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2019-2020年高中數學 2.1.1 橢圓及其標準方程二教案 北師大選修1-1 教學過程： 一、復習引入： 1．1997年初，中國科學院紫金山天文臺發(fā)布了一條消息，從1997年2月中旬起,海爾波普彗星將逐漸接近地球，過4月以后,又將漸漸離去,并預測3000年后,它還將光臨地球上空 1997年2月至3月間,許多人目睹了這一天文現象天文學家是如何計算出彗星出現的準確時間呢？原來，海爾波普彗星運行的軌道是一個橢圓，通過觀察它運行中的一些有關數據，可以推算出它的運行軌道的方程，從而算出它運行周期及軌道的的周長 （說明橢圓在天文學和實際生產生活實踐中的廣泛應用，指出研究橢圓的重要性和必要性，從而導入本節(jié)課的主題） 2.復習求軌跡方程的基本步驟： 3．手工操作演示橢圓的形成：取一條定長的細繩，把它的兩端固定在 畫圖板上的兩點，當繩長大于兩點間的距離時，用鉛筆把繩子拉 近，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓 分析：（1）軌跡上的點是怎么來的？ （2）在這個運動過程中，什么是不變的？ 答：兩個定點，繩長 即不論運動到何處，繩長不變（即軌跡上與兩個定點距離之和不變） 二、講解新課： 1 橢圓定義： 平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫作橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距 注意:橢圓定義中容易遺漏的兩處地方： （1）兩個定點---兩點間距離確定 （2）繩長--軌跡上任意點到兩定點距離和確定 思考：在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段） 在同樣的繩長下，兩定點間距離較短，則所畫出的橢圓較圓（圓） 由此，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關(為下一節(jié)學習離心率概念作鋪墊) 2.根據定義推導橢圓標準方程： 取過焦點的直線為軸，線段的垂直平分線為軸 設為橢圓上的任意一點，橢圓的焦距是（）. 則，又設M與距離之和等于()（常數） ， ， 化簡，得 ， 由定義, 令代入，得 ， 兩邊同除得 此即為橢圓的標準方程 它所表示的橢圓的焦點在軸上，焦點是，中心在坐標原點的橢圓方程 其中 注意若坐標系的選取不同，可得到橢圓的不同的方程 如果橢圓的焦點在軸上（選取方式不同，調換軸）焦點則變成,只要將方程中的調換，即可得 ，也是橢圓的標準方程 理解：所謂橢圓標準方程，一定指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點；在與這兩個標準方程中，都有的要求，如方程就不能肯定焦點在哪個軸上；分清兩種形式的標準方程，可與直線截距式類比，如中，由于，所以在軸上的“截距”更大，因而焦點在軸上(即看分母的大小) 三、講解范例： 例1 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程： ⑴兩個焦點坐標分別是(-4,0)、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點的距離 之和等于10； ⑵兩個焦點坐標分別是（0，－2）和（0,2）且過（,） 解：（1）因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為 　　　　 所以所求橢圓標準方程為 2 因為橢圓的焦點在軸上，所以設它的標準方程為 由橢圓的定義知， ＋ 　 　又 所以所求標準方程為 另法：∵ ∴可設所求方程，后將點（,）的坐標代入可求出，從而求出橢圓方程 點評：題（１）根據定義求 若將焦點改為(0,-4)、（0，4）其結果如何； 題（２）由學生的思考與練習，總結有兩種求法：其一由定義求出a與b長，根據條件寫出方程；其二是由已知焦距，求出長軸與短軸的關系，設出橢圓方程，由點在橢圓上的條件，用待定系數的辦法得出方程 四、課堂練習： 1 橢圓上一點P到一個焦點的距離為5，則P到另一個焦點的距離為（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.橢圓的焦點坐標是（ ） A.(5，0) B.(0，5) C.(0，12) D.(12，0) 3.已知橢圓的方程為，焦點在軸上，則其焦距為（ ） A.2 B.2 C.2 D. 4.,焦點在y軸上的橢圓的標準方程是 5.方程表示橢圓，則的取值范圍是（ ） Ａ. Ｂ.∈Ｚ）  Ｃ. Ｄ. ∈Ｚ） 參考答案： 1.A2.C3.A4. 5. Ｂ 五、小結 ：本節(jié)課學習了橢圓的定義及標準方程,應注意以下幾點: ①橢圓的定義中, ； ②橢圓的標準方程中,焦點的位置看,的分母大小來確定； ③、、的幾何意義 六、板書設計（略） 七、課后記： 寫出適合下列條件的橢圓的標準方程:(口答) (1) a=4,b=3,焦點在x軸；(2)a=5,c=2,焦點在y軸上.（答案：；） (2) 已知三角形ΔABC的一邊長為6,周長為16,求頂點A的軌跡方程 解：以BC邊為x軸，BC線段的中垂線為y軸建立直角坐標系，則A點的軌跡是橢圓，其方程為： 若以BC邊為y軸，BC線段的中垂線為x軸建立直角坐標系，則A點的軌跡是橢圓， 其方程為：