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2019-2020年高中數(shù)學 2.3《平面向量的基本定理及坐標表示》教學設計 新人教A版必修4 【教學目標】 1．了解平面向量基本定理； 2．理解平面里的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示，初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法； 3．能夠在具體問題中適當?shù)剡x取基底，使其他向量都能夠用基底來表達. 【導入新課】 復習引入： 1． 實數(shù)與向量的積 實數(shù)λ與向量的積是一個向量，記作：λ.（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0時，λ與方向相同；λ<0時，λ與方向相反；λ=0時，λ=. 2．運算定律 結合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ. 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)λ，使=λ. 新授課階段 一、平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使=λ1+λ2. 探究： (1) 我們把不共線向量ｅ１、ｅ２叫做表示這一平面內所有向量的一組基底； (2) 基底不惟一，關鍵是不共線； (3) 由定理可將任一向量a在給出基底ｅ１、ｅ２的條件下進行分解； (4)基底給定時，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一確定的數(shù)量. 二、平面向量的坐標表示 如圖，在直角坐標系內，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得 …………○1 我們把叫做向量的（直角）坐標，記作 …………○2 其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標，○2式叫做向量的坐標表示.與相等的向量的坐標也為. 特別地，，，. 如圖，在直角坐標平面內，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定. 設，則向量的坐標就是點的坐標；反過來，點的坐標也就是向量的坐標.因此，在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示. 三、平面向量的坐標運算 （1）若，，則，.兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差. 設基底為、，則，即，同理可得. （2）若，，則. 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標. =-=( x2，y2) -(x1，y1)= (x2- x1，y2- y1). （3）若和實數(shù)，則. 實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標. 設基底為、，則，即. 例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐標. 例2 已知=(2，1)，=(-3，4)，求+，-，3+4的坐標. 例3 已知平面上三點的坐標分別為A(-2，1)，B(-1，3)， C(3，4)，求點D的坐標使這四點構成平行四邊形四個頂點. 解：當平行四邊形為ABCD時，由，得D1=(2，2). 當平行四邊形為ACDB時，得D2=(4，6)，當平行四邊形為DACB時，得D3=(-6，0). 例4 已知三個力(3，4)， (2，-5)，(x，y)的合力++=，求的坐標. 解：由題設++=，得：(3，4)+ (2，-5)+(x，y)=(0，0)， 即： ∴ ∴(-5，1). 例5 已知=(2,1), =(－3,4),求＋，－，3＋4的坐標. 解：＋＝（2,1）+（-3,4）=(－1，5)， －＝（2,1）-（-3,4）=(5，－3)， 3＋4＝3（2,1）+4（-3,4）=（6,3）+（-12,16）=(－6，19). 點評：利用平面向量的坐標運算法則直接求解. 例6 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別為（-2，1）、（-1，3）（3，4），求頂點D的坐標. 解：設點D的坐標為（x,y）, 即 3- x=1,4-y=2. 解得x=2,y=2. 所以頂點D的坐標為（2，2）. 另解：由平行四邊形法則可得 例7 經(jīng)過點的直線分別交軸、軸于點，且，求點的坐標. 解：由題設知，三點共線，且，設， ①點在之間，則有， ∴. 解之得：， 點的坐標分別為. ②點不在之間，則有，同理，可求得點的坐標分別為， . 綜上，點的坐標分別為或，. 例8. 已知三點，若，試求實數(shù)的取值范圍，使落在第四象限. 解：設點，由題設得， ∴， 要使落在第四象限，則， 解之得. 例8 已知向量，問是否存在實數(shù)同時滿足兩個條件：？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由. 解：假設滿足條件的實數(shù)存在，則有解之得： ∴滿足條件的實數(shù). 課堂小結 （1）理解平面向量的坐標的概念； （2）掌握平面向量的坐標運算； （3）會根據(jù)向量的坐標，判斷向量是否共線. 作業(yè) 見同步練習 拓展提升 1.設是同一平面內兩個不共線的向量，不能以下各組向量中作為基底的是（ ） A. ， B. +， C. ，2 D.，+ 2. 設是同一平面內所有向量的一組基底，則以下各組向量中，不能作為基底的是（ ） A. +和- B. 3-2和4-6 C. +2和2+ D. +和 3. 已知不共線， =+，=4 +2，并且，共線，則下列各式正確的是（ ） A. =1， B. =2， C. =3， D. =4 4.設=+5，=-2+8，=3-3，那么下列各組的點中三點一定共線的是（ ） A. A，B，C B.　A，C，D C.　A，B，D D.?。拢?，Ｄ ５．下列說法中，正確的是（　?。? ①一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；　　　　　　?、谝粋€平面內有無數(shù)多對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底；　　　　　　③零向量不可作為基底中的向量. Ａ．①②　　　?。拢佗邸　　　。茫冖邸　　　。蘑佗冖? ６．已知是同一平面內兩個不共線的向量，那么下列兩個結論中正確的是（　?。? ①+（，為實數(shù)）可以表示該平面內所有向量；　　　　　　　　　　　　　②若有實數(shù)，使+＝，則＝＝０. Ａ．①　　?。拢凇　　。茫佗凇　　。模陨隙疾粚? ７．已知ＡＭ＝△ＡＢＣ的ＢＣ邊上的中線，若＝，＝，則＝（　?。? Ａ．（ － ）　　　Ｂ．?。?－ ） Ｃ．－（ ＋）　　?。模?＋） ８．已知ＡＢＣＤＥＦ是正六邊形，＝，＝，則＝（　?。? Ａ．（ － ）　　?。拢。?－ ） Ｃ．＋　　?。模?＋） ９．如果３+４＝，２+３＝，其中，為已知向量，則＝　　　，＝　　　　　　　　. １０．已知是同一平面內兩個不共線的向量，且＝２+ｋ，＝+３，＝２－，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三點共線，則ｋ的值為　　　　　. １１．當ｋ為何值時，向量＝４+２，＝ｋ＋共線，其中、是同一平面內兩個不共線的向量. １２．已知：、是不共線的向量，當ｋ為何值時，向量＝ｋ+與＝＋ｋ共線？ 參考答案 1．C 2.B 3.B 4.C 5．C 6.C 7.D 8.D 9. 10.－8 11．②③⑤ 12.k=2