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2019-2020年高考數學第一輪復習 第一章《集合與函數》教案 北師大版 一、知識網絡 集合 集 合 表 示 法 集 合 的 運 算 集 合 的 關 系 列 舉 法 描 述 法 圖 示 法 包 含 相 等 子集與真子集 交 集 并 集 補 集 函數 函數 及其表示 函數基本性質 單調性與最值 函數的概念 函數 的 奇偶性 函數的表示法 映射 映射的概念 集合與函數 二、新課標要求與考綱要求： （Ⅰ）、集合：（一）集合的含義與表示 1．了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關系. 2．能用自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題。 （二）集合間的基本關系 1．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集. 2．在具體情境中，了解全集與空集的含義. （三）集合的基本運算 1．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。 2．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集. 3．能使用韋恩圖（Venn）表達集合的關系及運算。 （Ⅱ）函數：1．了解構成函數的要素，了解映射的概念,會求一些簡單函數的定義域和值域。 2．理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據不同的要求選擇恰當的方法表示簡單的函數。 3．了解分段函數，能用分段函數來解決一些簡單的數學問題?！? 4．理解函數的單調性，會討論和證明一些簡單的函數的單調性；理解函數奇偶性的含義，會判斷簡單的函數奇偶性。 5．理解函數的最大（小）值及其幾何意義，并能求出一些簡單的函數的最大（?。┲? 6．會運用函數圖像理解和研究函數的性質. （Ⅲ）冪函數： 1．了解冪函數的概念。2．結合函數 的圖像，了解它們的變化情況。 三、高考導航 （一）集合：根據考試大綱的要求，結合xx年高考的命題情況，我們可以預測xx年集合部分在選擇、填空和解答題中都有涉及，高考命題熱點有以下兩個方面：一是集合的運算、集合的有關述語和符號、集合的簡單應用等作基礎性的考查，題型多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)；二是以函數、方程、三角、不等式等知識為載體，以集合的語言和符號為表現(xiàn)形式，結合簡易邏輯知識考查學生的數學思想、數學方法和數學能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn)。 (二）函數：函數是高考數學的重點內容之一，函數的觀點和思想方法貫穿整個高中數學的全過程，包括解決幾何問題.在近幾年的高考試卷中，選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數試題，而且?？汲Ｐ?以基本函數為模型的應用題和綜合題是高考命題的新趨勢。根據考試大綱的要求，結合xx年高考的命題情況，我們可以預測xx年函數部分在選擇、填空和解答題中都有，高考命題考試熱點：①考查函數的表示法、定義域、值域、單調性、奇偶性、函數的圖象.②函數與方程、不等式、數列是相互關聯(lián)的概念，通過對實際問題的抽象分析，建立相應的函數模型并用來解決問題，是考試的熱點.③考查運用函數的思想來觀察問題、分析問題和解決問題，滲透數形結合和分類討論的基本數學思想. 第一課時 集合的概念及運算 一、復習目標：（1）集合的含義與表示：了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系。能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用。 （2）集合的基本關系：理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集（不要求證明集合的相等關系、包含關系）。了解全集與空集的含義。 （3）集合間的基本運算：理解兩個集合的并集與交集的含義；會求兩個簡單集合的并集與交集。理解給定集合的一個子集的補集的含義；會求給定子集的補集。會用Venn圖表示集合的關系及運算。 二、重難點：重點：集合元素的特征、集合的三種表示方法、集合的交、并、補三種運算。難點：正確把握集合元素的特征、進行集合的不同表示方法之間的相互轉化，準確進行集合的交、并、補三種運算。 學法指導：1．易混淆的概念：注意區(qū)分元素對集合的隸屬關系與集合之間的包含關系、元素與集合數集與點集；2. 代表元素識別： 幾何問題要根據“代表元素”首先確定屬于哪類集合（點集、數集等），然后確定方法。描述法給出的集合，性質雷同，代表元素不同，則集合不同，如；3.注意集合的特殊性：將空集表示成都是錯誤的，解題中，要注意空集的可能性，并分類討論。中是元素，是集合是子集；4.數學思想的滲透：集合運算的性質可借助韋恩圖導出，是數形結合；含參數的集合，要注意驗證集合元素的互異性；含條件，要討論的情況；補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題； 5.綜合運用。 三、教學方法：講練結合，探析歸納。 四、教學過程 （一）、談新考綱要求及高考命題考查情況，促使學生積極參與。 1、最新考綱要求：學生閱讀復資P1教師點評。 2、高考命題考查情況及預測：有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系，近年試題加強了對集合的計算化簡的考查，并向無限集發(fā)展，考查抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意利用幾何的直觀性，注意運用Venn圖解題方法的訓練，注意利用特殊值法解題，加強集合表示方法的轉換和化簡的訓練。