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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 8.3 拋物線教案 ●知識(shí)梳理 定義 到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡 方程 1.y2=2px（p≠0），焦點(diǎn)是F（，0） 2.x2=2py（p≠0），焦點(diǎn)是F（0，） 性質(zhì) S：y2=2px（p＞0） 1.范圍：x≥0 2.對(duì)稱性：關(guān)于x軸對(duì)稱 3.頂點(diǎn)：原點(diǎn)O 4.離心率：e=1 5.準(zhǔn)線：x=－ 6.焦半徑P（x，y）∈S，|PF|=x+ 思考討論 對(duì)于拋物線x2=2py（p＞0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式如何推導(dǎo)？ ●點(diǎn)擊雙基 1.（xx年春季北京）在拋物線y2=2px上，橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則p的值為 A. B.1 C.2 D.4 解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=－，由拋物線的定義知4+=5，解得P=2. 答案：C 2.設(shè)a≠0，a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 A.（a，0） B.（0，a） C.（0，） D.隨a符號(hào)而定 解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程. 答案：C 3.以拋物線y2＝2px（p＞0）的焦半徑｜PF｜為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為 A.相交 B.相離 C.相切 D.不確定 解析：利用拋物線的定義. 答案：C 4.以橢圓 +=1的中心為頂點(diǎn)，以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓右準(zhǔn)線交于A、B兩點(diǎn)，則|AB|的值為___________. 解析：中心為（0，0），左準(zhǔn)線為x=－，所求拋物線方程為y2= x.又橢圓右準(zhǔn)線方程為x=，聯(lián)立解得A（，）、B（，－）.∴|AB|=. 答案： 5.（xx年全國(guó)）對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④拋物線的通徑的長(zhǎng)為5；⑤由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）. 能使這拋物線方程為y2=10x的條件是____________.（要求填寫合適條件的序號(hào)） 解析：由拋物線方程y2=10x可知②⑤滿足條件. 答案：②⑤ ●典例剖析 【例1】 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程： （1）過(guò)點(diǎn)（－3，2）； （2）焦點(diǎn)在直線x－2y－4=0上. 剖析：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個(gè)待定系數(shù)p；從實(shí)際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個(gè)條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論. 解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y2=－2px或x2=2py（p＞0）， ∵過(guò)點(diǎn)（－3，2），∴4=－2p（－3）或9=2p2. ∴p=或p=. ∴所求的拋物線方程為y2=－x或x2=y，前者的準(zhǔn)線方程是x=，后者的準(zhǔn)線方程是y=－. （2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4， ∴拋物線的焦點(diǎn)為（4，0）或（0，－2）. 當(dāng)焦點(diǎn)為（4，0）時(shí)，=4，∴p=8，此時(shí)拋物線方程y2=16x； 焦點(diǎn)為（0，－2）時(shí)，=2， ∴p=4，此時(shí)拋物線方程為x2=－8y. ∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=－8y，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=－4，y=2. 評(píng)述：這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解. 【例2】如下圖所示，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1⊥l2，點(diǎn)N∈l1，以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等.若△AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程. 剖析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分，求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍. 解：以直線l1為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲線段C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段C的端點(diǎn). 設(shè)曲線段C的方程為y2=2px（p>0）（xA≤x≤xB，y>0），其中xA、xB為A、B的橫坐標(biāo)，p=|MN|， 所以M（－，0） 、N（，0）. 由|AM|=，|AN|=3，得（xA+）2+2pxA=17， ① （xA－）2+2pxA=9. ② ①②聯(lián)立解得xA=，代入①式，并由p>0， 或 解得 p=4， p=2， xA=1 xA=2. 因?yàn)椤鰽MN為銳角三角形，所以>xA. 所以 故舍去 P=2， P=4， xA=2. xA=1. 由點(diǎn)B在曲線段C上，得xB=|BN|－=4. 綜上，曲線段C的方程為y2=8x（1≤x≤4，y>0）. 評(píng)述：本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法、待定系數(shù)法求曲線方程的步驟，綜合考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 【例3】 設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸.