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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 3.2 直線的方程教案 新人教A版必修2 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識與技能 （1）理解直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的形式特點(diǎn)和適用范圍； （2）能正確利用直線的點(diǎn)斜式、斜截式公式求直線方程。 （3）體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系. 2、過程與方法 在已知直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素——直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角的基礎(chǔ)上，通過師生探討，得出直線的點(diǎn)斜式方程；學(xué)生通過對比理解“截距”與“距離”的區(qū)別。 3、情態(tài)與價(jià)值觀 通過讓學(xué)生體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)，使學(xué)生能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： （1）重點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程。 （2）難點(diǎn)：直線的點(diǎn)斜式方程和斜截式方程的應(yīng)用。 三、教學(xué)設(shè)想 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 1、在直線坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線，應(yīng)知道哪些條件？ 使學(xué)生在已有知識和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，探索新知。 學(xué)生回顧，并回答。然后教師指出，直線的方程，就是直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。 2、直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為。設(shè)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，請建立與之間的關(guān)系。 培養(yǎng)學(xué)生自主探索的能力，并體會(huì)直線的方程，就是直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，從而掌握根據(jù)條件求直線方程的方法。 學(xué)生根據(jù)斜率公式，可以得到，當(dāng)時(shí)，，即 （1） 教師對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生給予關(guān)注、引導(dǎo)，使每個(gè)學(xué)生都能推導(dǎo)出這個(gè)方程。 3、（1）過點(diǎn)，斜率是的直線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)都滿足方程（1）嗎？ 使學(xué)生了解方程為直線方程必須滿兩個(gè)條件。 學(xué)生驗(yàn)證，教師引導(dǎo)。 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) （2）坐標(biāo)滿足方程（1）的點(diǎn)都在經(jīng)過，斜率為的直線上嗎？ 使學(xué)生了解方程為直線方程必須滿兩個(gè)條件。 學(xué)生驗(yàn)證，教師引導(dǎo)。然后教師指出方程（1）由直線上一定點(diǎn)及其斜率確定，所以叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡稱點(diǎn)斜式（point slope form）. 4、直線的點(diǎn)斜式方程能否表示坐標(biāo)平面上的所有直線呢？ 使學(xué)生理解直線的點(diǎn)斜式方程的適用范圍。 學(xué)生分組互相討論，然后說明理由。 5、（1）軸所在直線的方程是什么？軸所在直線的方程是什么？ （2）經(jīng)過點(diǎn)且平行于軸（即垂直于軸）的直線方程是什么？ （3）經(jīng)過點(diǎn)且平行于軸（即垂直于軸）的直線方程是什么？ 進(jìn)一步使學(xué)生理解直線的點(diǎn)斜式方程的適用范圍，掌握特殊直線方程的表示形式。 教師學(xué)生引導(dǎo)通過畫圖分析，求得問題的解決。 6、例1的教學(xué)。 學(xué)會(huì)運(yùn)用點(diǎn)斜式方程解決問題，清楚用點(diǎn)斜式公式求直線方程必須具備的兩個(gè)條件：（1）一個(gè)定點(diǎn)；（2）有斜率。同時(shí)掌握已知直線方程畫直線的方法。 教師引導(dǎo)學(xué)生分析要用點(diǎn)斜式求直線方程應(yīng)已知那些條件？題目那些條件已經(jīng)直接給予，那些條件還有待已去求。在坐標(biāo)平面內(nèi)，要畫一條直線可以怎樣去畫。 7、已知直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為，求直線的方程。 引入斜截式方程，讓學(xué)生懂得斜截式方程源于點(diǎn)斜式方程，是點(diǎn)斜式方程的一種特殊情形。 學(xué)生獨(dú)立求出直線的方程： （2） 再此基礎(chǔ)上，教師給出截距的概念，引導(dǎo)學(xué)生分析方程（2）由哪兩個(gè)條件確定，讓學(xué)生理解斜截式方程概念的內(nèi)涵。 8、觀察方程，它的形式具有什么特點(diǎn)？ 深入理解和掌握斜截式方程的特點(diǎn)？ 學(xué)生討論，教師及時(shí)給予評價(jià)。 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 9、直線在軸上的截距是什么？ 使學(xué)生理解“截距”與“距離”兩個(gè)概念的區(qū)別。 學(xué)生思考回答，教師評價(jià)。 10、你如何從直線方程的角度認(rèn)識一次函數(shù)？一次函數(shù)中和的幾何意義是什么？你能說出一次函數(shù)圖象的特點(diǎn)嗎？ 體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系. 學(xué)生思考、討論，教師評價(jià)、歸納概括。 