2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何知能訓(xùn)練 理.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何知能訓(xùn)練 理 1.以下命題: ①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐;②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺;③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓;④一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺. 其中正確命題的個數(shù)為( ) A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 2.(xx年四川)一個幾何體的三視圖如圖X811,則該幾何體可以是( ) 圖X811 A.棱柱 B.棱臺 C.圓柱 D.圓臺 3.如圖X812,正方形O′A′B′C′的邊長為1 cm,它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長為( ) 圖X812 A.6 cm B.8 cm C.(2+4 )cm D.(2+2 )cm 4.(xx年廣東汕頭一模)一個錐體的主視圖和左視圖如下圖X813,下面選項中,不可能是該錐體的俯視圖的是( ) 圖X813 A B C D 5.如圖X814是長和寬分別相等的兩個矩形.給定下列三個命題:①存在三棱柱,其正視圖、俯視圖如圖X814;②存在四棱柱,其正視圖、俯視圖如圖X814;③存在圓柱,其正視圖、俯視圖如圖X814.其中真命題的個數(shù)是( ) 圖X814 A.3個 B.2個 C.1個 D.0個 6.已知某一幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖X815,則在下列圖形中,可以是該幾何體的俯視圖的圖形為( ) 圖X815 A.①②③⑤ B.②③④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④ 7.(xx年新課標Ⅱ)一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),畫該四面體三視圖中的正視圖時,以xOz平面為投影面,則得到的正視圖可以為( ) A B C D 8.如圖X816,直三棱柱的正視圖面積為2a2,則側(cè)視圖的面積為________. 圖X816 9.如圖X817所示的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖,它的正視圖和側(cè)視圖在圖X818中畫出. X817 (1)在正視圖下面,按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖; (2)按照給出的尺寸,求該多面體的體積. X818 10.如圖X819所示的為一簡單組合體,其底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2. (1)如圖X8110所示的方框內(nèi)已給出了該幾何體的俯視圖,請在方框內(nèi)畫出該幾何體的正視圖和側(cè)視圖; (2)求四棱錐BCEPD的體積; (3)求證:BE∥平面PDA. X819 X8110 第2講 空間幾何體的表面積和體積 1.(xx年福建)以邊長為1的正方形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于( ) A.2π B.π C.2 D.1 2.(xx年上海)若兩個球的表面積之比為1∶4,則這兩個球的體積之比為( ) A.1∶2 B.1∶4 C.1∶8 D.1∶16 3.(xx年廣東)某四棱臺的三視圖如圖X821,則該四棱臺的體積是( ) 圖X821 A.4 B. C. D.6 4.(xx年新課標Ⅱ)如圖X822,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個底面半徑為3 cm,高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到,則切削的部分的體積與原來毛坯體積的比值為( ) A. B. C. D. 圖X822 圖X823 5.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水,若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后,水恰好淹沒最上面的球(如圖X823),則球的半徑是________cm. 6.(xx年江蘇)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面面積分別為S1,S2,體積分別為V1,V2.若它們的側(cè)面面積相等,且=,則=________. 7.若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面,則該圓錐的體積為________. 8.(xx年江蘇)如圖X824,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F(xiàn)分別是AB,AC,AA1的中點,設(shè)三棱錐FADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2,則V1∶V2=__________. 