證明直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 剖析：證直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，即證O、A、C三點(diǎn)共線，為此只需證kOC=kOA.本題也可結(jié)合圖形特點(diǎn)，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識(shí)去解決. 證法一：設(shè)AB：x=my+，代入y2=2px，得y2－2pmy－P2=0. 由韋達(dá)定理，得yAyB=－p2，即yB=－. ∵BC∥x軸，且C在準(zhǔn)線x=－上， ∴C（－，yB）. 則kOC====kOA. 故直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 證法二：如下圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，過(guò)A作AD⊥l，垂足為D. 則AD∥EF∥BC.連結(jié)AC交EF于點(diǎn)N，則==，=. ∵|AF|=|AD|，|BF|=|BC|， ∴|EN|===|NF|， 即N是EF的中點(diǎn).從而點(diǎn)N與點(diǎn)O重合，故直線AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O. 評(píng)述：本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力.在涉及解析思想較多的證法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)AyB=－p2這個(gè)重要結(jié)論.還有些證法充分利用了平面幾何知識(shí)，這也提醒廣大師生對(duì)圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目. 思考討論 本題也可用平面向量來(lái)證明，讀者不妨一試. ●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) 1.（xx年高考新課程）設(shè)a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)P（x0，f（x0））處切線的傾斜角的取值范圍為［0，］，則P到曲線y=f（x）對(duì)稱軸距離的取值范圍為 A.［0，］ B.［0，］ C.［0，||］ D.［0，||］ 解析：tanα=k=f′（x）=2ax+b，∴0≤2ax0+b≤1.∴0≤x0+≤. 答案：B 2.（xx年全國(guó)Ⅰ，8）設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是 A.［－，］ B.［－2，2］ C.［－1，1］ D.［－4，4］ 解析：∵y2=8x，∴Q（－2，0）（Q為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)），設(shè)過(guò)Q點(diǎn)的直線l方程為y= k（x+2）. ∵l與拋物線有公共點(diǎn)， 有解， ∴方程組 y2=8x， y=k（x+8） 即k2x2+（4k2－8）+4k2=0有解. ∴Δ=（4k2－8）2－16k4≥0，即k2≤1.∴－1≤k≤1. 答案：C 3.（xx年春季上海）直線y=x－1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是___________. 解析：將y=x－1代入拋物線y2=4x，經(jīng)整理得x2－6x+1=0. 由韋達(dá)定理得x1+x2=6，=3，===2. ∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）. 答案：（3，2） 4.在拋物線y=4x2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線y=4x－5的距離最短，該點(diǎn)的坐標(biāo)是____________. 解法一：設(shè)與y=4x－5平行的直線y=4x+b與y=4x2相切，則y=4x+b代入y=4x2，得 4x2－4x－b=0. ① Δ=16+16b=0時(shí)b=－1，代入①得x=，∴所求點(diǎn)為（，1）. 解法二：設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)為A（x0，y0），那么有y0=4x02.設(shè)點(diǎn)A到直線y=4x－5的距離為d，則 d==|－4x02+4x0－5| =|4x02－4x0+5|=|4（x0－）2+1|.當(dāng)且僅當(dāng)x0=時(shí)，d有最小值， 將x0=代入y=4x2解得y0=1.故A點(diǎn)坐標(biāo)為（，1）. 答案：（，1） 5.下圖所示的直角坐標(biāo)系中，一運(yùn)動(dòng)物體經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，9），其軌跡方程是y=ax2+c（a＜0），D=（6，7）為x軸上的給定區(qū)間. （1）為使物體落在D內(nèi)，求a的取值范圍； （2）若物體運(yùn)動(dòng)時(shí)又經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，8.1），問(wèn)它能否落在D內(nèi)？并說(shuō)明理由. 解：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即運(yùn)動(dòng)物體的軌跡方程為y=ax2+9. 令y=0，得ax2+9=0，即x2=－. 若物體落在D內(nèi)，應(yīng)有6＜＜7，解得－＜a＜－. （2）若運(yùn)動(dòng)物體又經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，8.1）， 則8.1=4a+9，解得a=－，∴－＜－＜－， ∴運(yùn)動(dòng)物體能落在D內(nèi). 6.正方形ABCD中，一條邊AB在直線y=x+4上，另外兩頂點(diǎn)C、D在拋物線y2＝x上，求正方形的面積. 解：設(shè)CD所在直線的方程為y=x+t， 消去y得 ∵ y=x+t， y2=x， x2+（2t－1）x+t2=0，∴｜CD｜＝＝. 又直線AB與CD間距離為｜AD｜＝， ∵｜AD｜＝｜CD｜，∴t=－2或－6. 從而邊長(zhǎng)為3或5. 面積S1＝（3）2＝18，S2=（5）2=50. 培養(yǎng)能力 7.給定拋物線y2=2x，設(shè)A（a，0），a＞0，P是拋物線上的一點(diǎn)，且｜PA｜=d，試求d的最小值. 解：設(shè)P（x0，y0）（x0≥0），則y02=2x0， ∴d=｜PA｜= ==. ∵a＞0，x0≥0，∴（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1－a＞0， 此時(shí)有x0=0時(shí)，dmin==a. （2）當(dāng)a≥1時(shí)，1－a≤0， 此時(shí)有x0=a－1時(shí)，dmin=. 8.