考試形式多以一道選擇題為主，分值5分。 預測xx年高考將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具作用，多以小題形式出現(xiàn)，也會滲透在解答題的表達之中，相對獨立。具體題型估計為：（1）題型是1個選擇題或1個填空題；（2）熱點是集合的基本概念、運算和工具作用。 （二）、知識梳理整合，方法定位（學生完成下列填空題，教師針對問題講評） 1、集合的含義及其關系 ⑴、集合中的元素具有的三個性質:確定性、無序性和互異性； ⑵、集合的3種表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖； ⑶、集合中元素與集合的關系： 文字語言 符號語言 屬于 不屬于 ⑷、常見集合的符號表示 數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集 復數集 符號 或 2、集合間的基本關系 表示 關系 文字語言 符號語言 相等 集合A與集合B中的所有元素都相同 且 子集 A中任意一元素均為B中的元素 或 真子集 A中任意一元素均為B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 ，（） 3、集合的基本運算 ①兩個集合的交集:= ；②兩個集合的并集: =；③設全集是U,集合,則 交 并 補 方法:常用數軸或韋恩圖進行集合的交、并、補三種運算. （三）、重難點問題探析： 1.集合的概念 掌握集合的概念的關鍵是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合中元素的互異性， 在解題過程中最易被忽視，因此要對結果進行檢驗； 2．集合的表示法 （1）列舉法要注意元素的三個特性；（2）描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性質，如、、等的差別，如果對集合中代表元素認識不清，將導致求解錯誤： 問題：已知集合（ ） A. ；B. ；C. ；D. [錯解]誤以為集合表示橢圓，集合表示直線，由于這直線過橢圓的兩個頂點，于是錯選B [正解] C； 顯然，，故 (3)Venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關問題和集合的運算時常用Venn圖。 3．集合間的關系的幾個重要結論 （1）空集是任何集合的子集，即；2）任何集合都是它本身的子集，即；3）子集、真子集都有傳遞性，即若，，則 4．集合的運算性質 （1）交集：①；②；③；④，⑤； （2）并集：①；②；③；④，⑤； （3）交、并、補集的關系：①； ②； （四）、基礎鞏固訓練 U B A 1． 設全集, 則右圖中陰影部分表示的集合為 ( ) A．；B．；C．；D． [解析]C；圖中陰影部分表示的集合是，而，故 2.已知 則=（ ） A．；B．；C．；D． [解析] A；因為，，所以 3．集合中的代表元素設為，集合中的代表元素設為，若且，則與的關系是 [解析] 或；由子集和交集的定義即可得到結論 4.(xx天津)設集合，則的取值范圍是（ ）。A．；B． C．或；D．或 [解析]A；，， 所以，從而得 5．(xx山東改編）定義集合運算:,設集合,,則集合的所有元素之和為 [解析]18，根據的定義，得到，故的所有元素之和為18 6．(xx湖北改編）設和是兩個集合，定義集合，如果，,那么等于 [解析] ；因為，，所以 7.若集合，，則是（ ） A. ；B. ；C.；D. 有限集 [解析] A；由題意知，集合表示函數的值域，故 集合；表示函數的值域，，故 8.已知集合，，那么集合為（ ）A.；B.；C.；D. [解析]D；表示直線與直線的交點組成的集合，A、B、C均不合題意。 （五）、小結：集合知識可以使我們更好地理解數學中廣泛使用的集合語言，并用集合語言表達數學問題，運用集合觀點去研究和解決數學問題。1．學習集合的基礎能力是準確描述集合中的元素，熟練運用集合的各種符號，如、、、、=、A、∪，∩等等； 2．強化對集合與集合關系題目的訓練，理解集合中代表元素的真正意義，注意利用幾何直觀性研究問題，注意運用Venn圖解題方法的訓練，加強兩種集合表示方法轉換和化簡訓練；解決集合有關問題的關鍵是準確理解集合所描述的具體內容（即讀懂問題中的集合）以及各個集合之間的關系，常常根據“Venn圖”來加深對集合的理解，一個集合能化簡（或求解），一般應考慮先化簡（或求解）；3．確定集合的“包含關系”與求集合的“交、并、補”是學習集合的中心內容，解決問題時應根據問題所涉及的具體的數學內容來尋求方法。① 區(qū)別∈與、與、a與{a}、φ與{φ}、{(1,2)}與{1,2}；② AB時，A有兩種情況：A＝φ與A≠φ。③若集合A中有n個元素，則集合A的所有不同的子集個數為，所有真子集的個數是－1, 所有非空真子集的個數是。④區(qū)分集合中元素的形式：如；；；； 。⑤空集是指不含任何元素的集合。、和的區(qū)別；0與三者間的關系?？占侨魏渭系淖蛹?，是任何非空集合的真子集。條件為，在討論的時候不要遺忘了的情況。⑥符號“”是表示元素與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)點與直線（面）的關系 ；符號“”是表示集合與集合之間關系的，立體幾何中的體現(xiàn)面與直線(面)的關系。 （六）、作業(yè)布置：復資P2頁中1、3、5 隨堂訓練中7 課外練習：隨堂訓練中1、3、4、5、6 限時訓練1中2、3、4、5、6、8、9。 五、教學反思： 第二課時 集合的概念及運算 -------熱點考點題型探析 一、復習目標：1、通過本課，強化有關概念及方法的理解、掌握和應用。 2、探析熱點考點題型及解法，訓練學生靈活、綜合運用能力及分析解決問題的能力。 二、重難點：概念及方法的理解運用。 三、教學方法：講練結合，探析歸納。 