圖X824 9.如圖X825,設(shè)計一個正四棱錐形的冷水塔,高是1 m,底面的邊長是2 m. (1)求這個正四棱錐形冷水塔的容積; (2)制造這個水塔的側(cè)面需要的鋼板的面積是多少? 圖X825 10.如圖X826,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,∠ACB=90,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點. (1)證明:平面BDC1⊥平面BDC; (2)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比. 圖X826 第3講 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.(xx年安徽)在下列命題中,不是公理的是( ) A.平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B.過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面 C.如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi) D.如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線 2.下列命題正確的是( ) A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行 B.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行 C.若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行 D.若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行 3.設(shè)A,B,C,D是空間四個不同的點,在下列命題中,不正確的是( ) A.若AC與BD共面,則AD與BC共面 B.若AC與BD是異面直線,則AD與BC是異面直線 C.若AB=AC,DB=DC,則AD=BC D.若AB=AC,DB=DC,則AD⊥BC 4.(xx年廣東)若空間中有四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是( ) A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1,l4既不平行也不垂直 D.l1,l4的位置關(guān)系不確定 5.如圖X831所示的是正方體的平面展開圖,在這個正方體中, ①BM與ED平行;②CN與BE是異面直線; ③CN與BM成60;④CN與AF垂直. 以上四個命題中,正確命題的序號是( ) A.①②③ B.②④ C.③ D.③④ 圖X831 圖X832 6.(xx年上海)在如圖X832所示的正方體ABCDA1B1C1D1中,異面直線A1B與B1C所成角的大小為________. 7.(xx年廣東惠州一模)已知在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1,CC1的中點,那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為________. 8.(xx年安徽)如圖X833,四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60.已知PB=PD=2,PA=. (1)證明:PC⊥BD; (2)若E為PA的中點,求三棱錐PBCE的體積. 圖X833 9.如圖X835所示的是一個正方體(如圖X834)的表面展開圖,MN和PQ是兩個面的對角線,請在正方體中將MN和PQ畫出來,并就這個正方體解答下列問題. (1)求MN和PQ所成角的大??; (2)求三棱錐MNPQ的體積與正方體的體積之比. 圖X834 圖X835 第4講 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 1.已知直線l,m,n及平面α,下列命題中是假命題的是( ) A.若l∥m,m∥n,則l∥n B.若l⊥α,n∥α,則l⊥n C.若l⊥m,m∥n,則l⊥n D.若l∥α,n∥α,則l∥n 2.已知m,n是兩條直線,α,β是兩個平面,給出下列命題:①若n⊥α,n⊥β,則α∥β;②若平面α上有不共線的三點到平面β的距離相等,則α∥β;③若n,m為異面直線,n?α,n∥β,m?β,m∥α,則α∥β.其中正確命題的個數(shù)是( ) A.3個 B.2個 C.1個 D.0個 3.如圖X841,已知l是過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線,下列結(jié)論錯誤的是( ) A.D1B1∥l B.BD∥平面AD1B1 C.l∥平面A1D1B1 D.l⊥B1C1 圖X841 圖X842 4.設(shè)m,n為兩條直線,α,β為兩個平面,則下列四個命題中,正確的是( ) A.若m?α,n?α,且m∥β,n∥β,則α∥β B.若m∥α,m∥n,則n∥α C.若m∥α,n∥α,則m∥n D.若m,n為兩條異面直線,且m∥α,n∥α,m∥β,n∥β,則α∥β 5.如圖X842,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于________. 6.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1 cm,過AC作平行于對角線BD1的截面,則截面面積為________. 