù)列.
∴=+(n-1)d=2n+2,于是bn=4(n+1)2.
由③式,得當(dāng)n≥2時,
an===4n(n+1).
當(dāng)n=1時,a1=8,滿足該式子,
∴對一切正整數(shù)n,都有an=4n(n+1).
(3)由(2)知,所證明的不等式為
+++…+<.
方法一:首先證明<(n≥2).
∵7n2+7n<8n2+8n-2?n2+n-2>0?(n-1)(n+2)>0,當(dāng)n≥2時,該式恒成立,
∴當(dāng)n≥2時,++…+<+=+
<+=.
當(dāng)n=1時,<.
綜上所述,對一切正整數(shù)n,有+++…+<.
方法二:<==.
當(dāng)n≥3時,++…+
<++
<++<.
當(dāng)n=1時,<;當(dāng)n=2時,+<+=.
綜上所述,對一切正整數(shù)n,有+++…+<.
方法三:<==.
當(dāng)n≥4時,++…+
<+++
<+++<.
當(dāng)n=1時,<;當(dāng)n=2時,+<+=;
當(dāng)n=3時,++<++=.
綜上所述,對一切正整數(shù)n,有+++…+<.
第5講 利用幾類經(jīng)典的遞推關(guān)系式求通項公式
1.C 2.C
3.B 解析:由題意,得解得
∵bn=an+1-an,∴b1+b2+…+bn=an+1-a1.
∴a8=b1+b2+…+b7+3=7(-6)+2+3=3.
4.D 解析:數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則8a2+a5=a2(8+q3)=0.∵a2≠0,∴q=-2.∴=q2=4;==;=q=-2;=,其值與n有關(guān).故選D.
5.(-2)n-1 解析:兩式相減,得
an=an-an-1,an=-an-1,=-2,a1=1,
則an=(-2)n-1.
6. 解析:由an+1=,得==+3?-=3?=1+3(n-1).∴an=.
7.32n-1-n-1 解析:令an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B),運用待定系數(shù)法,得A=1,B=1.∴an+1+(n+1)+1=2(an+n+1).∴an+n+1=32n-1.∴an=32n-1-n-1.
8.n3n-1 解析:∵an+1=3an+3n,∴=+1.令=bn,∴數(shù)列{bn}是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,∴bn=1+1(n-1)=n.∴an=n3n-1.
9.證明:(1)由an+1=3an+1,得an+1+=3.
又a1+=,所以是首項為,公比為3的等比數(shù)列.所以an+=.
因此數(shù)列{an}的通項公式為an=.
(2)由(1)知,=.
因為當(dāng)n≥1時,3n-1≥23n-1,
所以≤,即=≤.
于是++…+≤1++…+
=<.
所以++…+<.
10.(1)證明:a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N*,
等式兩邊同除以n(n+1),得=+1,
即-=1.
∴數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
(2)解:由(1),得=1+(n-1)1=n,即an=n2.
從而bn=3n=n3n.
Sn=131+232+333+…+n3n,
3Sn=132+233+334+…+n3n+1,
兩式相減,得-2Sn=31+32+33+…+3n-n3n+1
=-n3n+1=.
∴Sn=.
第6講 合情推理和演繹推理
1.D
2.2n135…(2n-1)=(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)
3.12-22+32-…+(-1)n-1n2=(-1)n+1
4.s=s+s+s
5.coscos…cos=,n∈N*
6.+(n+1)=(n+1),n∈N*
解析:由于+(n+1)==,
(n+1)=,故+(n+1)=(n+1),n∈N*.
7.2 解析:類似令原式=t,有=t,2+t=t2,解得t=-1(舍去)或t=2.
8.解:(1)選擇②,由sin215+cos215-sin15cos15=1-sin30=,故這個常數(shù)是.
(2)推廣,得到三角恒等式
sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α)=.
證明:sin2α+cos2(30-α)-sinαcos(30-α)
=sin2α+(cos30cosα+sin30sinα)2-sinα(cos30cosα+sin30sinα)
=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.
9.解:(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,
因為即解得
所以an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=3n-2(n∈N*).
(2)因為==,
所以數(shù)列的前n項和
Sn=+++…++
=+++…++
==.
假設(shè)存在正整數(shù)m,n,且10,所以3m2-6m-1<0.
因為m>1,所以10,∴d=2,an=1+2(n-1)=2n-1,
Sn==n2(n∈N*).
(2)由(1)知,am+am+1+am+2+…+am+k
==(2m+k-1)(k+1)=65.
∵m,k∈N*,2m+k-1>1,k+1>1,
∴解得(舍去).
或解得
綜上所述,m=5,k=4.
第8講 數(shù)學(xué)歸納法
1.B 2.D 3.C 4.C
5.D 解析:原等式共有5n項,當(dāng)n=1時,25-1=24,選D.
6.C 解析:Sk+1=++…+=++…+=++…+++-=Sk+-.
7.1007 解析:記f(n)=+++…+,
則f(n+1)-f(n)=+-=->0,數(shù)列{f(n)}是遞增數(shù)列,則f(n)min=f(1)=,∴m≤1007.
8.④
9.(1)解:當(dāng)n=1時,有4(1+1)(a1+1)=(1+2)2a1,
解得a1=8.
當(dāng)n=2時,有4(2+1)(a1+a2+1)=(2+2)2a2,
解得a2=27.
(2)解:方法一:當(dāng)n≥2時,有4(Sn+1)=. ①
4(Sn-1+1)=.?、?
①-②,得4an=-,
即=.
∴===…==1.
∴an=(n+1)3(n≥2).
方法二:根據(jù)a1=8,a2=27,猜想:an=(n+1)3.
①當(dāng)n=1時,有a1=8=(1+1)3,猜想成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時,猜想也成立,即ak=(k+1)3.
那么當(dāng)n=k+1時,
有4(k+1+1)(Sk+1+1)=(k+1+2)2ak+1,
即4(Sk+1+1)=,?、?
又 4(Sk+1)=, ②
①-②,得4ak+1=-=-,
解得ak+1=(k+2)3=(k+1+1)3 .
∴當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
因此,由數(shù)學(xué)歸納法證得an=(n+1)3成立.
(3)證明:∵bn==<=-,
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=+++…++<+++…++
=+++…++=+-<.
10.解:(1)方法一:a2=2,a3=+1.
再由題設(shè)條件知,
(an+1-1)2=(an-1)2+1.
從而{(an-1)2}是首項為0,公差為1的等差數(shù)列.
故(an-1)2=n-1,即an=+1(n∈N*).
方法二:a2=2,a3=+1.
可寫為a1=+1,a2=+1,a3=+1.
因此猜想an=+1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式:
當(dāng)n=1時,結(jié)論顯然成立.
假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即ak=+1,則
ak+1=+1=+1=+1,
這就是說,當(dāng)n=k+1時結(jié)論成立.
所以an=+1(n∈N*).
(2)方法一:設(shè)f(x)=-1,則an+1=f(an).
令c=f(c),即c=-1.解得c=.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明a2nf(a2k+1)>f(1)=a2,即
1>c>a2k+2>a2.
再由f(x)在(-∞,1]上為減函數(shù),得
c=f(c)f(a2k+1)=a2k+2,
a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2.
所以a2n+1>-1.
解得a2n+1>.?、?
綜上所述,由②③④知,存在c=使得a2n
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)
第五章
數(shù)列知能訓(xùn)練
2019
2020
年高
數(shù)學(xué)
復(fù)習(xí)
第五
數(shù)列
知能
訓(xùn)練
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