四、教學過程 （一）、熱點考點題型探析 考點一：集合的定義及其關系 題型1：集合元素的基本特征 [例1].(xx年江西理）定義集合運算：．設，則集合的所有元素之和為（ ）A．0；B．2；C．3；D．6 [解題思路]根據的定義，讓在中逐一取值，讓在中逐一取值，在值就是的元素 [解析]：正確解答本題,必需清楚集合中的元素，顯然，根據題中定義的集合運算知=，故應選擇D 【反思歸納】這類將新定義的運算引入集合的問題因為背景公平，所以成為高考的一個熱點，這時要充分理解所定義的運算即可，但要特別注意集合元素的互異性。 題型2：集合間的基本關系 [例2]．數集與之的關系是（ ） A．；B．； C．；D． [解題思路]可有兩種思路：一是將和的元素列舉出來，然后進行判斷；也可依選擇支之間的關系進行判斷。 [解析] 從題意看，數集與之間必然有關系，如果A成立，則D就成立，這不可能； 同樣，B也不能成立；而如果D成立，則A、B中必有一個成立，這也不可能，所以只能是C 【反思歸納】新定義問題是高考的一個熱點，解決這類問題的辦法就是嚴格根據題中的定義，逐個進行檢驗，不方便進行檢驗的，就設法舉反例。 考點二：集合的基本運算 [例3] .設集合， （1） 若，求實數的值； （2）若，求實數的取值范圍若， [解題思路]對于含參數的集合的運算，首先解出不含參數的集合，然后根據已知條件求參數。 [解析]因為， （1）由知，，從而得，即， 解得或當時，，滿足條件； 當時，，滿足條件所以或 （2）對于集合，由 因為，所以 ①當，即時，，滿足條件；②當，即時，，滿足條件； ③當，即時，才能滿足條件， 由根與系數的關系得，矛盾。故實數的取值范圍是 【反思歸納】對于比較抽象的集合，在探究它們的關系時，要先對它們進行化簡。同時，要注意集合的子集要考慮空與不空,不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況. （二）、強化鞏固訓練 1．第二十九屆夏季奧林匹克運動會將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧運會比賽的運動員}，集合B={參加北京奧運會比賽的男運動員}，集合C={參加北京奧運會比賽的女運動員}，則下列關系正確的是（ ） A． B. C. D. [解析] D；因為全集為，而=全集= 2．, 則下列關系中立的是( ) A．; B．;C．;D． [解析]A；當時，有，即 ；當時，也恒成立，故 ，所以 3.設，，，記 ，，則＝( ) A. ; B.; C. ; D. [解析] A；依題意得，，所以， ，故應選A 4．設A、B是非空集合，定義，已知A=， B=，則AB等于（ ） A．；B．；C．；D． [解析]D；，∴A=[0，2]，，∴B=（1，＋∞）， ∴A∪B=[0, ＋∞），A∩B=（1，2]，則AB＝ 5．已知集合和集合各有12個元素，含有4個元素，試求同時滿足下面兩個條件的集合的個數： (Ⅰ)，且中含有3個元素； (Ⅱ)（表示空集） [解法一]因為、各有12個元素，含有4個元素， 因此，的元素個數是 故滿足條件(Ⅰ)的集合的個數是 上面集合中，還滿足的集合的個數是 因此，所求集合的個數是 [解法二]由題目條件可知，屬于而不屬于的元素個數是 因此，在中只含有中1個元素的所要求的集合的個數為 含有中2個元素的所要求的集合的個數為 含有中3個元素的所要求的集合的個數為 所以，所求集合的個數是 6．已知集合A=，如果集合A,B,C滿足求b,c. [b=-1,c=-6] (三)、小結反思：1、本課都探析了哪些考點及題型；它們的解法都有哪些？2、正確理解集合的意義，明確集合的元素及所具有的性質。3、注意集合中元素的三要素（確定性、互異性、無序性），特別是元素的互異性對解題的影響。4、空集是一個特殊的集合，它在解題中往往起到關鍵的作用，切不可疏忽。5、掌握集合的圖形表示（即Venn圖）、數軸表示等基本方法。6、重視集合中的等價轉化，如等。7、要注意數學思想方法在解題中的運用，如化歸與轉化、分類討論、數形結合的思想方法在解題中的應用。 （四）、作業(yè)布置： 限時訓練1中12、13、14 課外練習：1、P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？ 2、A＝{－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA,求m。 1、a值為0或－或2. m<2或2≤m≤3 2、 即m≤3為取值范圍. 注：（1）特殊集合作用，常易漏掉。 3、已知集合A=B= （1）當m=3時，求； （2）若AB，求實數m的值. 解： 由得∴-1＜x≤5,∴A=. （1）當m=3時，B=，則=∴=. (2)∵A=∴有42-24-m=0,解得m=8. 此時B=,符合題意，故實數m的值為8. 4、設集合為函數的定義域,集合為函數的值域,集合為不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取值范圍． 解：（1）解得A=（-4，2）， B= 。 所以 （2）a的范圍為<0。 五、教學反思： 第三課時 函數與映射的概念 一、復習目標：（1）了解構成函數的要素（定義域、值域、對應法則），會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念。 （2）會求函數的定義域、值域；會求函數的值域和求抽象函數的定義域 二、重難點：重點：掌握映射的概念、函數的概念，會求函數的定義域、值域 難點：求函數的值域和求抽象函數的定義域 三、教學方法：講練結合，探析歸納 四、教學過程 （一）談最新考綱要求及高考命題考查情況，促使積極參與。 最新考綱要求： 1、通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用； 2、了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念； 高考命題考查情況及預測： 函數是整個高中數學的重點，其中函數思想是最重要的數學思想方法，函數問題在歷年的高考中都占據相當大的比例。 