7.如圖X843(1),在透明塑料制成的長方體ABCDA1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水,固定容器底面一邊BC于地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度的不同,有下列四個說法: ①水的部分始終呈棱柱狀; ②水面四邊形EFGH的面積不改變; ③棱A1D1始終與水面EFGH平行; ④當容器傾斜如圖X843(2)時,BEBF是定值. 其中正確說法的序號是____________. 圖X843 8.(xx年廣東惠州一模)如圖X844,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,D為AC的中點,AA1=AB=2. (1)求證:AB1∥平面BC1D; (2)若BC=3,求三棱錐DBC1C的體積. 圖X844 9.(xx年安徽)如圖X845,四棱錐PABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2.點G,E,F(xiàn),H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH. (1)證明:GH∥EF; (2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積. 圖X845 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 1.(xx年廣東)設(shè)l為直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是( ) A.若l∥α,l∥β,則α∥β B.若l⊥α,l⊥β,則α∥β C.若l⊥α,l∥β,則α∥β D.若α⊥β,l∥α,則l⊥β 2.如圖X851,ABCDA1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論錯誤的是( ) 圖X851 A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1 D.異面直線AD與CB1所成角 為60 3.(xx年廣東深圳一模)已知直線a,b,平面α,β,且a⊥α,b?β,則“a⊥b”是“α∥β”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 4.如圖X852,在長方體ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=2,A1D與BC1所成的角為,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 圖X852 圖X853 5.已知a,b,c是三條不同的直線,命題“a∥b,且a⊥c?b⊥c”是正確的,如果把a,b,c中的兩個或三個換成平面,在所得的命題中,真命題有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 6.如圖X853,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB=2,AA1=1,則點A到平面A1BC的距離為( ) A. B. C. D. 7.已知正三棱錐PABC,點P,A,B,C都在半徑為的球面上,若PA,PB,PC兩兩互相垂直,則球心到截面ABC的距離為________. 8.(xx年遼寧)如圖X854,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120,E,F(xiàn),G分別為AC,DC,AD的中點. (1)求證:EF⊥平面BCG; (2)求三棱錐DBCG的體積. 圖X854 9.(xx年北京)如圖X855,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,點E,F(xiàn)分別為A1C1,BC的中點. (1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求證:C1F∥平面ABE; (3)求三棱錐EABC的體積. 圖X855 第6講 空間坐標系與空間向量 1.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),則實數(shù)λ的值為( ) A.-2 B.- C. D.2 2.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a與b的夾角余弦值為,則λ=( ) A.2 B.-2 C.-2或 D.2或- 3.(由人教版選修21P105例1改編)已知在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,以同一頂點為端點的三條棱長都等于1,且它們彼此的夾角都是60,則此平行六面體的對角線AC1的長為( ) A. B.2 C. D. 4.已知在空間四邊形OABC中,點M在線段OA上,且OM=2MA,點N為BC的中點,設(shè)=a,=b,=c,則=( ) A.a+b-c B.-a+b+c C. a-b+c D. a+b-c 5.下列等式中,使點M與點A,B,C一定共面的是( ) A.=3-2- B.=++ C.+++=0 D.++=0 6.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,點E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,則=( ) A. B.