過(guò)拋物線y2=2px（p＞0）焦點(diǎn)F的弦AB，點(diǎn)A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A1、B1，求∠A1FB1. 解：由拋物線定義及平行線性質(zhì)知∠A1FB1=180－（∠AFA1+∠BFB1） =180－（180－∠A1AF）－（180－∠B1BF） =（∠A1AF+∠B1BF）=90. 探究創(chuàng)新 9.（xx年春季北京）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=－1相切，點(diǎn)C在l上. （1）求動(dòng)圓圓心的軌跡M的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn). ①問(wèn)△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由. ②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，求這時(shí)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍. 解：（1）依題意，曲線M是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x，如下圖. （2）①由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）. 消去y，得3x2－10x+3=0. 由 y=－（x－1）， y2=4x， 解得A（，），B（3，－2）， 若△ABC能為正三角形，設(shè)C（－1，y），則|AC|=|AB|=|BC|， ∴ （+1）2+（－y）2=（3－）2+（2+）2， ① （3+1）2+（2+y）2=（3－）2+（2+）2. ② 解得y=－. 但y=－不符合（1），所以①②組成的方程組無(wú)解.因此直線l上不存在點(diǎn)C使△ABC是正三角形. ②設(shè)C（－1，y）使△ABC成鈍角三角形，由 得y=2， y=－（x－1）， x=－1， 即當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（－1，2）時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線，故y≠2. 又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=－+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=. 當(dāng)|BC|2＞|AC|2+|AB|2，即28+4y+y2＞－y+y2+， 即y＞時(shí)，∠CAB為鈍角. 當(dāng)|AC|2＞|BC|2+|AB|2，即－y+y2＞28+4y+y2+， 即y＜－時(shí)，∠CBA為鈍角. 又|AB|2＞|AC|2+|BC|2，即＞－+y2+28+4y+y2，即 y2+y+＜0，（y+）2＜0. 該不等式無(wú)解，所以∠ACB不可能為鈍角. 因此，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是 y＜－或y＞（y≠2）. ●思悟小結(jié) 本節(jié)主要內(nèi)容是拋物線的定義、方程及幾何性質(zhì).解決本節(jié)問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 1.求拋物線方程時(shí)，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動(dòng)點(diǎn)的規(guī)律，一般用軌跡法. 2.凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點(diǎn)坐標(biāo)的復(fù)雜運(yùn)算. 3.解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì). ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 本節(jié)重點(diǎn)是拋物線的定義、四種方程及幾何性質(zhì).難點(diǎn)是四種方程的運(yùn)用及對(duì)應(yīng)性質(zhì)的比較、辨別和應(yīng)用，關(guān)鍵是定義的運(yùn)用.建議在教學(xué)中注意以下幾點(diǎn)： 1.圓錐曲線統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時(shí)，表示橢圓；當(dāng)e=1時(shí)，表示拋物線；當(dāng)e＞1時(shí)，表示雙曲線. 2.由于拋物線的離心率e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識(shí)來(lái)解決的. 3.拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離.牢記它對(duì)解題非常有益. 4.求拋物線方程時(shí)，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 5.在解題中，拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，所以要注意相互轉(zhuǎn)化. 拓展題例 【例題】 （xx年北京東城區(qū)模擬題）已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點(diǎn)為中心，以拋物線C1的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸與短軸之比為，過(guò)拋物線C1的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線l，交橢圓C于一點(diǎn)P（點(diǎn)P在x軸上方），交拋物線C1于一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在x軸下方）. （1）求點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)； （2）將點(diǎn)Q沿直線l向上移動(dòng)到點(diǎn)Q′，使|QQ′|=4a，求過(guò)P和Q′且中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸的雙曲線的方程. 解：（1）由題意可知F（a，0），設(shè)橢圓方程為+=1（m＞n＞0）. 解得 由 =， m2=2a2， m2－n2=a2， n2=a2， ∴橢圓方程為+=1，直線l：y=x－a. 可求出P（a，a）. y=x－a， 可求出Q（（3－2）a，（2－2）a）. 由 +=1， 由 y=x－a， y2=4ax， （2）將Q點(diǎn)沿直線l向上移動(dòng)到Q′點(diǎn)， 使|QQ′|=4a，則可求出Q′點(diǎn)的坐標(biāo)為（3a，2a）. 設(shè)雙曲線方程為－=1（sr＞0）. 由于P、Q′在雙曲線上，則有 －=1， －=1. 解得 =， =. ∴雙曲線方程為x2－y2=1.