從近幾年來看，對本部分內容的考查形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實際應用題）找出變量間的函數關系，再求出函數的定義域、值域，進而研究函數性質，尋求問題的結果。 高考對函數概念與表示考查是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大。 預測xx年高考對本節(jié)的考查是：1．題型是1個選擇和一個填空；2．熱點是函數概念及函數的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數成為新的熱點。 （二）、知識梳理整合。（學生完成下列填空題，教師準對問題講評） 1．函數的概念 (1)函數的定義： 設是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對于集合中的每一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么這樣的對應叫做從到的一個函數，通常記為 (2)函數的定義域、值域 在函數中，叫做自變量，的取值范圍叫做的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合稱為函數的值域。 (2)函數的三要素：定義域、值域和對應法則 2．映射的概念 設是兩個集合，如果按照某種對應法則，對于集合中的任意元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應，那么這樣的單值對應叫做從到的映射，通常記為 （三）重難點問題探析，方法定位：1．關于抽象函數的定義域 求抽象函數的定義域，如果沒有弄清所給函數之間的關系，求解容易出錯誤 問題1：已知函數的定義域為，求的定義域 [誤解]因為函數的定義域為，所以，從而 故的定義域是 [正解]因為的定義域為，所以在函數中，， 從而，故的定義域是 即本題的實質是求中的范圍 問題2：已知的定義域是，求函數的定義域 [誤解]因為函數的定義域是，所以得到，從而 ，所以函數的定義域是 [正解]因為函數的定義域是，則，從而 所以函數的定義域是 即本題的實質是由求的范圍 即與中含義不同 2． 求值域的幾種常用方法 （1）配方法：對于（可化為）“二次函數型”的函數常用配方法，如求函數，可變?yōu)榻鉀Q （2）基本函數法：一些由基本函數復合而成的函數可以利用基本函數的值域來求，如函數就是利用函數和的值域來求。 （3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函數的值域 由得，若，則得，所以是函數值域中的一個值；若，則由得，故所求值域是 （4）分離常數法：常用來求“分式型”函數的值域。如求函數的值域，因為 ，而，所以，故 （5）利用基本不等式求值域：如求函數的值域 當時，；當時，，若，則 若，則，從而得所求值域是 （6）利用函數的單調性求求值域：如求函數的值域 因，故函數在上遞減、在上遞增、在上遞減、在上遞增，從而可得所求值域為 （7）圖象法：如果函數的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函數的值域（求某些分段函數的值域常用此法）。 （四）、基礎鞏固訓練 1．（xx福建卷）下列函數中，與函數 有相同定義域的是（ ）。 A . B. C. D. 答案A. 2．函數的值域是 。 答案； 3．從集合A到B的映射中,下列說法正確的是( ) A．B中某一元素的原象可能不只一個；B．A中某一元素的象可能不只一個 C．A中兩個不同元素的象必不相同； D．B中兩個不同元素的原象可能相同 [解析]A；根據映射的定義知可排除B、C、D 4．下列對應法則中，構成從集合A到集合的映射是（ ） A． B． C． D． [解析]D；根據映射的定義知，構成從集合A到集合的映射是D 5．若函數的定義域為,值域為，則的取值范圍是（ ） A．；B．； C．；D． [解析]B；因為函數即為，其圖象的對稱軸為直線， 其最小值為，并且當及時，，若定義域為，值域為，則 6. （xx江西卷理）函數的定義域為（ ）。 A．　　　B．　　　C．　　　　D． 答案：C 7．（05天津改）設函數，則函數的定義域是 [解析] ； 8．設函數的定義域是(是正整數)，那么的值域中共有 個整數 [解析]；因為，可見，在(是正整數)上是增函數，又 所以，在的值域中共有個整數 （五）、小結：學生交流反思本課，并回答教師設問。1、本課都復習了哪些概念，你理解了嗎？2、如何判斷兩個函數表示同一個函數？3、如何求函數的定義域和值域，談談都有哪些方法。 （六）、作業(yè)布置：1、課本P55中A組1、3 C組3 課外練習：復資P7中3、4、5、6、7、8 隨堂訓練中1、3、5、6 五、教學反思： 第四課時 函數與映射的概念 ——熱點考點題型探析 一、復習目標： 1、通過本課，強化有關概念及方法的理解、掌握和應用。 2、探析熱點考點題型及解法，訓練學生靈活、綜合運用能力及分析解決問題的能力。 二、重難點：概念及方法的理解運用。 三、教學方法：講練結合，探析歸納。 四、教學過程 （一）、熱點考點題型探析 考點一：判斷兩函數是否為同一個函數 [例1] 試判斷以下各組函數是否表示同一函數？ （1），； （2）， （3），（n∈N*）； （4），； （5）， [解題思路]要判斷兩個函數是否表示同一個函數，就要考查函數的三要素。 [解析] （1）由于，，故它們的值域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數. （2）由于函數的定義域為，而的定義域為R，所以它們不是同一函數. （3）由于當n∈N*時，2n1為奇數，∴，，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數. （4）由于函數的定義域為，而的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數. （5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函數 【反思歸納】構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系確定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數為同一函數。