- C. D.- 7.已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a,=,點N為B1B的中點,則|MN|=( ) A.a B.a C.a D.a 8.已知三點A(1,0,0),B(3,1,1),C(2,0,1),則 (1)與的夾角等于________; (2)在方向上的投影等于________. 9.三棱錐OABC中,OB=OC,∠AOB=∠AOC=60,則〈,〉的大小為__________. 10.(xx年新課標Ⅰ)如圖X861,在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,AB⊥B1C. (1)證明:AC=AB1; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60,AB=BC,求二面角AA1B1C1的余弦值. 圖X861 第7講 空間中角與距離的計算 1.已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,則l與α所成的角為( ) A.30 B.60 C.120 D.150 2.如圖X871,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為A1B1和BB1的中點,那么直線AM與CN所成角的余弦值等于( ) A. B. C. D. 圖X871 3.如圖X872,若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面邊長為1,AB1與底面ABCD所成角為60,則A1C1到底面ABCD的距離為( ) 圖X872 A. B.1 C. D. 4.在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱長相等,側(cè)棱垂直于底面,點D是側(cè)面BB1C1C的中心,則AD與平面BB1C1C所成角的大小是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 5.如圖X873,在正方體ABCDA1B1C1D1中,BB1與平面ACD1所成角的正切值是( ) A. B. C. D. 圖X873 6.已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,將矩形ABCD沿對角線AC折起,使平面ABC與ACD垂直,則B與D之間的距離為________. 7.已知點A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),則平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為________. 8.(xx年新課標Ⅰ)如圖X874,在三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60. 圖X874 (1)證明:AB⊥A1C; (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值. 9.(xx年江蘇)如圖X875,在直三棱柱A1B1C1ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,點D是BC的中點. (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值; (2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值. 圖X875 第八章 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖和直觀圖 1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 解析: ①可以是放倒的三棱柱,所以正確;容易判斷②正確;③可以是放倒的圓柱,所以也正確. 圖D85 6.D 7.A 解析:在空間直角坐標系中,先畫出四面體OABC的直觀圖(如圖D85),以xOz平面為投影面,則易得到正視圖.故選A. 8.a2 解析:由正視圖面積可求出直三棱柱的高為2a,底面的正三角形的高為a,故左視圖的面積為2aa=a2. 9.解:(1)如圖D86. (2)所求多面體體積V=V長方體-V正三棱錐=446-2=. 圖D86 10.(1)解:該組合體的正視圖和側(cè)視圖如圖D87. 圖D87 (2)解:∵PD⊥平面ABCD,PD?平面PDCE, ∴平面PDCE⊥平面ABCD. ∵BC⊥CD,∴BC⊥平面PDCE. ∵S梯形PDCE=(PD+EC)DC=32=3, ∴四棱錐BCEPD的體積為 VBCEPD=S梯形PDCEBC=32=2. (3)證明:∵EC∥PD,PD?平面PDA,EC?平面PDA, ∴EC∥平面PDA.同理,BC∥平面PDA. ∵EC?平面EBC,BC?平面EBC,且EC∩BC=C, ∴平面EBC∥平面PDA. 又∵BE?平面EBC,∴BE∥平面PDA. 第2講 空間幾何體的表面積和體積 1.A 解析:由已知,得圓柱的底面半徑和高均為1,其側(cè)面積等于S=2π11=2π. 2.C 解析:因為球的表面積S=4πR2,兩個球的表面積之比為1∶4,則兩個球的半徑之比為1∶2.又因為球的體積V=πR3,則這兩個球的體積之比為1∶8. 3.B 解析:由三視圖可知,該四棱臺的上、下底面邊長分別為1和2的正方形,高為2,故V=(12++22)2=.故選B. 4.C 解析:由三視圖還原幾何體為小圓柱和大圓柱組成的簡單組合體.