11、例2的教學(xué)。 掌握從直線方程的角度判斷兩條直線相互平行，或相互垂直；進(jìn)一步理解斜截式方程中的幾何意義。 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：用斜率判斷兩條直線平行、垂直結(jié)論。思考（1）時(shí)， 有何關(guān)系？（2）時(shí)，有何關(guān)系？在此由學(xué)生得出結(jié)論： 且； 12、課堂練習(xí)第100頁練習(xí)第1，2，3，4題。 鞏固本節(jié)課所學(xué)過的知識。 學(xué)生獨(dú)立完成，教師檢查反饋。 13、小結(jié) 使學(xué)生對本節(jié)課所學(xué)的知識有一個(gè)整體性的認(rèn)識，了解知識的來龍去脈。 教師引導(dǎo)學(xué)生概括：（1）本節(jié)課我們學(xué)過那些知識點(diǎn)；（2）直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的形式特點(diǎn)和適用范圍是什么？（3）求一條直線的方程，要知道多少個(gè)條件？ 14、布置作業(yè)：第106頁第1題的（1）、（2）、（3）和第3、5題 鞏固深化 學(xué)生課后獨(dú)立完成。 3.2.2 直線的兩點(diǎn)式方程 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識與技能 （1）掌握直線方程的兩點(diǎn)的形式特點(diǎn)及適用范圍； （2）了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍。 2、過程與方法 讓學(xué)生在應(yīng)用舊知識的探究過程中獲得到新的結(jié)論，并通過新舊知識的比較、分析、應(yīng)用獲得新知識的特點(diǎn)。 3、情態(tài)與價(jià)值觀 （1）認(rèn)識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化； （2）培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1、 重點(diǎn)：直線方程兩點(diǎn)式。 2、難點(diǎn)：兩點(diǎn)式推導(dǎo)過程的理解。 三、教學(xué)設(shè)想 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 1、利用點(diǎn)斜式解答如下問題： （1）已知直線經(jīng)過兩點(diǎn),求直線的方程. （2）已知兩點(diǎn)其中，求通過這兩點(diǎn)的直線方程。 遵循由淺及深，由特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律。使學(xué)生在已有的知識基礎(chǔ)上獲得新結(jié)論，達(dá)到溫故知新的目的。 教師引導(dǎo)學(xué)生：根據(jù)已有的知識，要求直線方程，應(yīng)知道什么條件？能不能把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題呢？在此基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率，從而可求出直線方程： （1） （2） 教師指出：當(dāng)時(shí)，方程可以寫成 由于這個(gè)直線方程由兩點(diǎn)確定，所以我們把它叫直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式（two-point form）. 2、若點(diǎn)中有，或，此時(shí)這兩點(diǎn)的直線方程是什么？ 使學(xué)生懂得兩點(diǎn)式的適用范圍和當(dāng)已知的兩點(diǎn)不滿足兩點(diǎn)式的條件時(shí)它的方程形式。 教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察和分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，所以直線方程為：；當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線方程為：。 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 3、例3 教學(xué) 已知直線與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為B，其中，求直線的方程。 使學(xué)生學(xué)會(huì)用兩點(diǎn)式求直線方程；理解截距式源于兩點(diǎn)式，是兩點(diǎn)式的特殊情形。 教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中所給的條件有什么特點(diǎn)？可以用多少方法來求直線的方程？那種方法更為簡捷？然后由求出直線方程： 教師指出：的幾何意義和截距式方程的概念。 4、例4教學(xué) 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A（-5，0），B（3，-3），C（0，2），求BC邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程。 讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)題目中所給的條件，選擇恰當(dāng)?shù)闹本€方程解決問題。 教師給出中點(diǎn)坐標(biāo)公式，學(xué)生根據(jù)自己的理解，選擇恰當(dāng)方法求出邊BC所在的直線方程和該邊上中線所在直線方程。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生交流各自的作法，并進(jìn)行比較。 5、課堂練習(xí) 第102頁第1、2、3題。 學(xué)生獨(dú)立完成，教師檢查、反饋。 6、小結(jié) 增強(qiáng)學(xué)生對直線方種四種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式）互相之間的聯(lián)系的理解。 教師提出：（1）到目前為止，我們所學(xué)過的直線方程的表達(dá)形式有多少種？它們之間有什么關(guān)系？ （2）要求一條直線的方程，必須知道多少個(gè)條件？ 7、布置作業(yè) 鞏固深化，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立解決問題的能力。 