第（5）小題易錯判斷成它們是不同的函數。原因是對函數的概念理解不透，在函數的定義域及對應法則f不變的條件下，自變量變換字母對于函數本身并無影響，比如，，都可視為同一函數. 考點二：求函數的定義域、值域 題型1：求有解析式的函數的定義域 [例2].（08年湖北）函數的定義域為( ) A.;B.；C. ;D. [解題思路]函數的定義域應是使得函數表達式的各個部分都有意義的自變量的取值范圍。 [解析]欲使函數有意義，必須并且只需 ，故應選擇 【反思歸納】如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函數解析式有意義的的取值范圍，實際操作時要注意：①分母不能為0；② 對數的真數必須為正；③偶次根式中被開方數應為非負數；④零指數冪中，底數不等于0；⑤負分數指數冪中，底數應大于0；⑥若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集；⑦如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義，而且注意：研究函數的有關問題一定要注意定義域優(yōu)先原則，實際問題的定義域不要漏寫。 題型2：求抽象函數的定義域 [例3]（xx湖北）設，則的定義域為（ ） A. ；B. ；C. ；D. [解題思路]要求復合函數的定義域，應先求的定義域。 [解析]由得，的定義域為，故 解得。故的定義域為.選B. 【反思歸納】求復合函數定義域,即已知函數的定義為，則函數的定義域是滿足不等式的x的取值范圍；一般地，若函數的定義域是，指的是，要求的定義域就是時的值域。 題型3；求函數的值域 [例4]已知函數，若恒成立，求的值域 [解題思路]應先由已知條件確定取值范圍，然后再將中的絕對值化去之后求值域 [解析]依題意，恒成立，則，解得， 所以，從而，，所以的值域是 【反思歸納】求函數的值域也是高考熱點，往往都要依據函數的單調性求函數的最值。 考點三：映射的概念 [例5] （06陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文對應密文例如，明文對應密文當接收方收到密文時，則解密得到的明文為（ ） A．；B．；C．；D． [解題思路] 密文與明文之間是有對應規(guī)則的，只要按照對應規(guī)則進行對應即可。 [解析] 當接收方收到密文14，9，23，28時， 有，解得，解密得到的明文為C． 【反思歸納】理解映射的概念，應注意以下幾點：（1）集合A、B及對應法則f是確定的，是一個整體系統(tǒng)；（2）對應法則有“方向性”，即強調從集合A到集合B的對應，它與從集合B到集合A的對應關系一般是不同的；（3）集合A中每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的，這是映射區(qū)別于一般對應的本質特征；（4）集合A中不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（5）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 （二）強化鞏固導練 1．集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立從A到B的映射個數是__________，從B到A的映射個數是__________。 答案 9 , 8； 2．若f :y=3x+1是從集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一個映射，求自然數a、k的值及集合A、B. [解析] a=2，k=5，A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}； ∵f（1）=31+1=4，f（2）=32+1=7，f（3）=33+1=10，f（k）=3k+1，由映射的定義知（1）或（2） ∵a∈N，∴方程組（1）無解. 解方程組（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}. 3．與函數的圖象相同的函數是 （ ）。 答案 C； A.；B.；C.； D. 4.（xx安徽文、理）函數的定義域為 。答案 ； 5．定義在上的函數的值域為，則函數的值域為( ) A．；B．；C．；D．無法確定 。 答案 B； 6．(xx江西改) 若函數的定義域是，則函數的定義域是 。 [解析] ；因為的定義域為，所以對，但故 7．(xx江西理改)若函數的值域是，則函數的值域 是 。 [解析] ；可以視為以為變量的函數，令，則 ，所以，在上是減函數，在上是增函數，故的最大值是，最小值是2 （三）、小結反思：1．了解映射的概念，應緊扣定義，抓住任意性和唯一性。理解函數的概念，并會判斷兩個函數表示同一個函數。2．求函數的定義域一般有三類問題：一是給出解釋式（如例1），應抓住使整個解式有意義的自變量的集合；二是未給出解析式（如例2），就應抓住內函數的值域就是外函數的定義域；三是實際問題，此時函數的定義域除使解析式有意義外，還應使實際問題或幾何問題有意義。3．求函數的值域沒有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、單調性法、有界性法、配方法、換元法、判別式法、不等式法、圖象法）外，應根據問題的不同特點，綜合而靈活地選擇方法。 （四）、作業(yè)布置：限時訓練2中12、13、14 課外練習：限時訓練2中1、3、5、6、7、8、9、10、11 五、教學反思： 第五課時 函數的表示方法 一、復習目標：1、理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據不同的要求選擇恰當的方法表示簡單的函數。2、了解分段函數，能用分段函數來解決一些簡單的數學問題。3、掌握求函數的解析式的一般常用方法，并會熟練運用。 二、重難點：重點：掌握函數的三種表示法-----圖象法、列表法、解析法，分段函數的概念。 難點：分段函數的概念，求函數的解析式。 三、教學方法：講練結合，探析歸納。 四、教學過程 （一）、談最新課標與考綱要求及高考命題考查情況，促使積極參與。 最新課標與考綱要求：1．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數；2．通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用；3. 掌握求函數的解析式的一般常用方法，并會熟練運用。 高考命題考查情況及預測：函數是整個高中數學的重點，其中函數思想是最重要的數學思想方法，函數問題在歷年的高考中都占據相當大的比例。 從近幾年來看，對本部分內容的考查形勢穩(wěn)中求變，向著更靈活的的方向發(fā)展，對于函數的概念及表示多以下面的形式出現(xiàn)：通過具體問題（幾何問題、實際應用題）找出變量間的函數關系，再求出函數的定義域、值域，進而研究函數性質，尋求問題的結果。 高考對函數概念與表示考查是以選擇或填空為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對較小，本節(jié)知識作為工具和其他知識結合起來命題的可能性依然很大。 預測xx年高考對本節(jié)的考查是：1．題型是1個選擇和一個填空；2．熱點是函數概念及函數的工具作用，以中等難度、題型新穎的試題綜合考察函數成為新的熱點。 （二）、知識梳理整合，方法定位。（學生完成復資P6填空題,教師準對問題講評） 1、函數的三種表示法：圖象法、列表法、解析法 （1）．圖象法：就是用函數圖象表示兩個變量之間的關系； （2）．列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數關系； (3)．解析法：就是把兩個變量的函數關系，用等式來表示。 2、分段函數 在自變量的不同變化范圍中，對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數。 3、重難點問題探析：掌握求函數的解析式的一般常用方法： （1）若已知函數的類型（如一次函數、二次函數），則用待定系數法； （2）若已知復合函數的解析式，則可用換元法或配湊法； 問題1．已知二次函數滿足，求 方法一：換元法 令，則，從而 所以 方法二：配湊法 因為 所以 方法三：待定系數法 因為是二次函數，故可設，從而由可求出，所以 （3）若已知抽象函數的表達式，則常用解方程組消參的方法求出 問題2：已知函數滿足，求 因為① 以代得② O -5 2 6 2 5 圖2 由①②聯(lián)立消去得 （三）、基礎鞏固導練 1．函數的圖象如圖2所示.觀察圖象 可知函數的定義域、值域分別是（ ） A.,；B. C.,；D.應選擇C 2．某工廠從xx年開始，近八年以來生產某種產品的情況是：前四年年產量的增長速度越來越慢，后四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的產量與時間的函數圖像可能是（ ） 4 8 y o t 4 8 y o t 4 8 y o t 4 8 y o t [解析] B；前四年年產量的增長速度越來越慢，知圖象的斜率隨x的變大而變小，后四年年產量的增長速度保持不變，知圖象的斜率不變，∴選B． 3．（xx湖南改編）設函數若,,則關于的方程的解的個數為 [解析] 3；由,可得，從而方程等價于 或，解得到或，從而得方程的解的個數為3 4．（08江蘇）已知為常數，若， ，則= [解析] 2；因為，所以 又，所以， 解得或，所以 5．對記，函數 的最小值是（ ）。 A.； B. ； C.； D. [解析] C；作出和的圖象即可得到函數 的最小值是 6．已知函數 其中， 作出函數的圖象。 [解析] 函數圖象如下：說明：圖象過、、點；在區(qū)間上的圖象為上凸的曲線段；在區(qū)間上的圖象為直線段。 7.（xx寧夏海南卷理）用min{a,b,c}表示a,b,c三個數中的最小值設f（x）=min{, x+2,10-x} (x 0),則f（x）的最大值為（ ）。 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 解析：選C 8.(xx山東卷)定義在R上的函數f(x)滿足f(x)= ，則f（3）的值為( ) 。 A.-1 B. -2 C.1 D. 2 【解析】:由已知得,,, ,,故選B. （四）、小結：1、理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據不同的要求選擇恰當的方法表示簡單的函數。 2、函數的解析式常用求法有：待定系數法、換元法（或湊配法）、解方程組法．使用換元法時，要注意研究定義域的變化。 3、在簡單實際問題中建立函數式，首先要選定變量，然后尋找等量關系，求得函數的解析式，還要注意定義域．若函數在定義域的不同子集上的對應法則不同，可用分段函數來表示。 4、能會識圖、作圖、用圖。 （五）、作業(yè)布置：課本P56A組中11、B組中6、C組中2 課外練習：復資P6中3、4、5、6、7 隨堂訓練中3、5、6 五、教學反思： 第六課時 函數的表示方法 ——熱點考點題型探析 一、復習目標： 1、通過本課，強化有關概念及方法的理解、掌握和應用。 2、探析熱點考點題型及解法，訓練學生靈活、綜合運用能力及分析解決問題的能力。 二、重難點：概念及方法的理解運用。 三、教學方法：講練結合，探析歸納。 四、教學過程 （一）、熱點考點題型探析 考點1：用圖像法表示函數 [例1]、一水池有個進水口, 個出水口,一個口的進、出水的速度如圖甲、乙所示.