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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.5.1離散型隨機變量的均值教案 蘇教版選修2 教學(xué)目標 1．了解離散型隨機變量的期望的意義， 2．會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望． 3．能計算簡單離散型隨機變量均值，并能解決一些實際問題． 教學(xué)重點：離散型隨機變量的期望的概念． 教學(xué)難點：根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望． 教學(xué)過程 一、自學(xué)導(dǎo)航 1．情景： 前面所討論的隨機變量的取值都是離散的，我們把這樣的隨機變量稱為離散型隨機變量．這樣刻畫離散型隨機變量取值的平均水平和穩(wěn)定程度呢？ 甲、乙兩個工人生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，在相同的條件下，他們生產(chǎn)件產(chǎn)品所出的不合格品數(shù)分別用表示，的概率分布如下． 2．問題： 如何比較甲、乙兩個工人的技術(shù)？ 3．學(xué)生活動 ⑴直接比較兩個人生產(chǎn)件產(chǎn)品時所出的廢品數(shù)．從分布列來看，甲出件廢品的概率比乙大，似乎甲的技術(shù)比乙好；但甲出件廢品的概率也比乙大，似乎甲的技術(shù)又不如乙好．這樣比較，很難得出合理的結(jié)論． ⑵學(xué)生聯(lián)想到“平均數(shù)”，，如何計算甲和乙出的廢品的“平均數(shù)”？ ⑶引導(dǎo)學(xué)生回顧《數(shù)學(xué)3（必修）》中樣本的平均值的計算方法． ①如果有n個數(shù)x1,x2,… ,xn,那么 ②如果n個數(shù)中x1,x2 … xk分別出現(xiàn)f1,f2 … ,fk次（f1+ f2+… + fk=n）則 ③某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？ ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 ④某射手射擊的環(huán)數(shù)ξ的分布列為: 則他射擊n次,射擊環(huán)數(shù)的平均值為 ． 那么，再回到前面的情境問題中來，如何來比較兩工人的技術(shù)呢？ 二、探究新知 1．定義 在《數(shù)學(xué)3（必修）》“統(tǒng)計”一章中，我們曾用公式計算樣本的平均值，其中為取值為的頻率值． 類似地，若離散型隨機變量的分布列或概率分布如下： X … P … 其中，，則稱為隨機變量的均值或的數(shù)學(xué)期望，記為或．它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． 2．性質(zhì) （1）；（2）．（為常數(shù)） 三、例題精講 例1 高三（1）班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲，在一個小口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同．某學(xué)生一次從中摸出5個球，其中紅球的個數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望． 分析：從口袋中摸出5個球相當于抽取個產(chǎn)品，隨機變量為5個球中的紅球的個數(shù)，則服從超幾何分布． 解：由2．2節(jié)例1可知，隨機變量的概率分布如表所示： X 0 1 2 3 4 5 P 從而 答：的數(shù)學(xué)期望約為． 說明：一般地，根據(jù)超幾何分布的定義，可以得到． 例2 從批量較大的成品中隨機取出件產(chǎn)品進行質(zhì)量檢查，若這批產(chǎn)品的不合格品率為 ，隨機變量表示這件產(chǎn)品中不合格品數(shù)，求隨機變量的數(shù)學(xué)期望． 解：由于批量較大，可以認為隨機變量，，隨機變量的概率分布如表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 故 即抽件產(chǎn)品出現(xiàn)不合格品的平均件數(shù)為件． 說明：例2中隨機變量服從二項分布，根據(jù)二項分布的定義，可以得到： 當 時，． 例3 設(shè)籃球隊與進行比賽，每場比賽均有一隊勝，若有一隊勝場則比賽宣告結(jié)束，假定在每場比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場數(shù)的期望． 分析：先由題意求出分布列，然后求期望 解：（1）事件“”表示，勝場或勝場（即負場或負場）， 且兩兩互斥．； （2）事件“”表示，在第5場中取勝且前場中勝3場，或在第5場中取勝且前場中勝3場（即第5場負且場中負了3場），且這兩者又是互斥的，所以 （3）類似地，事件“”、 “”的概率分別為 ， 比賽場數(shù)的分布列為 4 5 6 7 故比賽的期望為（場） 這就是說，在比賽雙方實力相當?shù)那闆r下，平均地說，進行6場才能分出勝負． 四、課堂精練 1．籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，罰不中得0分．已知某運動員罰球命中的概率為0.7，他連續(xù)罰球3次；（1）求他得到的分數(shù)X的分布列；（2）求X的期望． 2．據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)下個月有小洪水的概率為，有大洪水的概率為．現(xiàn)工地上有一臺大型設(shè)備，為保護設(shè)備有以下三種方案： 方案1 運走設(shè)備，此時需花費元； 方案2 建一保護圍墻，需花費元．但圍墻無法防止大洪災(zāi)，若大洪災(zāi)來臨，設(shè)備受損，損失費為元； 方案3 不采取措施，希望不發(fā)生洪水，此時大洪水來臨損失元，小洪水來臨損失元． 試選擇適當?shù)臉藴?，對種方案進行比較． 五、回顧小結(jié) 1．離散型隨機變量均值（數(shù)學(xué)期望）的概念和意義； 2．離散型隨機變量均值（數(shù)學(xué)期望）的計算方法； 3．超幾何分布和二項分布的均值（數(shù)學(xué)期望）的計算方法． 二項分布：若X~H(n,M,N) 則E(X)＝ 超幾何分布：若X~B(n,p) 則E(X)＝np X 0 1 P 1－ p p 另：如果隨機變量X服從兩點分布， 則E(X)＝p （E(X)＝0(1－p)＋1p＝p） 六、拓展延伸 七、課后作業(yè)課本， 第1題 八、教學(xué)后記