其中小圓柱底面半徑為2、高為4,大圓柱底面半徑為3、高為2,則其體積和為π224+π322=34π,而圓柱體毛坯體積為π326=54π,故切削部分的體積為20π,從而切削的部分的體積與原來毛坯體積的比值為=. 5.4 解析:設(shè)球的半徑為r,則由3V球+V水=V柱,可得3πr3+πr28=πr26r.解得r=4. 6. 解析:設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1,r2,h1,h2,則2πr1h1=2πr2h2,=.又==,所以=.則=====. 7.π 解析:因為半圓面的面積為πl(wèi)2=2π,所以l2=4,即l=2,即圓錐的母線l=2.底面圓的周長2πr=πl(wèi)=2π,所以圓錐的底面半徑r=1,所以圓錐的高h==.所以圓錐的體積為πr2h=π1=π. 8.1∶24 解析:V1=S△ADEh1=S△ABCh2=V2,所以V1∶V2=1∶24. 9.解:(1)V=S底h=221=(m3). 答:這個正四棱錐形冷水塔的容積是 m3. (2)如圖D88,取底面邊長的中點E,連接SE. 圖D88 SE===(m), S側(cè)=42=4 (m2). 答:制造這個水塔的側(cè)面需要4 m2的鋼板. 10.(1)證明:由題意知,BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, ∴BC⊥平面ACC1A1. 又DC1?平面ACC1A1,∴DC1⊥BC. ∵AC=AD,A1C1=A1D, ∴∠A1DC1=∠ADC=45. ∴∠CDC1=90,即DC1⊥DC. 又DC∩BC=C,∴DC1⊥平面BDC. 又DC1?平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC. (2)解:設(shè)棱錐BDACC1的體積為V1,AC=1. 由題意,得V1=1=. 又三棱柱ABCA1B1C1的體積V=112=1, ∴(V-V1)∶V1=1∶1. 故平面BDC1分此棱柱所得的兩部分體積的比為1∶1. 第3講 點、直線、平面之間的位置關(guān)系 1.A 2.C 3.C 4.D 解析:如圖D89,在正方體ABCDA1B1C1D1中,取AA1為l2,BB1為l3,AD為l1.若AB為l4,則l1⊥l4;若BC為l4,則l1∥l4;若A1B1為l4,則l1與l4異面.因此l1,l4的位置關(guān)系不確定.故選D. 圖D89 圖D90 5.D 6. 解析:∵A1D∥B1C,∴直線A1B與A1D所成的角即為異面直線A1B與B1C所成的角.又∵△A1DB為正三角形,∴∠DA1B=.故答案為. 7. 解析:如圖D90,連接AE,DF,D1F,則DF∥AE,所以DF與D1F所成的角即為異面直線AE,D1F所成的角,設(shè)正方體的邊長為2,則DF=D1F=,在△DD1F中,cos∠D1FD==. 8.解:(1)證明:如圖D91,連接AC交BD于點O,連接PO. ∵PB=PD,∴PO⊥BD. 又∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC. 而AC∩PO=O,∴BD⊥平面PAC. ∴BD⊥PC,即PC⊥BD. (2)在△ABD中,AB=AD=2,∠BAD=60, 則BD=2,AC=2AO=2 . 又PO⊥BD,則PO==. AO2+PO2=6=AP2,∴PO⊥AC. 又PE=PA,則 S△PEC=S△PAC==. ∵BD⊥平面PAC,∴BO⊥平面PEC. ∴VPBEC=VBPEC=S△PECBO=1=. 圖D91 圖D92 9.解:(1)如圖D92,連接NC,NQ,MC,MN與PQ是異面直線. 在正方體中,PQ∥NC,則∠MNC為MN與PQ所成的角. 因為MN=NC=MC,所以∠MNC=60. 所以MN與PQ所成角的大小為60. (2)設(shè)正方體棱長為a,則正方體的體積V=a3. 而三棱錐MNPQ的體積與三棱錐NPQM的體積相等,且NP⊥平面PQM, 所以VNPQM=MPMQNP=a3. 所以三棱錐MNPQ的體積與正方體的體積之比為1∶6. 第4講 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 1.D 2.B 3.D 4.D 解析:選項A中的直線m,n可能不相交;選項B中直線n可能在平面α內(nèi);選項C中直線m,n的位置可能是平行、相交或異面. 5. 解析:因為EF∥平面AB1C,EF?平面ABCD,且平面AB1C與平面ABCD的交線為AC,所以EF∥AC.又點E為AD的中點,所以EF為△DAC的中位線,所以EF=AC.因為AB=2,ABCD為正方形,所以AC=2 ,所以EF=. 圖D93 6. cm2 解析:如圖D93,截面ACE∥BD1,平面BDD1∩平面ACE=EF,其中F為AC與BD的交點,所以E為DD1的中點,易求S△ACE= cm2. 7.①③④ 解析:對于①,由于BC固定,所以在傾斜的過程中,始終有AD∥EH∥FG∥BC,且平面AEFB∥平面DHGC,故水的部分始終呈棱柱狀(四棱柱、三棱柱或五棱柱),且BC為棱柱的一條側(cè)棱,故①正確;對于②,當水是四棱柱或五棱柱時,水面面積與上下底面面積相等;當水是三棱柱時,則水面面積可能變大,也可能變小,故②不正確;③是正確的;④是正確的,由水的體積的不變性可證得.綜上所述,正確命題的序號是①③④. 8.(1)證明:如圖D94,連接B1C,交BC1于點O,連接OD. ∵四邊形BCC1B1是平行四邊形, ∴點O為B1C的中點. ∵D為AC的中點, ∴OD為△ACB1的中位線. ∴OD∥AB1. ∵OD?平面BC1D,AB1?平面BC1D, ∴AB1∥平面BC1D. (2)解:∵三棱柱ABCA1B1C1,∴側(cè)棱CC1∥AA1. 又∵AA1⊥底面ABC,∴側(cè)棱CC1⊥平面ABC. 