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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 限時訓練5 函數(shù)與方程及函數(shù)的應用 理
1．已知函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝＋2.
(1)求函數(shù)g(x)的值域；
(2)求滿足方程f(x)－g(x)＝0的x的值．
解：(1)g(x)＝＋2＝|x|＋2，
因為|x|≥0，所以0<|x|≤1，
即2
0時，由2x－－2＝0，
整理得(2x)2－22x－1＝0，(2x－1)2＝2，
故2x＝1，因為2x>0，
所以2x＝1＋，
即x＝log2(1＋)．
2．為了保護環(huán)境，某工廠在國家的號召下，把廢棄物回收轉化為某種產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本y(萬元)與處理量x(噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為y＝x2－50x＋900，且每處理一噸廢棄物可得價值10萬元的某種產(chǎn)品，同時獲得國家補貼10萬元．
(1)當x∈[10,15]時，判斷該項舉措能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，請求出國家最少補貼多少萬元，該工廠才不會虧損？
(2)當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本最少？
解：(1)根據(jù)題意得，利潤P和處理量x之間的關系：
P＝(10＋10)x－y
＝20x－x2＋50x－900
＝－x2＋70x－900
＝－(x－35)2＋325，x∈[10,15]．
P＝－(x－35)2＋325，在[10,15]上為增函數(shù)，可求得
P∈[－300，－75]．
∴國家最少補貼75萬元，
該工廠才不會虧損．
(2)設平均處理成本為
Q＝＝x＋－50
≥2 －50＝10，
當且僅當x＝時等號成立，
由x>0得x＝30.
因此，當處理量為30噸時，每噸的處理成本最少為10萬元．
3．如圖，建立平面直角坐標系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米．其炮位于坐標原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
(1)求炮的最大射程；
(2)設在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
解：(1)令y＝0，得
kx－(1＋k2)x2＝0，
由實際意義和題設條件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
當且僅當k＝1時取等號．
所以炮的最大射程為10千米．
(2)因為a>0，
所以炮彈可擊中目標?存在k>0，
使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立?關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6.所以當a不超過6千米時，可擊中目標．
4．(xx高考浙江卷)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)，記M(a，b)是|f(x)|在區(qū)間[－1,1]上的最大值．
(1)證明：當|a|≥2時，M(a，b)≥2；
(2)當a，b滿足M(a，b)≤2時，求|a|＋|b|的最大值．
(1)證明：由f(x)＝2＋b－，
得對稱軸為直線x＝－.
由|a|≥2，得≥1，故f(x)在[－1,1]上單調，
所以M(a，b)＝max{|f(1)|，|f(－1)|}．
當a≥2時，由f(1)－f(－1)＝2a≥4，
得max{f(1)，－f(－1)}≥2，即M(a，b)≥2.
當a≤－2時，
由f(－1)－f(1)＝－2a≥4，
得max{f(－1)，－f(1)}≥2，即M(a，b)≥2.
綜上，當|a|≥2時，M(a，b)≥2.
(2)解：由M(a，b)≤2得
|1＋a＋b|＝|f(1)|≤2，|1－a＋b|＝|f(－1)|≤2，
故|a＋b|≤3，|a－b|≤3.
由|a|＋|b|＝得|a|＋|b|≤3.
當a＝2，b＝－1時，|a|＋|b|＝3，
且|x2＋2x－1|在[－1,1]上的最大值為2，
即M(2，－1)＝2.所以|a|＋|b|的最大值為3.
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