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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 12.11 正態(tài)分布教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　研究正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值 【例1】 某正態(tài)曲線的密度函數(shù)是偶函數(shù)，而且該函數(shù)的最大值為，求總體位于區(qū)間[－4，－2]的概率. 【解析】由正態(tài)曲線的密度函數(shù)是偶函數(shù)知μ＝0，由最大值為知σ＝2， 所以P(－2≤x≤2)＝P(μ－σ≤x≤μ＋σ)＝0.682 6， P(－4≤x≤4)＝P(μ－2σ≤x≤μ＋2σ)＝0.954 4， 所以P(－4≤x≤－2)＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 【點(diǎn)撥】應(yīng)當(dāng)熟記： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 6； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 4； P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 【變式訓(xùn)練1】設(shè)X~N(1,22)，試求： (1)P(－1＜X≤3)； (2)P(X≥5). 【解析】因?yàn)閄～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6. (2)因?yàn)镻(X≥5)＝P(X≤－3)， 所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)] ＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)] ＝(1－0.954 4)＝0.022 8. 題型二　利用正態(tài)總體密度函數(shù)估計(jì)某區(qū)間的概率 【例2】 已知某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)X~N(60,82)(單位：分)，此次考生共有1萬(wàn)人，估計(jì)在60分到68分之間約有多少人？ 【解析】由題意μ＝60，σ＝8， 因?yàn)镻(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， 所以P(52＜X≤68)＝0.682 6， 又此正態(tài)曲線關(guān)于x＝60對(duì)稱， 所以P(60＜X≤68)＝P(52＜X≤68)＝0.341 3， 從而估計(jì)在60分到68分之間約有341 3人. 【點(diǎn)撥】本題是教材變式題，將原題中單純(μ－σ，μ＋σ)的概率考查結(jié)合了正態(tài)曲線的對(duì)稱性以及概率的意義，使題目更具實(shí)際意義.另外，還可將問(wèn)題變?yōu)?44,76)、(68,76)等區(qū)間進(jìn)行探討. 【變式訓(xùn)練2】某人乘車從A地到B地，所需時(shí)間(分鐘)服從正態(tài)分布N(30,100)，求此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率. 【解析】由μ＝30，σ＝10，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6知此人在20分鐘至40分鐘到達(dá)目的地的概率為0.682 6，又由于P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，所以此人在10分鐘至20分鐘或40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.954 4－0.682 6＝0.271 8，由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝30對(duì)稱得此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.135 9. 總結(jié)提高 1.服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量X的概率特點(diǎn) 若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則X在一點(diǎn)上的取值概率為0，即P(X＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率為0的事件不一定是不可能事件，從而P(X＜a)＝P(X≤a)是成立的，這與離散型隨機(jī)變量不同. 2.關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值. (2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1. ①正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相同. ②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a).