故CC1為三棱錐C1BCD的高,A1A=CC1=2. S△BCD=S△ABC==. ∴V=V=CC1S△BCD=2=1. 圖D94 圖D95 9.(1)證明:∵BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,∴GH∥BC. 同理,EF∥BC.∴GH∥EF. (2)解:如圖D95,連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K,連接OP,GK. ∵PA=PC,O是AC的中點, ∴PO⊥AC.同理,得PO⊥BD. 又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD內(nèi), ∴PO⊥平面ABCD. 又∵平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH, ∴PO∥平面GEFH. ∵平面PBD∩平面GEFH=GK, ∴PO∥GK.∴GK⊥平面ABCD. 又EF?平面ABCD,∴GK⊥EF. ∴GK是梯形GEFH的高. 由AB=8,EB=2,得EB∶AB=KB∶DB=1∶4. 從而KB=DB=OB,即K是OB的中點. 又由PO∥GK,得GK=PO. ∴G是PB的中點,且GH=BC=4. 由已知,得OB==4 , PO===6. ∴GK=3. 故四邊形GEFH的面積S=GK=3=18. 第5講 直線、平面垂直的判定與性質(zhì) 1.B 2.D 3.B 解析:根據(jù)題意,分兩步來判斷:①當α∥β時,∵a⊥α,且α∥β,∴a⊥β,又∵b?β,∴a⊥b,則a⊥b是α∥β的必要條件;②若a⊥b,不一定有α∥β,當α∩β=a時,又由a⊥α,則a⊥b,但此時α∥β不成立,即a⊥b不是α∥β的充分條件,則a⊥b是α∥β的必要不充分條件. 圖D96 4.B 解析:如圖D96,連接B1C,則B1C∥A1D,∵A1D與BC1所成的角為,∴B1C⊥BC1,∴長方體ABCDA1B1C1D1為正方體.取B1D1的中點M,連接C1M,BM,∴C1M⊥平面BB1D1D,∴∠C1BM為BC1與平面BB1D1D所成的角.∵AB=BC=2,∴C1M=,BC1=2 , ∴sin∠C1BM==.故選B. 5.C 解析:若a,b,c換成平面α,β,γ,則“α∥β,且α⊥γ?β⊥γ”是真命題; 若a,b換成平面α,β,則“α∥β,且c⊥α?c⊥β”是真命題; 若b,c換成平面β,γ,則“a∥β,且a⊥γ?β⊥γ”是真命題; 若a,c換成平面α,γ,則“b∥α,且α⊥γ?b⊥γ”是假命題. 6.B 解析:方法一:取BC中點E,連接AE,A1E, 過點A作AF⊥A1E,垂足為F. ∵A1A⊥平面ABC,∴A1A⊥BC. ∵AB=AC,∴AE⊥BC. ∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF. 又AF⊥A1E,∴AF⊥平面A1BC. ∴AF的長即為所求點A到平面A1BC的距離. ∵AA1=1,AE=,∴AF=. 方法二:V=S△ABCAA1=1=. 又∵A1B=A1C=, 在△A1BE中,A1E==2, ∴S=22=2. ∴V=Sh=h. ∴h=.∴h=.∴點A到平面A1BC的距離為. 圖D97 7. 解析:因為在正三棱錐PABC中,PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以可以把該正三棱錐看作為一個正方體的一部分(如圖D97),此正方體內(nèi)接于球,正方體的對角線為球的直徑,球心為正方體對角線的中點.球心到截面ABC的距離為球的半徑減去正三棱錐PABC在平面ABC上的高.已知球的半徑為,所以正方體的棱長為2,可求得正三棱錐PABC在平面ABC上的高為,所以球心到截面ABC的距離為-=. 8.(1)證明:由AB=DB,BC=BC,∠ABC=∠DBC, 得△ABC≌△DBC(SAS).∴AC=DC. 又G為AD的中點,∴CG⊥AD. ∵AB=BD,G為AD的中點,∴BG⊥AD. 又BG∩CG=G,∴AD⊥平面BCG. 又EF∥AD,故EF⊥平面BCG. 圖D98 (2)解:如圖D98,在平面ABC內(nèi),過點A作AO⊥BC,交CB的延長線于點O. ∵平面ABC⊥平面BCD, ∴AO⊥平面BDC. 又G為AD的中點, ∴G到平面BCD的距離h=AO. 在△AOB中, AO=ABsin60=.∴h=. ∴VDBCG=VGBCD=h=. 9.(1)證明:在三棱柱ABCA1B1C1中, BB1⊥底面ABC,∴BB1⊥AB. 又∵AB⊥BC,且BB1∩BC=B,∴AB⊥平面B1BCC1. 又AB?平面ABE,∴平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)證明:如圖D99,取AB中點為G,連接EG,F(xiàn)G. 圖D99 ∵E,F(xiàn)分別是A1C1,BC的中點, ∴FG∥AC,且FG=AC. ∵AC∥A1C1,且AC=A1C1, ∴FG∥EC1,且FG=EC1. ∴四邊形FGEC1為平行四邊形. ∴C1F∥EG. 又∵EG?平面ABE,C1F?平面ABE, ∴C1F∥平面ABE. (3)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, ∴AB==. ∴VEABC=S△ABCAA1=12=. 第6講 空間坐標系與空間向量 1.D 2.C 解析:cos〈a,b〉===. 解得λ=-2或. 3.D 解析:∵=++,∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2+2+2=1+1+1+2(cos60+cos60+cos60)=6,∴||=. 