某天點到點,該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下個論斷： 進水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙 （1）點到點只進水不出水；（2）點到點不進水只出水；（3）點到點不進水不出水． 則一定不正確的論斷是 (把你認為是符合題意的論斷序號都填上) . [解題思路]根據題意和所給出的圖象，對三個論斷進行確認即可。 [解析]由圖甲知，每個進水口進水速度為每小時1個單位，兩個進水口1個小時共進水2個單位，3個小時共進水6個單位，由圖丙知①正確；而由圖丙知，3點到4點應該是有一個進水口進水，出水口出水，故②錯誤；由圖丙知，4點到6點可能是不進水不出水，也可能是兩個進水口都進水，同時出水口也出水，故③不一定正確。從而一定不正確的論斷是（2） 【反思歸納】象這類給出函數圖象讓考生從圖象獲取信息的問題是目前高考的一個熱點，它要求考生熟悉基本的函數圖象特征，善于從圖象中發(fā)現(xiàn)其性質。高考中的熱點題型是“知式選圖”和“知圖選式”。 考點2：用列表法表示函數 [例2]、（08年北京）已知函數，分別由下表給出 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 則的值為 ；滿足的的值是 [解題思路]這是用列表的方法給出函數，就依照表中的對應關系解決問題。 [解析]由表中對應值知=； 當時，，不滿足條件 當時，，滿足條件， 當時，，不滿足條件， ∴滿足的的值是 【反思歸納】用列表法表示函數具有明顯的對應關系，解決問題的關鍵是從表格發(fā)現(xiàn)對應關系，用好對應關系即可。 考點3：用解析法表示函數 題型1：由復合函數的解析式求原來函數的解析式 [例3]、（09湖北改編）已知=，則的解析式可取為 [解題思路]這是復合函數的解析式求原來函數的解析式，應該首選換元法 [解析] 令，則，∴ .∴. 故應填 【反思歸納】求函數解析式的常用方法有：① 換元法（ 注意新元的取值范圍）；② 待定系數法（已知函數類型如：一次、二次函數、反比例函數等）；③整體代換（配湊法）；④構造方程組（如自變量互為倒數、已知為奇函數且為偶函數等）。 題型2：求二次函數的解析式 [例4]、二次函數滿足，且。 ⑴求的解析式； ⑵在區(qū)間上，的圖象恒在的圖象上方，試確定實數的范圍。 [解題思路]（1）由于已知是二次函數，故可應用待定系數法求解；（2）用數表示形，可得求對于恒成立，從而通過分離參數，求函數的最值即可。 [解析]⑴設，則 與已知條件比較得：解之得，又， ⑵由題意得：即對恒成立， 易得 【反思歸納】如果已知函數的類型，則可利用待定系數法求解；通過分離參數求函數的最值來獲得參數的取值范圍是一種常用方法。 考點4：分段函數 題型1：根據分段函數的圖象寫解析式 [例5]、 (09年湖北)為了預防流感，某學校對教室用藥 物消毒法進行消毒。已知藥物釋放過程中，室內每立方米空氣中含藥量y（毫克）與時間t（小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數關系式為（a為常數），如圖所示，根據圖中提供的信息，回答下列問題： （Ⅰ）從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時間t（小時）之間的函數關系式為 ； （Ⅱ）據測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經過 小時后，學生才能回到教室。 [思路點撥]根據題意，藥物釋放過程的含藥量y（毫克）與時間t是一次函數，藥物釋放完畢后，y與t的函數關系是已知的，由特殊點的坐標確定其中的參數，然后再由所得的表達式解決（Ⅱ） [解析] （Ⅰ）觀察圖象，當時是直線，故；當時，圖象過 所以，即，所以 （Ⅰ），所以至少需要經過小時 【反思歸納】分段函數的每一段一般都是由基本初等函數組成的，解決辦法是分段處理。 題型2：由分段函數的解析式畫出它的圖象 例6]、 (xx上海)設函數，在區(qū)間上畫出函數的圖像。 [思路點撥]需將來絕對值符號打開，即先解，然后依分界點將函數分段表示，再畫出圖象。 [解析] ,如右上圖. 【反思歸納】分段函數的解決辦法是分段處理，要注意分段函數的表示方法，它是用聯(lián)立符號將函數在定義域的各個部分的表達式依次表示出來，同時附上自變量的各取值范圍。 （二）、強化鞏固導練 1、已知函數，則 [解析] 2；由已知得到 2、（09山東改編）設則不等式的解集為 [解析] ；當時，由得，得 當時，由得，得 3、(xx湖北)函數的圖象大致是( ) [解析] D；當時，，可以排除A和C；又當時，，可以排除B。 4、如圖，動點在正方體的對角線上．過點作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于．設，，則函數的圖象大致是（ ）。 A B C D M N P A1 B1 C1 D1 y x A． O y x B． O y x C． O y x D． O [解析] B；過點作垂直于平面的直線，當點運動時，線與正方體表面相交于兩點形成的軌跡為平行四邊形，可以看出與的變化趨勢是先遞增再遞減，并且在的中點值時取最大。 5、 已知函數滿足且對于任意, 恒有成立。 （1）求實數的值；（2）解不等式。 （三）、小結反思：本課探析了四個考點六種題型及其解法，要求大家理解和掌握題型和解法，并能靈活運用。1、理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據不同的要求選擇恰當的方法表示簡單的函數。2、函數的解析式常用求法有：待定系數法、換元法（或湊配法）、解方程組法．使用換元法時，要注意研究定義域的變化。3、能會識圖、作圖、用圖。 （四）、作業(yè)布置：限時訓練3中12、13、14課外練習：限時訓練3中1、4、5、6、7、9、11 補充題：1、設是一次函數，若且成等比數列，則 ； [解析]；設，由得，從而 又由成等比數列得，解得所以， 2、（08福建）已知是二次函數，不等式的解集是且在區(qū)間上的最大值是12。（I）求的解析式；（II）是否存在實數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。 [解析]（I）是二次函數，且的解集是可設 在區(qū)間上的最大值是，由已知，得 （II）方程等價于方程 設則當時，是減函數；當時，是增函數。 方程在區(qū)間內分別有惟一實數根，而在區(qū)間內沒有實數根，所以存在惟一的自然數使得方程在區(qū)間內有且只有兩個不同的實數根。 五、教學反思： 第七課時 函數的單調性與最值 一、復習目標：1、理解函數的單調 性，掌握判斷一些簡單函數的單調性的方法。2、學會運用函數圖象研究函數的性質，感受應用函數的單調性解決問題的優(yōu)越性，提供觀察、分析、推理創(chuàng)新的能力。 二、重難點：重點：掌握求函數的單調性與最值的方法。 難點：函數單調性的理解，尤其用導數來研究函數的單調性與最值。 三、教學方法：講練結合，探析歸納。 四、教學過程 （一）、談最新課標與考綱要求及高考命題考查情況，促使積極參與。 最新課標與考綱要求：1、理解函數的單調 性，掌握判斷一些簡單函數的單調性的方法。 2、學會運用函數圖象研究函數的性質，感受應用函數的單調性解決問題的優(yōu)越性，提供觀察、分析、推理創(chuàng)新的能力。 考綱要求及高考命題考查情況及預測：從近幾年新課標高考來看，函數性質是高考命題的主線索，不論是何種函數，必須與函數性質相關聯(lián)，因此在復習中，針對不同的函數類別及綜合情況，歸納出一定的復習線索。 預測xx年高考的出題思路是：通過研究函數的定義域、值域，進而研究函數的單調性、奇偶性以及最值。預測xx的高考命題對本節(jié)的考查是：（1）考查函數性質的選擇題1個或1個填空題，還可能結合導數出研究函數性質的大題；（2）以中等難度、題型新穎的試題綜合考查函數的性質，以組合形式、一題多角度考查函數性質預計成為新的熱點。 （二）、知識梳理整合，方法定位（學生完成復資P9填空題，教師準對問題講評） 1、函數的單調性定義： 設函數的定義域為，區(qū)間，如果對于區(qū)間內的任意兩個值，，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調增函數，稱為的單調增區(qū)間；如果對于區(qū)間內的任意兩個值，，當時，都有，那么就說在區(qū)間上是單調減函數，稱為的單調減區(qū)間。 如果用導數的語言來，那就是：設函數，如果在某區(qū)間上，那么為區(qū)間上的增函數；如果在某區(qū)間上，那么為區(qū)間上的減函數； 2、函數的最大（小）值 設函數的定義域為，如果存在定值，使得對于任意，有恒成立，那么稱為的最大值；如果存在定值，使得對于任意，有恒成立，那么稱為的最小值。 3、重難點問題探析及方法定位：1.對函數單調性的理解 （1）函數的單調性只能在函數的定義域內來討論,所以求函數的單調區(qū)間,必須先求函數的定義域；（2）函數單調性定義中的，有三個特征：一是任意性；二是大小，即；三是同屬于一個單調區(qū)間，三者缺一不可；（3）若用導數工具研究函數的單調性，則在某區(qū)間上（）僅是為區(qū)間上的增函數（減函數）的充分不必要條件。（4）關于函數的單調性的證明，如果用定義證明在某區(qū)間上的單調性，那么就要用嚴格的四個步驟，即①取值；②作差；③判號；④下結論。但是要注意，不能用區(qū)間上的兩個特殊值來代替。而要證明在某區(qū)間上不是單調遞增的，只要舉出反例就可以了，即只要找到區(qū)間上兩個特殊的，，若，有即可。如果用導數證明在某區(qū)間上遞增或遞減，那么就證明在某區(qū)間上或。（5）函數的單調性是對某個區(qū)間而言的，所以受到區(qū)間的限制，如函數分別在和內都是單調遞減的，但是不能說它在整個定義域即內是單調遞減的，只能說函數的單調遞減區(qū)間為和。（6）一些單調性的判斷規(guī)則：①若與在定義域內都是增函數（減函數），那么在其公共定義域內是增函數（減函數）。②復合函數的單調性規(guī)則是“異減同增”。③圖象法。 2．函數的最值的求法：（1）若函數是二次函數或可化為二次函數型的函數，常用配方法。（2）利用函數的單調性求最值：先判斷函數在給定區(qū)間上的單調性，然后利用函數的單調性求最值。（3）基本不等式法：當函數是分式形式且分子分母不同次時常用此法（但有注意等號是否取得）。（4）導數法：當函數比較復雜時，一般采用此法（5）數形結合法：畫出函數圖象，找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化范圍。 （三）、基礎鞏固訓練 1、函數的單調增區(qū)間為（ ）。 A．；B．；C．；D． [解析] D。 2、若函數的最大值與最小值分別為M,m，則M+m = 。 [解析] 6；由知在上是增函數 又因為函數是奇函數，所以函數是增函數，故M+m= 3、若函數在區(qū)間上為減函數，則實數的取值范圍是（ ）。 A.；B.；C.；D. [解析] C；因為，由其圖象知，若函數在區(qū)間上為減函數，則應有。 4、若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（ ）。 A．；B．； C．；D． [解析] A；若函數在上是增函數，則對于恒成立，即對于恒成立，而函數的最大值為，實數的取值范圍是。 5、下列四個函數中，在區(qū)間上為減函數的是（ ） A．；B．；C．；D． [解析] C。 6、（xx陜西卷理)定義在R上的偶函數滿足：對任意的，有。當時,則有（ ）。答案：C (A) (B) (C) (C) (D) 7、已知函數，若存在實數，當時，恒成立，則實數的最大值是（ ）。 A．1；B．2；C．3；D．4 [解析] D；依題意，應將函數向右平行移動得到的圖象，為了使得在上，的圖象都