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2019-2020年高考數(shù)學考點分類自測 拋物線 理 一、選擇題 1．已知拋物線x2＝ay的焦點恰好為雙曲線y2－x2＝2的上焦點，則a等于 (　　) A．1　　　　　　　　　　　　B．4 C．8 D．16 2．拋物線y＝－4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是 (　　) A．－ B．－ C. D. 3．已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 (　　) A. B．1 C. D. 4．已知拋物線y2＝2px，以過焦點的弦為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是(　　) A．相離 B．相交C．相切 D．不確定 5．已知F為拋物線y2＝8x的焦點，過F且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，則||FA|－|FB||的值等于 (　　) A．4 B．8 C．8 D．16 6．在y＝2x2上有一點P，它到A(1,3)的距離與它到焦點的距離之和最小，則點P的坐標是 (　　) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2) 二、填空題7．以拋物線x2＝16y的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程為________． 8．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，拋物線上一點Q(－3，m)到焦點的距離是5，則拋物線的方程為________． 9．已知拋物線y2＝4x與直線2x＋y－4＝0相交于A、B兩點，拋物線的焦點為F，那么| | ＋| | ＝________. 三、解答題 10．根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程： (1)拋物線的焦點是雙曲線 16x2－9y2＝144的左頂點； (2)過點P(2，－4)． 11．已知點A(－1,0)，B(1，－1)，拋物線C：y2＝4x，O為坐標原點，過點A的動直線l交拋物線C于M，P兩點，直線MB交拋物線C于另一點Q.若向量與的夾角為，求△POM的面積． 12．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0，－1)，B點在直線y＝－3上，M點滿足 ∥ ， ＝ ，M點的軌跡為曲線C. (1)求C的方程； (2)P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值． 一、選擇題 1．解析：根據(jù)拋物線方程可得其焦點坐標為(0，)，雙曲線的上焦點為(0,2)，依題意則有 ＝2, 解得a＝8. 答案：C 2．解析：拋物線方程可化為x2＝－，其準線方程為y＝.設M(x0，y0)，則由拋物線的定義，可知－y0＝1?y0＝－. 答案：B 3．解析：根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理，得線段AB中點到y(tǒng)軸的距離為：(|AF|＋|BF|)－＝－＝. 答案：C 4．解析：設拋物線焦點弦為AB，中點為M，準線l，A1、B1分別為A、B在直線l上的射影，則|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距離d＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半徑，故相切． 答案：C 5．解析：依題意F(2,0)，所以直線方程為y＝x－2由，消去y得x2－12x＋4＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝＝＝8. 答案：C 6．解析：如圖所示，直線l為拋物線y＝2x2的準線，F(xiàn)為其焦點，PN⊥l，AN1⊥l，由拋物線的定義知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，當且僅當A、P、N三點共線時取等號．∴P點的橫坐標與A點的橫坐標相同即為1，則可排除A、C、D. 答案：B 二、填空題7．解析：拋物線的焦點為F(0,4)，準線為y＝－4，則圓心為(0,4)，半徑r＝8.所以，圓的方程為x2＋(y－4)2＝64. 答案：x2＋(y－4)2＝64 8．解析：設拋物線方程為x2＝ay(a≠0)， 則準線為y＝－. ∵Q(－3，m)在拋物線上， ∴9＝am. 而點Q到焦點的距離等于點Q到準線的距離， ∴|m－(－)|＝5.將m＝代入， 得|＋|＝5，解得，a＝2，或a＝18， ∴所求拋物線的方程為x2＝2y，或x2＝18y. 答案：x2＝2y或x2＝18y 9．解析：由，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的兩根為A、B兩點的橫坐標，故x1＋x2＝5，因為拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，所以| | ＋| | ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7 答案：7 三、解答題 10．解：雙曲線方程化為－＝1， 左頂點為 (－3,0)， 由題意設拋物線方程為 y2＝－2px(p>0)，則－＝－3， ∴p＝6，∴拋物線方程為y2＝－12x. (2)由于P(2，－4)在第四象限且拋物線對稱軸為坐標軸，可設拋物線方程為y2＝mx或x2＝ny，代入P點坐標求得m＝8，n＝－1， ∴所求拋物線方程為y2＝8x或x2＝－y. 11．解：設點M(，y1)，P(，y2)， ∵P，M，A三點共線， ∴kAM＝kPM， 即＝， 即＝， ∴y1y2＝4. ∴ ＝＋y1y2＝5. ∵向量 與 的夾角為， ∴| || |cos＝5. ∴S△POM＝| | | | sin＝. 12．解：(1)設M(x，y)由已知得B(x，－3)，A(0，－1)． 所以 ＝(－x，－1－y)， ＝(0，－3－y)， ＝(x，－2)． 再由題意可知(＋ )＝0，即(－x，－4－2y)(x，－2)＝0. 所以曲線C的方程為y＝x2－2. (2)設P(x0，y0)為曲線C：y＝x2－2上一點， 因為y′＝x，所以l的斜率為x0. 因此曲線l的方程為y－y0＝x0(x－x0)，即x0x－2y＋2y0－x＝0. 則O點到l的距離d＝.又y0＝x－2， 所以d＝＝(＋)≥2， 當x0＝0時取等號，所以O點到l距離的最小值為2.