4.D 5.D 解析:∵M,A,B,C四點共面?=x+y+z(x,y,z∈R),且x+y+z=1.∵++=0?=--,∴存在x=-1,y=-1,使=x+y,∴,,共面.∵M為公共點,∴M,A,B,C四點共面. 6.B 7.A 解析:=-=- =+- =+-. ∴||==a. 8.(1) (2) 解析:=(1,1,0),=(-1,0,-1), (1)cos〈,〉===-, ∴〈,〉=. (2)在方向上的投影===. 9.90 解析:∵=(-)=-=||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=||||cos60-||||cos60=0. ∴⊥,∴〈,〉=90. 圖D100 10.(1)證明:如圖D100,連接BC1,交B1C于點O,連接AO. 因為側(cè)面BB1C1C為菱形, 所以B1C⊥BC1,且O為B1C及BC1的中點. 又AB⊥B1C,所以B1C⊥平面ABO. 由于AO?平面ABO,故B1C⊥AO. 又B1O=CO,故AC=AB1. (2)解:因為AC⊥AB1,且O為B1C的中點,所以AO=CO. 又因為AB=BC,所以△BOA≌△BOC(SSS). 故OA⊥OB,從而OA,OB,OB1兩兩垂直. 以O(shè)為坐標原點,OB的方向為x軸正方向,|OB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz. 因為∠CBB1=60,所以△CBB1為等邊三角形. 又OB=1,則OB1=,OA=. 故A,B(1,0,0),B1,C. =, ==, 1==. 設(shè)n=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,則 即 所以可取n=(1,,). 設(shè)m是平面A1B1C1的法向量, 則 同理可取m=(1,-,). 則cos〈n,m〉==. 所以結(jié)合圖形知,二面角AA1B1C1的余弦值為. 第7講 空間中角與距離的計算 1.A 解析:設(shè)l與α所成的角為θ,則sinθ=|cos〈m,n〉|=.∴θ=30. 2.D 3.D 4.C 5.B 解析:BB1與平面ACD1所成角即DD1 與平面ACD1所成角,即∠DD1O,其正切值是= . 6. 解析:過B,D分別向AC作垂線,垂足分別為M,N.則可求得AM=,BM=,CN=,DN=,MN=1. ∵=++,∴||2=|(++)|2=||2+||2+||2+2(++)=2+12+2+2(0+0+0)=,∴||=. 7. 解析:=(-1,2,0),=(-1,0,3).設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z).由n=0,n=0知,令x=2,則y=1,z=. ∴平面ABC的一個法向量為n=. 又平面xOy的一個法向量為=(0,0,3). ∴所求二面角的余弦值cosθ===. 故平面ABC與平面xOy所成銳二面角的余弦值為. 8.(1)證明:如圖D101,取AB中點為E,連接CE,A1B,A1E. 圖D101 ∵AB=AA1,∠BAA1=60, ∴△BAA1是正三角形.∴A1E⊥AB. ∵CA=CB,∴CE⊥AB. ∵CE∩A1E=E,∴AB⊥平面CEA1. ∴AB⊥A1C. (2)解:由(1)知,EC⊥AB,EA1⊥AB. 又∵平面ABC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面AA1B1B=AB, ∴EC⊥面AA1B1B.∴EC⊥EA1. ∴EA,EC,EA1兩兩相互垂直. 以E為坐標原點,,,的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,||為單位長度,建立如圖D102所示的空間直角坐標系Exyz, 圖D102 由題設(shè)知,A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0), 則=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,). 設(shè)n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量, 則即可取n=(,1,-1). ∴cos〈n,〉==-. ∴直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 9.解:(1)如圖D103,以,,為單位正交基底建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz, 圖D102 則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,4),D(1,1,0),C1(0,2,4). ∴=(2,0,-4),=(1,-1,-4). ∴cos〈,〉===. ∴異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為. (2)=(0,2,0)是平面ABA1的一個法向量. 設(shè)平面ADC1的法向量為m=(x,y,z), ∵=(1,1,0),=(0,2,4), 且m⊥,m⊥, ∴取z=1,得y=-2,x=2. ∴平面ADC1的法向量為m=(2,-2,1). 設(shè)平面ADC1與平面ABA1所成二面角為θ, ∴|cosθ|=|cos〈,m〉|===, 則sinθ=. ∴平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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