學(xué)生課后完成 3.2.3 直線的一般式方程 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識與技能 （1）明確直線方程一般式的形式特征； （2）會(huì)把直線方程的一般式化為斜截式，進(jìn)而求斜率和截距； （3）會(huì)把直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式化為一般式。 2、過程與方法 學(xué)會(huì)用分類討論的思想方法解決問題。 3、情態(tài)與價(jià)值觀 （1）認(rèn)識事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化； （2）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1、重點(diǎn)：直線方程的一般式。 2、難點(diǎn)：對直線方程一般式的理解與應(yīng)用。 三、教學(xué)設(shè)想 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 1、（1）平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示嗎？ （2）每一個(gè)關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）都表示一條直線嗎？ 使學(xué)生理解直線和二元一次方程的關(guān)系。 教師引導(dǎo)學(xué)生用分類討論的方法思考探究問題（1），即直線存在斜率和直線不存在斜率時(shí)求出的直線方程是否都為二元一次方程。對于問題（2），教師引導(dǎo)學(xué)生理解要判斷某一個(gè)方程是否表示一條直線，只需看這個(gè)方程是否可以轉(zhuǎn)化為直線方程的某種形式。為此要對B分類討論，即當(dāng)時(shí)和當(dāng)B=0時(shí)兩種情形進(jìn)行變形。然后由學(xué)生去變形判斷，得出結(jié)論： 關(guān)于的二元一次方程，它都表示一條直線。 教師概括指出：由于任何一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于的二元一次方程表示；同時(shí)，任何一個(gè)關(guān)于的二元一次方程都表示一條直線。 我們把關(guān)于關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式（general form）. 2、直線方程的一般式與其他幾種形式的直線方程相比，它有什么優(yōu)點(diǎn)？ 使學(xué)生理解直線方程的一般式的與其他形 學(xué)生通過對比、討論，發(fā)現(xiàn)直線方程的一般式與其他形式的直線方程的一個(gè)不同點(diǎn)是： 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 式的不同點(diǎn)。 直線的一般式方程能夠表示平面上的所有直線，而點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式方程，都不能表示與軸垂直的直線。 3、在方程中，A，B，C為何值時(shí)，方程表示的直線 （1）平行于軸；（2）平行于軸；（3）與軸重合；（4）與重合。 使學(xué)生理解二元一次方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)對直線的位置的影響。 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧前面所學(xué)過的與軸平行和重合、與軸平行和重合的直線方程的形式。然后由學(xué)生自主探索得到問題的答案。 4、例5的教學(xué) 已知直線經(jīng)過點(diǎn)A（6，-4），斜率為，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程。 使學(xué)生體會(huì)把直線方程的點(diǎn)斜式轉(zhuǎn)化為一般式，把握直線方程一般式的特點(diǎn)。 學(xué)生獨(dú)立完成。然后教師檢查、評價(jià)、反饋。指出：對于直線方程的一般式，一般作如下約定：一般按含項(xiàng)、含項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列；項(xiàng)的系數(shù)為正；，的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)；無特加要時(shí)，求直線方程的結(jié)果寫成一般式。 5、例6的教學(xué) 把直線的一般式方程化成斜截式，求出直線的斜率以及它在軸與軸上的截距，并畫出圖形。 使學(xué)生體會(huì)直線方程的一般式化為斜截式，和已知直線方程的一般式求直線的斜率和截距的方法。 先由學(xué)生思考解答，并讓一個(gè)學(xué)生上黑板板書。然后教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出由直線方程的一般式，求直線的斜率和截距的方法：把一般式轉(zhuǎn)化為斜截式可求出直線的斜率的和直線在軸上的截距。求直線與軸的截距，即求直線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為此可在方程中令=0，解出值，即為與直線與軸的截距。 在直角坐標(biāo)系中畫直線時(shí)，通常找出直線下兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。 6、二元一次方程的每一個(gè)解與坐標(biāo)平面中點(diǎn)的有什么關(guān)系？直線與二元一次方程的解之間有什么關(guān)系？ 使學(xué)生進(jìn)一步理解二元一次方程與直線的關(guān)系，體會(huì)直解坐標(biāo)系把直線與方程聯(lián)系起來。 學(xué)生閱讀教材第105頁，從中獲得對問題的理解。 7、課堂練習(xí) 第105練習(xí)第2題和第3（2） 鞏固所學(xué)知識和方法。 學(xué)生獨(dú)立完成，教師檢查、評價(jià)。 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 8、小結(jié) 使學(xué)生對直線方程的理解有一個(gè)整體的認(rèn)識。 （1）請學(xué)生寫出直線方程常見的幾種形式，并說明它們之間的關(guān)系。 （2）比較各種直線方程的形式特點(diǎn)和適用范圍。 （3）求直線方程應(yīng)具有多少個(gè)條件？ （4）學(xué)習(xí)本節(jié)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？ 9、布置作業(yè) 第106頁習(xí)題3.2第10題和第11題。 鞏固課堂上所學(xué)的知識和方法。 學(xué)生課后獨(dú)立思考完成。